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17学年高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理学业分层测评(含解析)新人教A版选修2_2

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2.1.1 合情推理

学业分层测评 (建议用时:45 分钟)
[学业达标] 一、选择题 1.(2016·厦门高二检测)用火柴棒摆“金鱼”,如图 2?1?7 所示:

图 2?1?7

按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )

A.6n-2

B.8n-2

C.6n+2

D.8n+2

【解析】 观察易知第 1 个“金鱼”图中需要火柴棒 8 根,而第 2 个“金鱼”图中比第

1 个“金鱼”图中多的部分需要火柴棒 6 根,第 3 个“金鱼”图中比第 2 个“金鱼”图中多

的部分需要火柴棒 6 根……由此可猜测第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数比第 n-1 个

“金鱼”图需要火柴棒的根数多 6,即各个“金鱼”图需要火柴棒的根数组成以 8 为首项,

6 为公差的等差数列,易求得通项公式为 an=6n+2.

【答案】 C

2.数列-3,7,-11,15,…的通项公式可能是( )

A.an=4n-7 B.an=(-1)n(4n+1) C.an=(-1)n(4n-1) D.an=(-1)n+1(4n-1) 【解析】 当数列中负项、正项交替出现时,用(-1)n 来控制;若是正项、负项交替出

现,则用(-1)n+1 来控制.

【答案】 C

3.定义 A*B,B*C,C*D,D*B 依次对应下列 4 个图形:

1

那么下列 4 个图形中,

图 2?1?8

可以表示 A*D,A*C 的分别是( )

A.(1),(2)

B.(1),(3)

C.(2),(4)

D.(1),(4)

【解析】 由①②③④可归纳得出:符号“*”表示图形的叠加,字母 A 代表竖线,字

母 B 代表大矩形,字母 C 代表横线,字母 D 代表小矩形,∴A*D 是(2),A*C 是(4).

【答案】 C

4.下列推理正确的是( )

A.把 a(b+c)与 loga(x+y)类比,则 loga(x+y)=logax+logay

B.把 a(b+c)与 sin(x+y)类比,则 sin(x+y)=sin x+sin y

C.把(ab)n 与(x+y)n 类比,则(x+y)n=xn+yn

D.把(a+b)+c 与(xy)z 类比,则(xy)z=x(yz)

【解析】 A 错误,因为 logax+logay=logaxy(x>0,y>0);

B 错误,因为 sin(x+y)=sin xcos y+cos xsin y;

C 错误,如当 n=2 时,若 xy≠0,则(x+y)2=x2+2xy+y2≠x2+y2;

D 正确,类比的是加法、乘法的结合律.

【答案】 D

5.给出下列等式:

1×9+2=11,

12×9+3=111,

123×9+4=1 111,

1 234×9+5=11 111,

12 345×9+6=111 111,



2

猜测 123 456×9+7 等于( )

A.1 111 110

B.1 111 111

C.1 111 112

D.1 111 113

【解析】 由题中给出的等式猜测,应是各位数都是 1 的七位数,即 1 111 111.

【答案】 B

二、填空题

6.已知

2+23=2·

23, 3+38=3· 38, 4+145=4·

145,….若 8+at

=8· at(a,t 均为正实数),类比以上等式,可推测 a,t 的值,则 a+t=________. 【解析】 由所给等式知,a=8,t=82-1=63,∴a+t=71. 【答案】 71 7.设 n 为正整数,f(n)=1+12+13+…+1n,计算得 f(2)=32,f(4)>2,f(8)>52,f(16)>3,

观察上述结果,可推测一般的结论为__________.

【解析】 ∵f(2)=32,f(4)>2=42,f(8)>52,f(16)>3=62,∴由此可推测一般性的结论

为 f(2n)≥n+2 2.

