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证明线面垂直的专项练习

时间:2014-05-01


线面垂直
1: (本小题满分 13 分)(09 广东 文) 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示。墩的上半部分是正四棱锥 P ? EFGH ,下半部 分是长方体 ABCD ? EFGH 。图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图。 (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图; (3)证明:直线 BD ? 平面 PEG .
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

(2)求该安全标识墩的体积;(64000)

2、(09 广东 理数)如图6,已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为2,点E是正方形 BCC1B1 的中心, 点F、G分别是棱 C1 D1 , AA1 的中点.设点 E1 , G1 分别是点E、G在平面

DCC1 D1 内的正投影.
(1)求以E为顶点,以四边形 FGAE 在平面 DCC1 D1 内的正投影为底面边 界的棱锥的体积; (2)证明:直线 FG1 ? 平面FEE1 ;

(3)求异面直线 E1G1与EA 所成角的正弦值( 3 、 .(11 广 东

3 ) 3

理 ) 如 图 5 , 在 椎 体 P? A B C D 中 , ABCD 是 边 长 为 1 的 棱 形 , 且

?DAB ? 600 , PA ? PD ? 2 , PB ? 2, E, F 分别是 BC, PC 的中点,
(1) 证明: AD ? 平面DEF (2)求二面角 P ? AD ? B 的余弦值。 (?

21 ) 7

1

4.

(11 湖南 文 12 分) 在圆锥 PO 中,已知 PO ?

2, O 的

直径 AB ? 2,点C在AB上,且?CAB=30 , D为AC 的中点. (Ⅰ )证明: AC ? 平面 POD ; (Ⅱ )求直线 OC 平面 PAC 所成角的正弦值.(

2 ) 3

5.(11 北京 理) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是 菱形,AB=2, ?BAD ? 60? (1)求证:BD ? 平面 PAC (2)PA=AB,求 PB 与 AC 所成的角的余弦值。 (3)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长 ( PA ?

6)

6. (本小题满分 12 分) (11 褔建 文) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,点 E 在线段 AD 上,且 CE∥AB。 (I)求证:CE⊥平面 PAD; (11)若 PA=AB=1,AD=3,CD= 2 ,∠CDA=45°, (12)求四棱锥 P-ABCD 的体积 (

5 ) 6

7.(本小题满分 12 分)(11 天津 文) 如图, 在五面体 ABCDEF 中,四边形 ADEF 是正方形,FA⊥平面 ABCD,BC∥AD, CD=1,AD= 2 2 , ∠BAD=∠CDA=45°. (Ⅰ)求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值; (Ⅱ)证明 CD⊥平面 ABF; (Ⅲ)求二面角 B-EF-A 的正切值。(

2 2 ) 3

2

线面垂直 8 、 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 是 边 长 为 1 的 正 方 形 ,

P _

PA ? CD, PA ? 1, PD ? 2. (Ⅰ)求证: PA ? 平面 ABCD ;

(Ⅱ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积. (Ⅲ)求直线 PB 与底面 ABCD 所成角的大小. 9、 已知三棱锥 P—ABC 中,PC ? 底面 ABC,AB=BC,D、F 分别 为 AC、PC 的中点,DE ? AP 于 E。 (1)求证:AP ? 平面 BDE; (2)求证:平面 BDE ? 平面 BDF; (3)若 AE:EP=1:2,求截面 BEF 分三棱锥 P—ABC 所成上、下两部分的体积比。
B _

A _ _ C

D _

10、四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,边长为 a,PD=a,

PA=PC= 2a ,
(1)求证:PD⊥平面 ABCD; (2)求证,直线 PB 与 AC 垂直; (3)求二面角 A-PB-D 的大小.

11.如图,已知两个正四棱锥 P ? ABCD 与 Q ? ABCD 的高分别为 1 和 2, AB ? 4 .
P

(1) 证明 PQ ? 平面ABCD ; (2) 求异面直线 AQ 与 PB 所成的角; (3) 求点 P 到平面 QAD 的距离. 12.(2012 年广东理 13 分)
A

D B

C

Q

如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥ 平面 BDE。 (1) 证明:BD⊥平面 PAC; (2) 若 PA=1,AD=2,求二面角 B-PC-A 的正切值; ( tan? ? 3 )

13.(2012 江西理 12 分) 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AB=AC=AA1= 5 ,BC=4,在 A1 在底面 ABC 的投影是线段 BC 的中点 O。
3

(1)证明在侧棱 AA1 上存在一点 E,使得 OE⊥平面 BB1C1C,并 求出 AE 的长; (2)求平面 A1B1C 与平面 BB1C1C 夹角的余弦值。

14.如图, 四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为菱形, PA ? 底面 ABCD,

AC= 2 2 ,PA=2,E 是 PC 上的一点,2PE=EC。

(I) 证明 PC ? 平面 BED; (II) 设二面角 A-PB-C 为 90°,求 PD 与平面 PBC 所成角的 大小

15.(本小题满分 13 分)(11 广东 文) 图 5 所示的几何体是将高为 2,底面半径为 1 的直 圆柱沿过轴的平面切开后,将其中一半沿切面向右水 平平移后得到的. A,A′,B,B′分别为
' CD , C ' D' , DE , D' E ' 的中点, O1 , O1' , O2,O2 分别为

CD, C ' D ', DE, D ' E ' 的中点.
(1)证明: O1 , A , O2 , B 四点共面;
' ' (2)设 G 为 A A′中点,延长 A O1 到 H′,使得 O1 H ? A O1 . 证明: BO2 ? 平面H B G
' ' ' ' ' ' ' ' ' '

18(本小题满分 4 分)(13 广东 理)

如图 5,在等腰直角三角形 ABC 中,∠A =900 BC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,CD=BE=



误!未找到引用源。
,O 为 BC 的中点.将△ADE 沿 DE 折起,得到如图 6 所示的四棱椎 A’-BCDE,其中 A’O=?3

4

(1)

证明:A’O⊥平面 BCDE;

(2) 求二面角 A’-CD-B 的平面角的余弦值.

5


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