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不等式-2016-2017学年高一下学期数学期末复习(必修5)(原卷版)

时间:2017-11-29


第三章 不等式
【知识网络】

【专题总结】 专题一:一元二次不等式的解法 专题二:简单的线性规划问题 专题三:基本不等式 【知识扫描】 知识点 1 两个实数比较大小的方法

a-b>0?a>b, ? ? 1.作差法?a-b=0?a=b, ? ?a-b<0?a<b.

? ?a 2.作商法?b=1?a=b?a∈R,b>0?, a ? <1?a<b?a∈R,b>0? . ?b
(2)传递性:a>b,b>c?a>c;(单向性)

a >1?a>b?a∈R,b>0?, b

知识点 2 不等式的性质 (1)对称性:a>b?b<a;(双向性)

(3)可加性:a>b?a+c>b+c;(双向性)a>b,c>d?a+c>b+d;(单向性) (4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc;a>b>0,c>d>0?ac>bd;(单向性) (5)乘方法则:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2);(单向性) n n (6)开方法则:a>b>0? a> b(n∈N,n≥2).(单向性)

知识点 3 三个“二次”的关系 判别式 Δ= b2-4ac 二次函数 y =ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方 程 ax2+bx+c =0(a>0)的根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x<x1 或 x>x2} {x|x≠x1} R 有两相异实根 x1,x2(x1<x2) 有两相等实根 b x1=x2=- 2a 没有实数根 Δ>0 Δ =0 Δ<0

{x|x1<x<x2}

?

?

知识点 4 二元一次不等式表示平面区域 在平面直角坐标系中,平面内所有的点被直线 Ax+By+C=0 分成三类: (1)满足 Ax+By+C=0 的点;(2)满足 Ax+By+C>0 的点;(3)满足 Ax+By+C<0 的点. 知识点 5 二元一次不等式表示平面区域的判断方法 由于对直线 Ax+ By+C=0 同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所得的符 号都相同,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由 Ax0+By0+C 的符号即可 判断 Ax+By+C>0 表示的直线是 Ax+By+C=0 哪一侧的平面区域.当 C≠0 时,常取原点作为特殊 点. 知识点 6 线性规划的基本概念 名称 约束条件 线性约束 条件 目标函数 线性目标 函数 可行解 可行域 最优解 意义 由变量 x,y 组成的不等式(组) 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 关于 x,y 的函数解析式,如 z=2x+3y 等 关于 x,y 的一次解析式 满足线性约束条件解(x,y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小 值的可行解

线性规划 问题
[来源:Z+xx+k.Com]

在线性约束条件下求线性目标函数最大值或最小值 问题

a+b 知识点 7 基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0; (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时等号成立; a+b (3)其中 叫做正数 a,b 的算术平均数, ab叫做正数 a,b 的几何平均数.因此基本不等式又称为均 2 值不等式. 知识点 8 利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果 x,y∈(0,+∞),且 xy=P(定值),那么当 x=y 时,x+y 有最小值 2 P.(简记:“积定和最小”) S2 (2)如果 x,y∈(0,+∞),且 x+y=S(定值),那么当 x=y 时,xy 有最大值 .(简记:“和定积最大”) 4

专题一:一元二次不等式的解法
【典例 1】解关于 x 的不等式:ax2-(a+1)x+1<0. 【举一反三】 1.如 果不等式(m+1)x2+2mx+m+1>0 对任意实数 x 都成立,则实数 m 的取值范围是( A.m>-1 1 C.m>- 2
?

)

1 B.-1<m<- 2 1 D.m<-1 或 m>- 2
?

? ? 1 2 ? 2.已知不等式 ax2+bx+c≥0 的解集为?x? ?-3≤x≤2 ,则不等式 cx +bx+a<0 的解集为________________.

mx +8x+2 3.已知函数 f(x)=log3 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围. x2+1 【解题反思】
[来源:Zxxk.Com]

2

解含参数的一元二次不等式的步骤 1.二次项系数若含有参数应讨论是等于 0,小于 0,还是大于 0,然后将不等式转化为二次项系数为正 的形式. 2.判断方程的根的个数,讨论判别式 Δ 与 0 的关系. 3 .确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形 式. 【高考链接】 1.(2015· 广东)不等式-x2-3x+4>0 的解集为_ _______.(用区间表示) 2. (2015· 重庆 ) 在区间 [0 , 5] 上随机地选择一个数 p ,则方程 x2 + 2px + 3p - 2 = 0 有两个负根的概率为 ________. 3.(2013· 重庆卷)关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且 x2-x1=15,则 a=( )

