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重庆高考数学试题分类汇编——数列(文)

时间:2012-10-18


重庆高考数学试题分类汇编——数列(文)
2009 年 5.设 ? a ? 是公差不为 0 的等差数列,a
n
1

? 2 且 a1 , a 3 , a 6

成等比数列,

则 ? a ? 的前 n 项和 S =(
n
n

)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
n
2

A.

n

2

?

7n 4

4

B.

?

5n 3

3

C.

n

2

?

3n 4

2

D. n

2

?n

【答案】A 解析设数列 { a } 的公差为 d ,则根据题意得 (2 ? 2 d )2 ? 2 ? (2 ? 5 d ) ,解得
n

d ?

1 2

或d

?0

舍去) ,所以数列 { a } 的前 n 项和 S
n

n

? 2n ?

n ( n ? 1) 2

?

1 2

?

n

2

?

7n 4

4

已知 a

1

? 1, a 2 ? 4, a n ? 2 ? 4 a n ? 1 ? a n , b n ?

a n ?1 an

,n? N

?



(Ⅰ)求 b , b
1

2

, b3 的值;

(Ⅱ)设 c

n

? b n b n ? 1 , S n 为数列 ? c n ? 的前 n

项和,求证: S

n

? 17 n ;

(Ⅲ)求证: b 解: (Ⅰ)? (Ⅱ)由 a 所
c1 ? , b1
n?2

2n

? bn ?

1 ? n?2 64 17

1


17 4
1 bn

a 2 ? 4, a 3 ? 1 7 , a 4 ? 7 2 ,所以 b1 ? 4 .b 2 ? ? 4 a n ?1 ? a n 得
an?2 a n ?1 ? 4? an a n ?1

, b3 ?

72 17

即b ,

n ?1

? 4?


? 1 b2 n


?

n≥ 2


1

bn ? 4 1? b 1


7


n ( 2

7

n

? ,c

n

b ? ≥

n

b 4

?

所以 S

n

? c1 ? c 2 ? ? ? c n ? 1 7 n

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
? b1 ?
1 bn

(Ⅲ)当 n ? 1 时,结论 b 当 n ≥ 2 时,有 b
n ?1

1 4

2

?

17 64
1

成立
|? | b n ? b n ?1 b n b n ?1 |≤ 1 17 | bn ? bn ?1 |

? bn ? | 4 ?

?4?

b n ?1



1 17
2

| b n ? 1 ? b n ? 2 |≤ ? ≤

1 17
n ?1

| b 2 ? b1 |?

1 ? n?2 64 17
? 1 n

1

(n ≥ 2)

所以

b2 n ? bn ≤

bn 1 ? ?

bn ?

? n 2

b

?

b ? ?

? 2b

n

? 2b ?

n1

1 ? 1 n ?1 ( ) 4 ? 17 ?

1 n ?1 1 ( ) (1 ? ) n 1 n 1 2n?2 ? 1 17 1 1 * 17 ? ( ) ?? ? ( ) ? ? ? ? n?2 (n ? N ) ? 4 1 17 17 64 17 ? 1? 17

2008 年 (1)已知{an}为等差数列, a (A)4 (10)若(x+ 项的系数为 (A)6 (B)7 (C)8 (D)9
1 2x )
n

2

? a 8 ? 1 2 ,则 a 5 等于

C (D)7

(B)5
1 2x

(C)6

)n 的展开式中前三项的系数成等差数, 则展开式中 x4

【解析】 本小题主要考查二项式定理的基础知识。 因为 ( x ? 展开式中前三项的系数 C 、
0 n


1

1 2

Cn

1



1 4

Cn

2

成等差数列, 所以 C
r 8?r

0 n

?