【答案】 f(2n)≥n+2 2

8.对于命题“如果 O 是线段 AB 上一点,则| →OB|·O→A+|O→A|·→OB=0”,将它类比到平 面的情形是:若 O 是△ABC 内一点,有 S△OBC·→OA+S△OCA·→OB+S△OBA·→OC=0,将它类比到空间 的 情 形 应 为 : 若 O 是 四 面 体 ABCD 内 一 点 , 则 有 ________________________________________________.
【解析】 根据类比的特点和规律,所得结论形式上一致,又线段类比平面,平面类比 到空间,又线段长类比为三角形面积,再类比成四面体的体积,故可以类比为
VO?BCD·O→A+VO?ACD·O→B+VO?ABD·O→C+VO?ABC·→OD=0. 【答案】 VO?BCD·→OA+VO?ACD·→OB+VO?ABD·→OC+VO?ABC·O→D=0 三、解答题 9.平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质,例如在三角形中:

(1)三角形两边之和大于第三边. (2)三角形的面积 S=12×底×高.

3

(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12. … 请类比上述性质,写出空间中四面体的相关结论. 【解】 由三角形的性质,可类比得空间四面体的相关性质为: (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积. (2)四面体的体积 V=13×底面积×高.
1 (3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的4. 10.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图 2?1?9(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最 简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规 律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形.
图 2?1?9 (1)求出 f(5); (2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f(n+1)与 f(n)的关系式,并根据你得到 的关系式求 f(n)的表达式. 【解】 (1)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, ∴f(5)=25+4×4=41. (2)∵f(2)-f(1)=4=4×1, f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, 由上式规律得出 f(n+1)-f(n)=4n. ∴f(2)-f(1)=4×1, f(3)-f(2)=4×2, f(4)-f(3)=4×3, … f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),
4

f(n)-f(n-1)=4·(n-1). ∴f(n)-f(1)=4[1+2+…+(n-2)+(n-1)] =2(n-1)·n, ∴f(n)=2n2-2n+1.
[能力提升] 1.观察下列各式: 1=12, 2+3+4=32, 3+4+5+6+7=52, 4+5+6+7+8+9+10=72, … 可以得出的一般结论是( ) A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2 B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2 D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2 【解析】 观察已知等式,第 n 个等式左边都是 2n-1 个数相加,第 1 个数是 n,等式 右边是(2n-1)2.由此可得一般结论为: n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2,故选 B. 【答案】 B

2.已知 x>0,由不等式 x+1x≥2

x·1x=2,x+x42=x2+x2+x42≥3 3

xx 4 2·2·x2=3,…

我们可以得出推广结论:x+xan≥n+1(n∈N*),则 a=(

)

A.2n

B.n2

C.3n

D.nn

【解析】 ∵x+1x≥2 x·1x=2,

x+x42=x2+x2+x42≥3 3

xx 4 2·2·x2=3.



a 由此猜想,x+xn=

nn +xn≥n+1,

5

n

x 个n

所以 a=nn,选 D.

【答案】 D

3.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=b,BC=a,则△ABC 的外接圆半径为 r=

a2+b2 2,

将此结论类比到空间,得到相类似的结论为:________.

【解析】 利用类比推理,可把 Rt△ABC 类比为三棱锥 P?ABC,且 PA,PB,PC 两两垂

直,当 PA=a,PB=b,PC=c 时,其外接球半径为 R=

a2+b2+c2 2.

【答案】 在三棱锥 P?ABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,PA=a,PB=b,PC=c,则三棱

锥 P?ABC 的外接球的半径为 R=

a2+b2+c2 2

4.如图 2?1?10 所示为 m 行 m+1 列的士兵方阵(m∈N*,m≥2).

图 2?1?10 (1)写出一个数列,用它表示当 m 分别是 2,3,4,5,…时,方阵中士兵的人数; (2)若把(1)中的数列记为{an},归纳该数列的通项公式; (3)求 a10,并说明 a10 表示的实际意义; (4)已知 an=9 900,问 an 是数列的第几项? 【解】 (1)当 m=2 时,表示一个 2 行 3 列的士兵方阵,共有 6 人,依次可以得到当 m =3,4,5,…时的士兵人数分别为 12,20,30,….故所求数列为 6,12,20,30,…. (2)因为 a1=2×3,a2=3×4,a3=4×5,…,所以猜想 an=(n+1)·(n+2),n∈N*. (3)a10=11×12=132.a10 表示 11 行 12 列的士兵方阵的人数为 132. (4)令(n+1)(n+2)=9 900,所以 n=98,即 an 是数列的第 98 项,此时方阵为 99 行 100 列.

6


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