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2012届高考数学知识点复习题48

时间:2016-09-09


第四十八讲

随机抽样、用样本估计

总体、变量间的相互关系、统计案例
一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的 括号内.) 1.一个单位有职工 160 人,其中业务人员 96 人,管理人员 40 人,后勤服务人员 24 人,为了了解职工的收入情况,要从中抽取一个容量为 20 的样本,如何去抽取? 解法一:将 160 人从 1 至 160 编号,然后将用白纸做成有 1~160 号的 160 个号签放入 箱内搅匀,最后从中取 20 个签,与签号相同的 20 个人被选出. 解法二:将 160 人从 1 至 160 编号,按编号顺序分成 20 组,每组 8 人,令 1~8 号为第 一组,9~16 号为第二组,?,153~160 号为第 20 组.从第一组中用抽签方式抽到一个为 k 号(1≤k≤8),其余组是(k+8n)号(n=1,2,3,?,19),如此抽到 20 人. 解法三:按 20?160=1?8 的比例,从业务员中抽取 12 人,从管理人员中抽取 5 人, 从后勤人员中抽取 3 人, 都用简单随机抽样法从各类人员中抽取所需人数, 他们合在一起恰 好抽到 20 人. 以上的抽样方法,依次是简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的顺序是( A.解法一、解法二、解法三 B.解法二、解法一、解法三 C.解法一、解法三、解法二 D.解法三、解法一、解法二 解析:解法二为简单随机抽样,解法二为系统抽样,解法三为分层抽样,故选 C. 答案:C 2.一个样本 a,3,5,7 的平均数是 b,且 a、b 是方程 x2-5x+4=0 的两根,则这个样本 的方差是( A.3 C.5 ) B.4 D.6 )

解析:x2-5x+4=0 的两根是 1,4. 当 a=1 时,a,3,5,7 的平均数是 4,当 a=4 时,a,3,5,7 的平均数不是 1. 1 ∴a=1,b=4.则方差 s2= ×[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5,故选 C. 4 答案:C 3.为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校 100 名高三学生的视力情况, 得到频率分布直方图如图所示, 由于不慎将部分数据丢失, 但知道前 4 组的频数成等比数列, 后 6 组的频数成等差数列,设最大频率为 a,视力从 4.6 到 5.0 之间的学生数为 b,则 a,b

的值分别为( A.0.27,78 C.2.7,78

) B.0.27,83 D.2.7,83

解析:由图知共有 9 组,故后 6 组的频率是以 2.7×0.1=0.27 为首项,d 为公差的等差 数列,又各组频率之和为 0.01+0.03+0.09+0.27×6+15d=1,故 d=-0.05.所以各组的频 率依次为 0.01,0.03,0.09,0.27,0.22,0.17,0.12,0.07,0.02,故 a=0.27,b=(0.27+0.22+0.17+ 0.12)×100=78,故选 A. 答案:A 4.下列有关线性回归的说法,不正确的是( A.相关关系的两个变量不是因果关系 B.散点图能直观地反映数据的相关程度 C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 D.任一组数据都有回归方程 解析:根据两个变量属相关关系的概念,可知 A 正确;散点图能直观地描述呈相关关 系的两个变量的离散程度,且回归直线最能代表它们之间的相关关系,所以 B、C 正确;只 有线性相关的数据才有回归直线,所以 D 不正确. 答案:D 5.利用独立性检验来考虑两个分类变量 X 和 Y 是否有关系时,通过查阅下表来确定断 信“X 和 Y 有关系”的可信度.如果 k>5.024,那么就有把握认为“X 和 Y 有关系”的百分 比为( P(K2> k) k ) 0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.84 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.83 )

A.25% B.75% C.2.5% D.97.5% 解析:∵k>5.024 时,“X 和 Y 无关系”的可信度 0.025,所以“X 和 Y 有关系”百分比 97.5%. 答案:D 6.下面是一个 2×2 列联表 y1 x1 x2 总计 则表中 a,b 处的值分别为( ) a 2 b y2 21 25 46 总计 73 27

A.94,96 B.52,50 C.52,54 D.54,52 解析:∵a+21=73,∴a=52. 又∵a+2=b 知 b=54,故选 C. 答案:C 二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 6 分, 共 24 分, 把正确答案填在题后的横线上. ) 7.某企业三月中旬生产 A、B、C 三种产品共 3000 件,根据分层抽样的结果,企业统 计员制作了如下的统计表格: 产品类别 产品数量(件) 样本容量 A B 1300 130 C

