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切线与切点弦方程

时间:2014-07-06


高三
学习目标

17 班数学一轮复习学案

序号

教师 代鹏 学生

练习:

圆锥曲线的切线方程与切点弦方程
1.掌握利用复合函数求导原理,求过圆锥曲线上任一点的切线方程 2.了解切点弦的概念; 3.掌握圆锥曲线切点弦方程的求法 4.能够处理与切线有关的距离、面积等问题; 一.知识回顾 1.复合函数的求导法则 记 y ? f ( x) , z ? y 2 ? f 2 ( x)
2 ? ? 则 y? x ? f ( x) , z x ? y

设P( x0 , y0 )为双曲线

xx yy x2 y2 ? ? 1上的点,求证:过该点的切线方程为: 20 ? 20 ? 1 2 2 a b a b

设P( x0 , y0 )为抛物线y2 ? 2 px上的点,求证:过该点的切线方程为: yy0 ? p( x ? x0 )

? ? ? ?? ?f
x

2

? ( x) ? ? ? 2 f ( x) f ?( x)
x

? 即: z? x ? 2 yyx
2.圆锥曲线的切点弦:过圆锥曲线外一点,作圆锥曲线的切线,切点分别为 A,B,连接 A,B,则线段 AB 称为 此圆锥曲线的切点弦。此时 AB 所在直线方程称为切点弦方程。 尝试应用:1.在抛物线 y 2 ? 4 x 上找一点 P,使得 P 到直线 x+y+4=0 的距离最小。

3.求曲线上某点的切线方程:关键是切点坐标和切线斜率的求解。 二.典型问题

例1

求证:过圆 x2 ? y 2 ? r 2上一点 M ( x0 , y0 )的切线方程:xx0 ? yy0 ? r 2

x2 ? y 2 ? 1,过椭圆 C 的右焦点 F 且斜率为 1 的直线与椭圆交与 AB 两点,在 C 上找一点 P, 2.已知椭圆 C: 4
使得三角形 ABP 的面积最大。

例2

设P ( x0 , y0 )为椭圆

x2 y2 ? ? 1上的点,则过该点的切线方程为: a2 b2

xx0 yy0 ? ?1 2 a b2

圆锥曲线的切点弦方程 2 2 2 例 命题 1 过圆 x +y = r (r>0),外一点 P(a,b)作圆的两切线,切点为 M、N,则直线 MN 的方程为: 2 ax+by=r 证明:

3.过抛物线 y =4x 外一点 P(-1,-2)作抛物线两切线,切点分别为 M、N,求直线 MN 的方程。 命题 2 过椭圆 (a>b>0)外一点 P(x0,y0)作椭圆的两切线,切点为 M、N 则直线 MN 的方程

2

为: 证明:

综合应用: 例 练习 将命题 3 补充完整并证明 过抛物线 y 2 ? 2 px 外一点 P(x0,y0)作抛物线的两切线,切点为 M、N 则直线 MN 的方程为: 已知椭圆 x2 ? 2 y 2 ? 1 ,P 是直线 4x+3y=12 位于第一象限上一点,由 P 向已知椭圆作两切线,切点分别

为 A,B,求直线 AB 与两坐标轴围成的△OMN 面积的最小值,并求此时 P 点坐标。

命题 3

尝试应用 已知 P 是直线 y=x+3 上一点,过点 P 作抛物线 y 2 ? 2 x 的两条切线,切点分别为 A,B,求△PAB 面积的

1.若椭圆

的焦点在 x 轴上,过点(1,

)作圆 x +y =1 的切线,切点分别为 A、B,直线 AB 恰

2

2



好经过椭圆的右焦点和上顶点,求椭圆方程。

最小值;

2.过椭圆

外一点 P(1,2)作椭圆的两切线,切点为 M、N 求直线 MN 的方程。

四.课后作业(另附)


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