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2014·全国新课标卷Ⅰ(文科数学)

时间:2014-06-25


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2014·全国新课标卷Ⅰ(文科数学) 1.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 已知集合 M={x|-1<x<3},N={-2<x<1},则 M∩N= )

A.(-2,1) B.(-1,1) C.(1,3) D.(-2,3) 1.B [解析] 利用数轴可知 M∩N={x|-1<x<1}. 2. 、[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 若 tan α >0,则( ) A.sin α >0 B.cos α >0 C.sin 2α >0 D.cos 2α >0 2.C [解析] 2sin α cos α 2tan α 因为 sin 2α = 2 = >0,所以选 C. 2 sin α +cos α 1+tan2α 1 3.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 设 z= +i,则|z|=( 1+i 1 A. 2 B. 2 3 C. D.2 2 2 )

1-i 1 1 1 2 3.B [解析] z= +i= +i= + i,则|z|= . 2 2 2 2 1+i x2 y2 4.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 已知双曲线 2- =1(a>0)的离心率为 2,则 a=( a 3 A.2 B. 4.D 6 5 C. D.1 2 2 a2+3 =2,得 a2=1,所以 a=1. a2 )

c [解析] 因为 c2=a2+3,所以 e= = a

5.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是 偶函数,则下列结论中正确的是( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 5.C [解析] 因为 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), 于是 f(-x)· g(-x)=-f(x)g(x),即 f(x)g(x)为奇函数,A 错; |f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),即|f(x)|g(x)为偶函数,B 错; f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,即 f(x)|g(x)|为奇函数,C 正确; |f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,即 f(x)g(x)为偶函数,所以 D 也错. 6.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则 → → EB+FC=( )

1→ → A.AD B. AD 2

1→ → C. BC D.BC 2 6.A [解析] 1 1 EB+FC=EC+CB+FB+BC= AC+ AB=AD. 2 2

7. [2014· 全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y= π π cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos?2x+ ?,④y=tan?2x- ?中,最小正周期为π 的所有 6 4? ? ? ? 函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 7.A [解析] 函数 y=cos|2x|=cos 2x,其最小正周期为π ,①正确;将函数 y=cos x 的图像中位于 x 轴上方的图像不变,位于 x 轴下方的图像对称地翻转至 x 轴上方,即可得到 π y=|cos x|的图像,所以其最小天正周期也为π ,②正确;函数 y=cos?2x+ ?的最小正周期 6? ? π π 为π ,③正确;函数 y=tan?2x- ?的最小正周期为 ,④不正确. 2 4? ? 8.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 如图 11,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一 个几何体的三视图,则这个几何体是( ) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 8.B [解析] 从俯视图为矩形可以看出,此几何体不可能是三棱锥或四棱锥,其直观 图如图,是一个三棱柱.

9.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 执行如图 11 的程序框图,若输入的 a,b,k 分别为 1,2, 3,则输出的 M=( )

图 11

20 A. 3 9.D

7 B. 2

16 15 C. D. 5 8

3 3 [解析] 第一次循环后,M= ,a=2,b= ,n=2; 2 2

8 3 8 第二次循环后,M= ,a= ,b= ,n=3; 3 2 3 15 8 15 第三次循环后,M= ,a= ,b= ,n=4, 8 3 8 15 此时 n>k(n=4,k=3),结束循环,输出 M= . 8 10.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 已知抛物线 C:y2=x 的焦点为 F,A(x0,y0)是 C 上一点, 5 |AF|= x0,则 x0=( 4 )

A.1 B.2 C.4 D.8 1 p 1 5 10.A [解析] 由抛物线方程 y2=x,知 p= ,又因为|AF|=x0+ =x0+ = x0,所以得 2 2 4 4 x0=1.
? ?x+y≥a, 11.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 设 x,y 满足约束条件? 且 z=x+ay 的最小值为 ?x-y≤-1, ?

7,则 a=( ) A.-5 B.3 C.-5 或 3 D.5 或-3 11.B [解析] 当 a<0 时,作出相应的可行域,可知目标函数 z=x+ay 不存在最小值.

1 当 a≥0 时,作出可行域如图,易知当- >-1,即 a>1 时,目标函数在 A 点取得最 a 小值.由 A? a-1 a2+a a-1 a+1? ,知 zmin= + =7,解得 a=3 或-5(舍去). , 2 2 2 ? ? 2

图 225 3 12.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 已知函数 f(x)=ax -3x2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且

x0>0,则 a 的取值范围是( ) A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-1) 12.C [解析] 显然 a=0 时,函数有两个不同的零点,不符合.当 a≠0 时,由 f′(x)= 2? 2 ?2,+∞?上单调递增, 3ax2-6x=0, 得 x1=0, x2= .当 a>0 时, 函数 f(x)在(-∞, 0), 在? ?a ? ?0,a? a 上单调递减,又 f(0)=1, 所以函数 f(x)存在小于 0 的零点, 不符合题意;当 a<0 时,函数 f(x) 2? ?2 ? ?2? 在? ?-∞,a?,(0,+∞)上单调递减,在?a,0?上单调递增,所以只需 f?a?>0,解得 a<-2, 所以选 C. 13. [2014· 全国新课标卷Ⅰ] 将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行, 则 2 本数学书相邻的概率为________. 2 13. 3 [解析] 2 本数学书记为数 1,数 2,3 本书共有(数 1 数 2 语),(数 1 语数 2),(数 2