1 4

Cn ? Cn ,
2

即n

2

? 9 n ? 8 ? 0 ,解得:n ? 8 或 n ? 1 (舍) T r ? 1 ? C 8 x 。
? 2 ,所以 x
4

(

1 r r 8?2r r ) ? ( ) C8 x 2x 2

1



令 8 ? 2 r ? 4 可得, r

的系数为 (

1 2

) C8 ? 7
2 2

,故选 B。

(22) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 6 分.(Ⅱ)小问 6 分)
3

设各项均为正数的数列{an}满足 a (Ⅰ)若 a (Ⅱ)若 2
2

1

? 2, a n ? a n2? 1 a n ? 2 ( n ? N *) .

?

1 4

,

求 a3,a4,并猜想 a2008 的值(不需证明); n≥2 恒成立,求 a2 的值.

2 ? a1 a 2 ???a n ? 4 对

解: (I)因 a1=2,a2=2-2,故 由此有 a
? 2
? ?2 ?
0

1

, a2 ? 2

? ?2 ?

1

, a3 ? 2

? ?2 ?

2

, a4 ? 2

? ?2 ?

3

, ....

从而猜想 an 的通项为
an ? 2
( ?2 )
n ?1

( n ? N *)

,

所以 a2xn= 2 ( ? 2 ) .
2 xn

(Ⅱ)令 xn=log2an.则 a2=2x2,故只需求 x2 的值。 设 Sn 表示 x2 的前 n 项和, a1a2?an= 2 s ,由 2 则
n

2

≤a1a2?an<4 得

2 3

≤Sn=x1+x2+?+xn<2(n≥2).
2 3 1 2

因上式对 n=2 成立,可得 ≤x1+x2,又由 a1=2,得 x1=1,故 x2≥ .
2

由于 a1=2, a

n

? a n3? 1 a n ? 2 (n∈N*),得 x n ?

3 2

x n ? 1 ? x n ? 2 (n∈N*),即

x n ? 2 ? 2 x n ?1 ? ( x n ? 2 ?

3 2

x n ?1 ) ?

1 2

x n ?1 ?

1 2
2

( x n ?1 ? 2 x n ) , 1

因此数列{xn+1+2xn}是首项为 x +2,公比为 的等比数列,故
2

xn+1+2xn=(x2+2)

1 2
n ?1

(n∈N*).

将上式对 n 求和得 Sn+1-x1+2Sn=(x2+2)(1+ +?+
2 1 1 2
n ?1

)=(x2+2)(2-

1 2
n ?1

)(n≥2).

因 Sn<2,Sn+1<2(n≥2)且 x1=1,故 (x2+2)(2- 因此 2 x 下证 x
2

1 2
n ?1

)<5(n≥2).

?1 ?

x2 ? 2 2
n ?1

?n ? 2? .
1

2

?

1 2

,若淆,假设 x > ,则由上式知,不等式
2

2

2n-1<

x2 ? 2 2x2 ? 1

对 n≥2 恒成立,但这是不可能的,因此 x2≤ .
2

1

又 x2≥ ,故 x = ,所以 a2= 2 =
x2

1

1

2

2

2

2

.

2007 年 (1)在等比数列{an}中,a2=8,a1=64, ,则公比 q 为 A (A)2 (B)3 (C)4 (D)8

(11)设 (A)1

3b 是 1 ? a 和1 ? a

的等比中项,则 a+3b 的最大值为 B (C)3 (D)4

(B)2

(22) (本小题满分 12 分,其中(Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn>1,且
6 S n ? ( a n ? 1)( a n ? 2 ) ? 1, n ? N .

(Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{bn}满足 a n ?2 n 求证:
3T ? 1 1 log 2 ( a n ? 3 ), n ? N . >

? 1 ? 1,

?

并记 Tn 为{bn}的前 n 项和,

(Ⅰ)解:由 a

1

? S1 ?

1 6

( a 1 ? 1)( a 1 ? 2 )

,解得 a1=1 或 a1=2,由假设

a1=S1>1,因此 a1=2。 又由 an+1=Sn+1- Sn= 1 ( a
6
n ?1

? 1)( a n ? 1 ? 2 ) ?