5 A. 2

7 B. 2

15 C. 4

15 D. 2 )

1 4.(2016· 全国卷Ⅰ)若函数 f(x)=x- sin 2x+asin x 在(-∞,+∞)单调递增,则 a 的取值范围是( 3 A.[-1,1] 1 B.[-1, ] 3
[来源:学科网]

1 1 C.[- , ] 3 3

1 D.[-1,- ] 3

专题二:简单的线性规划问题

x+2y≥0, ? ? 【典例 1】若变量 x,y 满足约束 条件?x-y≤0, ? ?x-2y+2≥0, 5 A.- 2 3 C.- 2 【举一反三】

则 z=2x-y 的最小值等于(

)

B.-2 D.2

1.如图,△ABC 及其内部的点组成的集合记为 D,P(x,y)为 D 中任意一点, 则 z=2x+3y 的最大值为________.

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

x-y≥0, ? ? 2. 已知 x,y 满足约束条件?x+y≤2, 若 z=ax+y 的最大值为 4,则 a=( ? ?y≥0. A .3 C.-2 x-2y+7≥0, ? ? 3.已知实数 x,y 满足?4x-3y-12≤0, ? ?x+2y-3≥0, x-1≥0, ? ? 4. 若 x,y 满足约束条件?x-y≤0, ? ?x+y-4≤0, 【解题反思】 B.2 D.-3

)

则目标函数 z=x2+y2 的最小值为________.

y 则 的最大值为________. x

1.利用可行域求线性目标函数最值的方法;首先利用约束条件作出可行域,根据目标函数找到最优解时 的点,解得点的坐标代入求解即可. 2.利用可行域及最优解求参数及其范围的方法;利用约束条件作出可行域,通过分析可行域及目标函数 确定最优解的点,再利用已知可解参数的值或范围.

3.利用可行域求非线性目标函数最值的方法;画出可行域,分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距 离问题,依据几何意义可求得最值. 【高考链接】

?x ? y ?1 ? 0 ? 1.【2016 高考新课标 3 理数】若 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 则 z ? x ? y 的最大 值为__ ___________. ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
x+y≥0, ? ? 2.(2015· 福建高考)变量 x,y 满足约束条件?x-2y+2≥0, ? ?mx-y≤0. ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2

若 z=2x-y 的最大值为 2,则实数 m 等于

? y ? x ? 1, ? 3.(2016 年高考四川理数)设 p:实数 x,y 满足 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2 ,q:实数 x,y 满足 ? y ? 1 ? x, 则 p 是 ? y ? 1, ?
2 2

q 的(

)

(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 4.(2016 高考浙江理数)在平面上,过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影.由区域

?x ? 2 ? 0 ? 中的点在直线 x+y ? 2=0 上的投影构成的线段记为 AB,则│AB│=( ?x ? y ? 0 ?x ? 3y ? 4 ? 0 ?
A.2 2 B.4 C.3 2



D. 6

5. (2015· 陕西卷) 某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料.已知生产 1 吨每种产品所需原料及每 天原料的可用限额如表所示.如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元,则该企业每天可获 得最大利润为( )

原料 甲 A(吨) B(吨)
[来源:Z§xx§k.Com]

乙 限额 2 2 12 8 D.18 万元

3 1

A.12 万元

B.16 万元

C.17 万元

专题三:基本不等式 【典例 1】已知正实数 x,y 满足 x+2y-xy=0,则 x+2y 的最小值为________. 【举一反三】 x 1.已知 x>0,则 2 的最大值为________. x +4 1 4 2.已知各项为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若存在两项 am,an,使得 am· an=2 2a1,则 + 的最 m n 小值为________. 1?? 1? 3.已 知两正数 x,y 满足 x+y=1,则 z=? ?x+x??y+y?的最小值为________. 【解题反思】 利用基本不等式求最值的常用技巧 1.若直接满足基本不等式条件,则直接应用基本不等式. 2.若不直接满足基本不等式条件,则需要创造条件对式子进行恒等变形,如构成“1”的代换等. 3.若一次应用基本不等式不能达到要求,需多次应用基本不等式,要注意等号成立的条件 必须要一 致. 【高考链接】 1.(2015· 陕西高考)设 f(x)=ln x,0<a<b,若 p=f( ab),q=f? 的是( ) B.p=r<q D.p=r>q a+b? 1 ? 2 ?,r=2(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确

A.q=r<p C.q=r>p

2.(2014· 福建高考)要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方 米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是( A.80 元 C.160 元 B.120 元 D.240 元 )

2x+y≤10, ? ? 3.(2015· 四川卷) 设实数 x,y 满足?x+2y≤14,则 xy 的最大值为( ? ?x+y≥6, 25 A. 2 49 B. 2 C.12

)

D.16

?ax+y=1, ? 4.(2016· 上海卷)设 a>0 ,b>0.若关于 x,y 的方程组? 无解,则 a+b 的取值范围是________. ?x+by=1 ? 5.(2016· 江苏卷)在锐角三角形 ABC 中,若 sin A=2sin Bsin C,则 tan Atan Btan C 的最小值是________.