数 1 语),(数 2 语数 1),(语数 1 数 2),(语数 2 数 1)6 种不同的排法,其中 2 本数学书相邻 4 2 的排法有 4 种,对应的概率为 P= = . 6 3 14.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市.乙说:我没去过 C 城市.丙说:我们三人 去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为________. 14.A [解析] 由甲没去过 B 城市,乙没去过 C 城市,而三人去过同一城市,可知三人 去过城市 A,又由甲最多去过两个城市,且去过的城市比乙多,故乙只去过 A 城市. e ,x<1, ? ? 15. 、 [2014· 全国新课标卷Ⅰ] 设函数 f(x)=? 1 则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值 x ,x≥1, ? ?3 范围是________. 1 - 15. (-∞, 8] [解析] 当 x<1 时, 由 ex 1≤2, 得 x<1; 当 x≥1 时, 由 x ≤2, 解得 1≤x≤8, 3 综合可知 x 的取值范围为 x≤8. 16.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 如图 13,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为 测量观测点. 从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°, C 点的仰角∠CAB=45°, 以及∠MAC =75°,从 C 点测得∠MCA=60°.已知山高 BC=100 m,则山高 MN=________m.
x-1

图 13 16.150 [解析] 在 Rt△ABC 中,BC=100,∠CAB=45°,所以 AC=100 2.在△MAC AM AC 中, ∠MAC=75°, ∠MCA=60°, 所以∠AMC=45°, 由正弦定理有 = , sin∠MCA sin∠AMC

sin 60° 即 AM= ×100 sin 45°

2=100 3,于是在 Rt△AMN 中,有 MN=sin 60°×100 3=150 .

17. 、[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x2-5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式;
?an? (2)求数列?2n?的前 n 项和. ? ?

17.解:(1)方程 x2-5x+6=0 的两根为 2,3. 由题意得 a2=2,a4=3. 设数列{an}的公差为 d,则 a4-a2=2d, 1 3 故 d= ,从而得 a1= . 2 2 1 所以{an}的通项公式为 an= n+1. 2
?an? an n+2 (2)设?2n?的前 n 项和为 Sn,由(1)知 n= n+1 , 2 2 ? ?

n+1 n+2 3 4 则 Sn= 2+ 3+?+ n + n+1 , 2 2 2 2 n+1 n+2 1 3 4 S = + +?+ n+1 + n+2 , 2 n 23 24 2 2 两式相减得 1 1 1 n+2 3 1 n+2 n+4 1 3 Sn= +?23+?+2n+1?- n+2 = + ?1-2n-1?- n+2 ,所以 Sn=2- n+1 . 2 4 ? 4 4? ? 2 ? 2 2 18.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的 一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表: 质量指标 值分组 频数

[75,85) 6

[85,95) 26

[95,105) 38

[105,115) 22

[115,125) 8

(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图;

(2)估计这种产品质量指标值的平均值及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表); (3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于

95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定? 18.解:(1)频率分布直方图如下:

(2)质量指标值的样本平均数为 x=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100. 质量指标值的样本方差为 s2=(-20)2×0.06+ (-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.所以这种产品质量指标值的平均 数的估计值为 100,方差的估计值为 104. (3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.8=0.68. 由于该估计值小于 0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定. 19. [2014· 全国新课标卷Ⅰ] 如图 14, 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 侧面 BB1C1C 为菱形, B1C 的中点为 O,且 AO⊥平面 BB1C1C.

图 14 (1)证明:B1C⊥AB; (2)若 AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱 ABC A1B1C1 的高. 19.解:(1)证明:连接 BC1,则 O 为 B1C 与 BC1 的交点. 因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以 B1C⊥BC1. 又 AO⊥平面 BB1C1C,所以 B1C⊥AO, 由于 BC1∩AO=O,故 B1C⊥平面 ABO. 由于 AB?平面 ABO,故 B1C⊥AB. (2)作 OD⊥BC,垂足为 D,连接 AD.作 OH⊥AD,垂足为 H. 由于 BC⊥AO,BC⊥OD,且 AO∩OD=O, 故 BC⊥平面 AOD,所以 OH⊥BC. 又 OH⊥AD,且 AD∩BC=D, 所以 OH⊥平面 ABC. 因为∠CBB1=60°,所以△CBB1 为等边三角形,又 BC=1,可得 OD= 1 1 因为 AC⊥AB1,所以 OA= B1C= . 2 2 3 . 4