1 6

( a n ? 1)( a n ? 2 )



得 an+1- an-3=0 或 an+1=-an 因 an>0,故 an+1=-an 不成立,舍去。 因此 an+1- an-3=0。 从而 n} {a 是公差为 3, 首项为 2 的等差数列, 故{an}的通项为 an=3n-2。 (Ⅱ)证法一:由 a n ( 2 b
? 1 ? ? ? log b z ? log z ? 1 ? ? an ? ? ? 3n
z

? 1) ? 1

可解得

3n ? 1

; 。
3

从而 T n 因此 3T n

3n ? ?3 6 ? b 1 ? b 2 ? ? ? b n ? log z ? · ·?· ? 3n ? 1 ? ?2 5

3n ? 2 ?3 6 ? 1 ? log z ( a n ? 3 ) ? log z ? · ·?· ? · 2 5 3n ? 1 ? 3n ? 2 ?



令 f ( x ) ? ? 3 · 6 ·?· ?
?2 5

2 ? ? · 3n ? 1 ? 3n ? 2 3n
3

3

,则
3 2

f ( n ? 1) f (n)

?

3 n ? 2 ? 3n ? 3 ? ·? ? 3 n ? 5 ? 3n ? 2 ?

?

(3 n ? 3)

( 3 n ? 5 )( 3 n ? 2 )
? 9 n ? 7> 0



因 (3 n ? 3) 2

? ( 3 n ? 5 )( 3 n ? 2 )

2

,故

f ( n ? 1)> f ( n )

.
f (1) ? 27 20 >1

特别的 f ( n ) ? 即 3T n

。从而 3T n

? 1 ? log( a n ? 3 ) ? log f ( n )> 0



? 1 log 2 ( a n ? 3 ) >



证法二:同证法一求得 bn 及 Tn。 由二项式定理知当 c>0 时,不等式
(1 ? c ) >1 ? 3 c
3

成立。

由此不等式有
3T n ? 1 ? log
2

1? ? 1? 1 ? ? ? 2?1 ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? 2? ? 5? 3n ? 1 ? ? ?

3

3

3

> log

2

3 ?? 3? ? 3 ? ? 2?1 ? ??1 ? ? ? ?1 ? ? 2 ?? 5? ? 3n ? 1 ? ?
2

= log

5 8 3n ? 2 2· · ·?· ? log 2 ( 3 n ? 2 ) ? log 2 ( a n ? 3 ) 2 4 3n ? 1



证法三:同证法一求得 bn 及 Tn。 令 An= 3 · 6 ·?· 3 n ,Bn= 3 · 7 ·?· 3 n ? 1 ,Cn= 5 · 8 ·?· 3 n ? 2 。
2 5 3n 4 6 3n 4 7 3n ? 1



3n 3n ? 1



3n ? 1 3n



3n ? 2 3n ? 1

,因此 A > A
3 n

n

BnC n ?

3n ? 2 2



从而
3T n ? 1 ? log
2

3n ? ?2 6 2 ? · ·?· ? 3 5 3n ? 1 ? ?

3

? log

2

2 Ax

3

> log 2 2 A n B n C n

? log 2 ( 3 n ? 2 ) ? log 2 ( a n ? 3 )



2006 年 (2)在等比数列{a n}中,若 a n>0 且 a 3a7 = 64,则 a 5 的值为 D (A)2 (B)4
? 5?