【数学文化】 浅谈线性规划问题 线性规划(Linear programming,简称 LP)是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的 一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问 题的数学理论和方法。英文缩写 LP。它是运筹学的一个重要分支,广泛应用于军事作战、经济分析、经营 管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策,提供科学的依据。 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。决策变量、 约 束条件、目标函数是线性规划的三要素。 一、简单的线性规划应用题举例 1. 某家具厂有方木料 90m3,五合板 60 ㎡, 准备加工成书桌和书橱出售. 已知生产每张书桌需要方木料 0.1 m3、 五合板 2 ㎡,生产每个书橱需要方木料 0 .2 m3、五合板 1 ㎡,出售一张书桌可获得利润 80 元,出售一个书 橱可获得利润 120 元.如果只安排生产书桌,可获利润多少?如果只安排生产书橱,可获利润多少?怎样 安排生产可使所得利润最大? 解法归纳总结:线性规划问题的难点表现在三个方面:一是将实际问题抽象为线性规划模型;二是线性约 束条件和线性目标函数的几何表征;三是线性规划最优解的探求. 二、常见线性规划问题解题策略 (1)线性目标函数问题 当目标函数是线性关系式如 z ? ax ? by ? c (b ? 0 ) 时, 可把目标函数变形为 y ? ?

a z ?c z?c x? , 则 b b b

可看作在 在y轴 上的截距,然后平移直线法是解决此类问题的常用方法,通过比较目标函数与线性约束条 件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下:1.做出可行域;2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最 优解.

? x ? y ? 1, ? 例 1.设 x,y 满足约束条件 ? y ? x , 求 z ? 2 x ? y 的最大值、最小值。 ? y ? 0, ?
(2)非线性目标函数问题的解法 当目标函数时非线性函数时,一般要借助目标函数的几何意义,然后根据其几何意义,数形结合,来求 其最优解。近年来,在高考中出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要考察的是等价转化 思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种:

1. 比值问题;当目标函数形如 z ?

y?a 时,可把 z 看作是动点 P( x, y) 与定点 Q (b, a ) 连线的斜率,这样 x ?b

目标函数的最值就转化为 PQ 连线斜率的最值。

? ?x-y+2≤0, y 例 2.已知变量 x,y 满足约束条件?x≥1, 则 的取值范围是( x ? x + y - 7≤0 , ?
9 (A)[ ,6] 5 (C)(-∞,3]∪[6,+∞) 9 (B)(-∞, ]∪[6,+∞) 5 (D)[3,6]
2 2

).

2.距离问题;当目标函数形如 z ? ( x ? a) ? ( y ? b) 时,可把 z 看作是动点 P( x, y) 与定点 Q (a, b) 距离的平 方,这样目标函数的最值就转化为 PQ 距离平方的最值。

? ?2x+y-2≥0, 2 2 例 3.已知?x-2y+4≥0,求 x +y 的最大值与最小值. ?3x-y-3≤0, ?
3. 截距问题

? x+y ? 0 ? 2 例 4.不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域面积为 81,则 x ? y 的最小值为_____ ? x?a ?
4.向量问题

??? ? ??? ? ? x ? 4 y ? 3 ? 0, OP ? OA ? ? 的最大值是 例 5.已知点 P 的坐标(x,y)满足: ?3 x ? 5 y ? 25, 及 A(2,0),则 ???? OA ? x ? 1 ? 0. ?
(3)线性变换问题

.

例 6.在平面直角坐标系 xOy 中,已知平面区域 A={(x,y)|x+y≤1,且 x≥0,y≥0},则平面区域 B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为 (4)与线性规划有关的综合问题 .

x>0 ? ? ? y?0 例 7.设不等式组 ? 所表示的平面区域面积为 Dn ,记 Dn 内整点的个数为 an (n ? N ) ? y ? ? nx ? 3n ?
求 ?an ? 的通项; Ⅱ,记 ?an ? 的前项和为 Sn ,且 Tn ? (5)线性规划的逆向问题

Ⅰ,

Sn ,若对一切 n ? N ? ,总有 Tn ? m, 求 m 的取值范围 3 ? 2n ?1

2 4 例 8.给出平面区域如图所示.若当且仅当 x= ,y= 时,目标函数 z=ax-y 取最小值,则实数 a 的取值 3 5 范围是 .


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