由 OH· AD=OD· OA,且 AD= OD2+OA2=

7 21 ,得 OH= . 4 14 21 .故三棱柱 ABC - A1B1C1 的高 7

又 O 为 B1C 的中点,所以点 B1 到平面 ABC 的距离为 为 21 . 7

20. 、 、[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△POM 的面积. 20.解:(1)圆 C 的方程可化为 x2+(y-4)2=16, 所以圆心为 C(0,4),半径为 4. 设 M(x,y),则 CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y). 由题设知 CM· MP=0,故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于点 P 在圆 C 的内部,所以 M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 2为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故 O 在线段 PM 的垂直平分线上,又 P 在圆 N 上,从而 ON⊥PM. 1 因为 ON 的斜率为 3,所以直线 l 的斜率为- , 3 1 8 故 l 的方程为 y=- x+ . 3 3 又|OM|=|OP|=2 故|PM|= 4 10 2,O 到直线 l 的距离为 , 5

4 10 16 ,所以△POM 的面积为 . 5 5

1-a 2 21. 、 [2014· 全国新课标卷Ⅰ] 设函数 f(x)=aln x+ x -bx(a≠1), 曲线 y=f(x)在点(1, 2 f(1))处的切线斜率为 0. (1)求 b; a (2)若存在 x0≥1,使得 f(x0)< ,求 a 的取值范围. a-1 a 21.解:(1)f′(x)= +(1-a)x-b. x 由题设知 f′(1)=0,解得 b=1, (2)f(x)的定义域为(0,+∞), 1-a 2 由(1)知,f(x)=aln x+ x -x, 2 a ? 1-a? a x- f′(x)= +(1-a)x-1= (x-1). x x ? 1-a?

1 a (i)若 a≤ ,则 ≤1,故当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增. 2 1-a 1-a a a a 所以, 存在 x0≥1, 使得 f(x0)< 的充要条件为 f(1)< , 即 -1< , 解得- 2 2 1-a a-1 a-1 -1<a< 2-1. 1 a (ii)若 <a<1,则 >1, 2 1-a a 故当 x∈?1,1-a?时,f′(x)<0;

?

?

a 当 x∈?1-a,+∞?时,f′(x)>0.

?

?

a a f(x)在?1,1-a?上单调递减,在?1-a,+∞?上单调递增.

?

?

?

?

a a a 所以,存在 x0≥1,使得 f(x0)< 的充要条件为 f?1-a?< ? ? a-1. a-1 a a a2 a a 而 f?1-a?=aln + + > ,所以不合题意. ? ? 1-a 2(1-a) a-1 a-1 1-a -a-1 a (iii)若 a>1, 则 f(1)= -1= < ,符合题意. 2 2 a-1 综上,a 的取值范围是(- 2-1, 2-1)∪(1,+∞). 22.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 选修 4-1:几何证明选讲 如图 15,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E, 且 CB=CE.

图 15 (1)证明:∠D=∠E; (2)设 AD 不是⊙O 的直径, AD 的中点为 M, 且 MB=MC, 证明: △ADE 为等边三角形. 22.证明:(1)由题设知 A,B,C,D 四点共圆, 所以∠D=∠CBE. 由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E. (2)设 BC 的中点为 N,连接 MN,则由 MB=MC 知 MN⊥BC,故点 O 在直线 MN 上. 又 AD 不是⊙O 的直径,M 为 AD 的中点, 故 OM⊥AD,即 MN⊥AD, 所以 AD∥BC,故∠A=∠CBE. 又∠CBE=∠E,故∠A=∠E. 由(1)知,∠D=∠E,所以△ADE 为等边三角形.

23.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 选修 4-4:坐标系与参数方程
? ?x=2+t, x2 y2 已知曲线 C: + =1,直线 l:? (t 为参数). 4 9 ?y=2-2t ?

(1)写出曲线 C 的参数方程、直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最 小值.
?x=2cos θ , ? 23.解:(1)曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数), ?y=3sin θ ?

直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ , 3sin θ )到直线 l 的距离 d= 则|PA|= d 2 5 = |5sin(θ+α)-6|, 5 sin 30° 5 |4cos θ +3sin θ -6|, 5

4 其中 α 为锐角,且 tan α = . 3 当 sin(θ+α)=-1 时,|PA|取得最大值, 22 5 最大值为 . 5 当 sin(θ+α)=1 时,|PA|取得最小值, 2 5 最小值为 . 5 24.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 选修 4-5:不等式选讲 1 1 若 a>0,b>0,且 + = ab. a b (1)求 a3+b3 的最小值; (2)是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?请说明理由. 1 1 2 24.解:(1)由 ab= + ≥ ,得 ab≥2,当且仅当 a=b= 2时等号成立. a b ab 故 a3+b3≥2 a3b3≥4 2, 当且仅当 a=b= 2时等号成立. 所以 a3+b3 的最小值为 4 2. (2)由(1)知,2a+3b≥2 6 ab≥4 3. 由于 4 3>6,从而不存在 a,b,使 2a+3b=6.


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