(C)6 (D)8
x
2

(11)设 A(x1,y1), ? 4 , 9 ? ,C(x2,y2)是右焦点为 F 的椭圆 ? ? 上三个不同的点,

?

y

2

?1

25

9

则“| AF |,| BF |,| CF | 成等差数列”是“x1+x2 = 8”的 A (A)充要条件 分条件 (C)充分而不必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (B) 必要而不充

(14)在数列{an}中,若 a1 = 1,a n+1 = a n +2 (n≥1) ,则该数列的通 项 a n = _________2n-1

(22)(本小题满分 12 分) 如图,对每个正整数 n,An (xn,yn)是 抛物线 x 2
? 4y

上的点,过焦点 F 的直线

FAn 交抛物线于另一点 Bn(sn,tn) . (Ⅰ)试证:xnsn =-4 (n≥1) ; (Ⅱ)取 xn = 2n, 并记 Cn 为抛物线上 分 别 以 An 与 Bn 为 切 点 的 两 条 切

线的交点.试证:
| FC 1 | ? | FC
2

| ? ? ? | FC

n

|? 2 ? 2
n

? n ?1

?1

(n≥1) .

证明: (Ⅰ)对任意固定的 n ? 1 ,因为焦点 F(0, 1),所以可设直线

AnBn 的方程为 y ? 1 ?
knx

,将它与抛物线方程 x 2

? 4y

联立得
x ? 4k n x ? 4 ? 0.
2

由一元二次方程根与系数的关系得 x n s n

? ?4. ? 4y

(Ⅱ) 对任意固定的 n ? 1 , 利用导数知识易得抛物线 x 2 在 A n 处的切线的斜率
k An ? xn 2 , 故x
2

? 4y

在 A n 处的切线方程为
y ? yn ? xn 2 (x ? xn )





类似地,可求得 x 2

? 4y

在 B n 处的切线方程为
sn 2 (x ? sn ) ,

y ? tn ?



由②减去①得
yn ? tn ? xn ? sn 2 xn ? sn
2 2

x?

xn ? sn
2

2

,

2

从而

xn 4

2

?

sn 4

2

? ?

xn ? sn 2

x?

2 xn ? sn
2 2

xn ? sn 2 xn ? sn 2

x ?

,

4

x ?


? ?4

将③代入①并注意 x n s n -1)

得交点 Cn 的坐标为(

xn ? sn 2



由两点间的距离公式得

| FC

n

| ? (
2

xn ? sn 2

) ?4 ?
2

xn 4

2

?

sn 4

2

?2

?

xn 4

2

?

4 x
2 n

?2 ? (

xn 2

?

2 xn

)

2

从而

| FC

n

|?

| xn | 2

?

2 | xn |

现在 x n 和公式得,
| PC 1 | ? | FC
2

? 2

n

,利用上述已证结论并由等比数列求

| ? ? ? | FC

n

|

? ?

1 2 1 2

(| x 1 | ? | x 1 | ? ? ? | x n |) ? 2 ( (2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? 2(
2 n n ? n ?1

1 | x1 |

?

1 | x2 | 1 2
n

?? ?

1 | xn |

)

1 2
n

?

1 2
2 n ?1

?? ? ? 1.

)

? ( 2 ? 1) ? ( 2 ? 2

)? 2 ?2

2005 年 10.有一塔形几何体由若干个正方体构成, 式如图所 示,上层正方体下底面的四个顶点是下 体上底面 各连接中点,已知最底层正方体的棱长为 2,且该塔形 的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过 39,则 该塔形中正方体的个数至少是 A.4 C.6 B.5 D.7 ( C ) 层正方 构成方

22. (本小题满分 12 分) 数 列
{ a n }满足 a 1 ? 1且 8 a n ? 1 a n ? 16 a n ? 1 ? 2 a n ? 5 ? 0 ( n ? 1).



bn ?

1 an ? 1 2

( n ? 1).

(Ⅰ)求 b1、b2、b3、b4 的值; (Ⅱ)求数列 { b n } 的通项公式及数列 { a n b n } 的前 n 项和 S n . 解法一: (I) a
a2 ? 7 8 3 4
1

? 1, 故 b 1 ?

1 1? 1 2

? 2;

, 故 b2 ?

1 7 8 ? 1 3 4 ? 1 2 1 2

?

8 3

;

a3 ?

, 故 b3 ?

? 4;

a4 ?

