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高一数学竞赛培训《函数的概念与性质》

时间:2015-04-03


高一上期数学竞赛培训资料(7)
————函数的概念与性质(2)
附:函数的周期性 对于函数 f(x),如果存在一个不为零的正数 T,使得当 x 取定义域中的每个数时,f(x+T)=f(x) 总成立,那么称 f(x)是周期函数,T 称做这个周期函数的周期.如果函数 f(x)的所有周期中存在最 小值 T0,称 T0 为周期函数 f(x)的最小值正周期. 1.已知 f(x)=8+2x-x2,如果 g(x)=f(2-x2),那么 g(x)( ) A.在区间(-2,0)上单调递增 B.在(0,2)上单调递增 C.在(-1,0)上单调递增 D.在(0,1)上单调递增 2.设 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(x+3)=-f(x),当 0 ? x ?

3 时,f(x)=x,则 f(2003)=( 2

)

A.-1 B.0 C.1 D.2003 3.定义在实数集上的函数 f(x),对一切实数 x 都有 f(x+1)=f(2-x)成立,若 f(x)=0 仅有 101 个不同的实数根,那么所有实数根的和为( ) A.150 B.
303 2

C.152

D.

305 2

4.已知 x= 19 ? 99 是方程 x4+bx2+c=0 的根,b,c 为整数,则 b+c=__________. 5.已知 f(x)=ax2+bx+c(a>0),f(x)=0 有实数根,且 f(x)=1 在(0,1)内有两个实数根, 求证:a>4.

6.已知 f(x)=x2+ax+b ( ?1 ? x ? 1 ),若|f(x)|的最大值为 M,求证: M ?

1 . 2

7. ⑴ 解方程: (x+8)2001+x2001+2x+8=0 ⑵ 解方程:

2x ? 4x 2 ? 1 x 2 ? 1 ? ( x 2 ? 1) 2 ? 1

? 2 ( x ?1 )

2

-1-

8.设 f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d,f⑴ =1,f⑵ =2,f⑶ =3,求

1 [f⑷ +f(0)]的值. 4

9.设 f(x)=x4-4x3+

1 13 2 x -5x+2,当 x∈ R 时,求证: | f ( x ) |? 2 2

练习
1、已知(3x+y)2001+x2001+4x+y=0,则 4x+y 的值是 2、方程: ln( x 2 ? 1 ? x ) + ( ln( 4 x 2 ? 1 ? 2 x ) ? 3 x ? 0 的解是______________ 3、若函数 y=log3(x2+ax-a)的值域为 R,则实数 a 的取值范围是______________ 4、函数 y ?

x 2 ? 4 x ? 5 ? x 2 ? 4 x ? 8 的最小值是______________.
1 ,若 0<t<x1,试比较 a

5、已知 f(x)=ax2+bx+c,f(x)=x 的两根为 x1,x2,a>0,x1-x2> f(t)与 x1 的大小.

6、f(x),g(x)都是定义在 R 上的函数,当 0≤x≤1,0≤y≤1 时. 求证:存在实数 x,y,使得.|xy-f(x)-g(y)|≥
1 4

7、设 a,b,c∈ R,|x|≤1,f(x)=ax2+bx+c,如果|f(x)|≤1,求证:|2ax+b|≤4.

8、已知函数 f(x)=x3-x+c 定义在[0,1]上,x1,x2∈ [0,1]且 x1≠x2. ⑴ 求证:|f(x1)-f(x2)|<2|x1-x2|; ⑵ 求证:|f(x1)-f(x2)|<1.

9、已知 f(x)=ax2+x-a( ?1 ? x ? 1 ) ⑴ 若 | a |? 1 ,求证: | f ( x ) |?

5 4

⑵ 若 f ( x )max ?

17 ,求 a 的值. 8

-2-


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