13 20

, 故 b4 ?
? 4

20 3
4 3

.
4 3 4 ) ? 2 3 ? 8 4 2 ? ( ) , 3 3

(II)因 ( b
(b 2 ? 4 3 )
2

1

)( b 3 ?

4 4 2 2 ? ( ) , ( b1 ? )( b 3 ? ) ? ( b 2 ? ) 3 3 3 3
n

故猜想 {b 因an
? 2

?

4 3

}是首项为

2 3

, 公比 q ? 2的等比数列

.

, (否则将 a n
5 ? 2a ( n ? 1). ? 4 3 8 3

? 2 代入递推公式会导致矛盾)

故 a n ?1 ? 因 b n ?1 ?

16 ? 8 a n 4 3 ? 1

a n ?1 ? 2 an ? 1 2

1 2 ?

?

16 ? 8 a n 6an ? 3

?

4 3

?

20 ? 16 a n 6an ? 3 4 3 4 3

,

2 (b n ?

4 3

)?

?

20 ? 16 a n 6an ? 3

? b n ?1 ?

, b1 ?

? 0,

故| b
因 b1 ?

n

?
?

4 3
2 3

| 确是公比为
4 3 ? 1 3 ?2
n

q ? 2 的等比数列.

4 3

, 故 bn ?

,

bn ?

1 3

?2

n

?

4 3

( n ? 1)

由 bn ?

1 an ? 1 2

得 a nbn ?

1 2

b n ? 1,

故 S n ? a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n

1
? 1 2 ( b1 ? b 2 ? ? ? b n ) ? n

(1 ? 2 )
n

? 3

1? 2

?

5 3

n ?

1 3

( 2 ? 5 n ? 1)
n

解法二: (
bn ? 1 an ? 1 2
4 b n ?1 b n ? 6 b n ?1 ? 3 bn ? 0 , 即 b n ?1 ? 2 b n ? 4 3 ,


得 an ? 1 bn ? 1 2 , 代入递推关系


8 a n ? 1 a n ? 16 a n ? 1 ? 2 a n ? 5 ? 0 ,



整理得

由 a 1 ? 1, 有 b1 ? 2 , 所以 b 2 ?

8 3

, b3 ? 4, b4 ? 4 3

20 3 4 3

. ), b1 ? 4 3 ? 2 3 ? 0,

(Ⅱ)由 b 所以 {b
bn ? 4 3 ?
n

n ?1

? 2bn ?

4 3 2 3

, b n ?1 ?

? 2 (b n ?

?

4 3

}是首项为

, 公比 q ? 2的等比数列

,故

1 3
1

? 2 , 即 bn ?
n

1 3

?2 ?
n

4 3

( n ? 1).

由 bn ?

an ?

1 2

得 a n bn ?

1 2

b n ? 1,

故 S n ? a1b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n ?

1 2

( b1 ? b 2 ? ? ? b n ) ? n

1 ? 3

(1 ? 2 )
n

1? 2

?

5 3

n ?

1 3

( 2 ? 5 n ? 1).
n

解法三: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ) b
2

? b1 ?

2 3

, b3 ? b2 ?

4 3

, b 4 ? b3 ?

8 2 8 4 2 , ? ? ( ) 3 3 3 3

猜想 {b n ? 1 ? b n }是首项为 又因 a n ? 2 , 故 a n ? 1 ?

2 3

, 公比 q ? 2的等比数列 ( n ? 1).因此

, b n ?1 ? b n ?

1 3

?2

n

5 ? 2an 16 ? 8 a n
1 an ? 1 2

b n ?1 ? b n ?

1 a n ?1 ? 1 2

?

?

1 5 ? 2an 16 ? 8 a n ? 1 2

?

2 2an ? 1

?

16 ? 8 a n 6an ? 3
1 a n?2 ? 1 2

?

6 6an ? 3
1

?

10 ? 8 a n 6an ? 3

;

b n ? 2 ? b n ?1 ?

?

a n ?1 ?

1 2

?

16 ? 8 a n ? 1 6 a n ?1 ? 3

?

16 ? 8 a n 6an ? 3

?
2 3

36 ? 24 a n 6an ? 3

?

16 ? 8 a n 6an ? 3

?

20 ? 16 a n 6an ? 3

? 2 ( b n ? 1 ? b n ).
1 3

因 b 2 ? b1 ?

? 0 , { b n ? 1 ? b n }是公比 q ? 2的等比数列

, b n ?1 ? b n ?

?2 ,
n

从而 b n
? 1 3
由 bn ?

? ( b n ? b n ? 1 ) ? ( b n ? 1 ? b n ? 2 ) ? ? ? ( b 2 ? b1 ) ? b1

(2

n ?1

?2
1

n?2

?? ? 2 )? 2 ?
1

1 3

(2 ? 2) ? 2 ?
n

1 3

?2 ?
n

4 3

( n ? 1).

an ?

1 2

得 a n bn ?

1 2

b n ? 1,

故 S n ? a1b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n ?

1 2

( b1 ? b 2 ? ? ? b n ) ? n

1 ? 3

(1 ? 2 )
n

1? 2

?

5 3

n ?

1 3

( 2 ? 5 n ? 1).
n

2004 年 9. 若 { a } 是等差数列,首项 a ? 0, a ? a 项和 S ? 0 成立的最大自然数 n 是 B ( ) A.4005 B.4006 D.4008
n 1 2003 n 2004

? 0, a 2003 .a 2004 ? 0 ,则使前

n

C. 4007

22. (本小题满分 14 分) 设 a1 (1)令 b
? 2, a 2 ? 5 3 , a n?2 ? 5 3 a n ?1 ? 2 3 a n , ( n ? 1, 2 , ? ? )

n

? a n ? 1 ? a n , ( n ? 1, 2......)

求数列 {b } 的通项公式;
n n

(2)求数列 { n a } 的前 n 项和 S .
n

解: (I)因 b n ?1

? a n ? 2 ? a n ?1

? ? ?
2 3

5 3 2 3 2 3

a n ?1 ?

2 3

a n ? a n ?1

( a n ?1 ? a n ) bn
? a 2 ? a1 ? 2 3

故{bn}是公比为 的等比数列,且 b1
2 n bn ? ( ) 3 ( n ? 1, 2 , ? )

,故

(II)由 b n

2 n ? a n ?1 ? a n ? ( ) 得 3

a n ? 1 ? a 1 ? ( a n ? 1 ? a n ) ? ( a n ? a n ?1 ) ? ? ? ( a 2 ? a 1 )

2 n 2 n ?1 2 2 2 2 n ? ( ) ?( ) ?? ? ( ) ? ? 2 [1 ? ( ) ] 3 3 3 3 3

注意到 a 1

? 1, 可得
2 3
n

an ? 3 ?
n ?1

n ?1

( n ? 1, 2 , ? )

记数列 {

n2 3

n ?1

} 的前

n 项和为 Tn,则

Tn ? 1 ? 2 ? 2 3 Tn ? 2

2

2 n ?1 ?? ? n ?( ) , 3 3

2 2 2 n ? 2?( ) ?? ? n ?( ) 3 3 3

两式相减得 1 3 Tn ? 1 ? 2 2 2 2 n ?1 2 n ? ( ) ?? ? ( ) ? n( ) 3 3 3 3

2 n 2 n ? 3[1 ? ( ) ] ? n ( ) , 3 3 2 n 2 n (3 ? n ) 2 故 T n ? 9 [1 ? ( ) ] ? 3 n ( ) ? 9 ? n ?1 3 3 3 从而 S n ? a 1 ? 2 a 2 ? ? ? na n ? 3 (1 ? 2 ? ? ? n ) ? 2 T n ? 3 2 n ( n ? 1) ? (3 ? n ) 2 3
n ?1 n ?1 n

? 18


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