由于不小心,表格中 A、C 产品的有关数据已被污染得看不清楚,统计员只记得 A 产品 的样本容量比 C 产品的样本容量多 10.根据以上信息,可得 C 产品的数量是________件. 解析:设样品的容量为 x,则 本中共有 300-130=170(件). 3000 设 C 产品的样本容量为 y, 则 y+(y+10)=170, 所以 y=80.所以 C 产品的数量为 ×80 300 =800(件). 答案:800 8.已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的中位 数为 10.5,若要使该总体的方差最小,则 a,b 的取值是________和________. - 解析:由题意 a+b=21,故平均数 x =10. 欲使方差最小,只需使(a-10)2+(b-10)2 最小, 又∵(a-10)2+(b-10)2=a2+b2-20(a+b)+200=a2+b2-220=(a+b)2-2ab-220= x ×1300=130,所以 x=300.所以 A 产品和 C 产品在样 3000

?a+b? 221-2ab≥221-2? 2 ?2,当且仅当 a=10.5,b=10.5 时最小,故 a=10.5,b=10.5 时,
s2 最小. 答案:10.5 10.5 9.某地教育部门为了调查学生在数学答卷中的有关信息,从上次考试的 10000 名考生 的数学试卷中用分层抽样的方法抽取 500 人, 并根据这 500 人的数学成绩画出样本的频率分 布直方图(如图),则 10000 人的数学成绩在[140,150]段的约是________人.

解析:设 500 人的数学成绩在[140,150]段的人数为 x,10000 人的数学成绩在[140,150]段 的人数为 n. 由 样 本 频 率 分 布 直 方 图 知 数 学 成 绩 在 [140,150] 段 的 频 率 最 小 矩 形 的 面 积 , 即 为 x 1 1 0.008×10=0.08= ,∴x=40.又样本的个数占总个数的 ,即每组的抽样比为 , 500 20 20 ∴ 1 40 = ,∴n=800. 20 n

∴10000 人的数学成绩在[140,150]段的约是 800 人. 答案:800 10. 某肉食鸡养殖小区某种病的发病鸡只数呈上升趋势, 统计近 4 个月这种病的新发病 鸡只数的线性回归分析如下表所示:

如果不加控制,仍按这个趋势发展下去,请预测从 9 月初到 12 月底的 4 个月时间里, 该养殖小区这种病的新发病鸡总只数约为________. ^ 解析:由上表可得:y=94.7x+1924.7,当 x 分别取 9,10,11,12 时,得估计值分别为: 2777,2871.7,2966.4,3061.1,则总只数约为 2777+2871.7+2966.4+3061.1≈11676. 答案:11676 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步 骤.) 11.一个地区共有 5 个乡镇 30000 人,其中人口比例为 3?2?5?1?4,要从这 30000 人中抽取 300 个人进行某种传染病分析, 因考虑该传染病与不同地理位置及水土有关, 问应

采取什么样的抽样方法?写出抽样过程. 解:应采用分层抽样的方法. 具体抽样过程如下: 300 1 (1)计算抽样比: = ; 30000 100 3 2 5 (2)计算各乡镇人口数分别为: ×30000=6000, ×30000=4000, ×30000=10000, 15 15 15 1 4 ×30000=2000, ×30000=8000; 15 15 (3) 计算各乡镇抽取的人口数分别为: 6000× 100,2000× 1 1 =20,8000× =80; 100 100 1 1 1 = 60,4000× = 40,10000× = 100 100 100

(4)用系统抽样的方法依次从五个乡镇中抽出 60 人,40 人,100 人,20 人,80 人; (5)将抽取的个体合在一起,就构成所要抽取的一个样本. 12.据报道,某公司的 33 名职工的月工资(以元为单位)如下: 职务 人数 工资 董事长 1 5500 副董事长 1 5000 董事 2 3500 总经理 1 3000 经理 5 2500 管理员 3 2000 职员 20 1500

(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数; (2)假设副董事长的工资从 5000 元提升到 20000 元, 董事长的工资从 5500 元提升到 30000 元,那么新的平均数、中位数、众数又是什么?(精确到元) (3) 你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?结合此问题谈一谈你的看 法. - 解:(1)平均数是 x =1500+ 4000+3500+2000×2+1500+1000×5+500×3+0×20 ≈1500+591=2091(元). 33 中位数是 1500 元,众数是 1500 元. - (2)平均数是 x ′=1500+ 28500+18500+2000×2+1500+1000×5+500×3+0×20 33 ≈1500+1788=3288(元). 中位数是 1500 元,众数是 1500 元. (3)在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平.因为公司中少数人 的工资额与大多数人的工资额差别较大, 这样导致平均数与中位数偏差数大, 所以平均数不 能反映这个公司员工的工资水平.

13. 要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响, 在高一年级学生 中随机抽选 10 名学生,分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩,如下表所 示: x y 63 65 67 78 45 52 88 82 81 82 71 89 52 73 99 98 58 56 76 75

表中 x 是学生入学数学成绩,y 是指高一年级期末考试数学成绩. (1)画出散点图; (2)求回归直线方程; (3)若某学生王明亮的入学数学成绩为 80 分,试预测他在高一年级期末考试中的数学成 绩为多少? 解:(1)作出散点图如图所示,从散点图可以看出,这两个变量具有线性相关关系.

(2) i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计 xi 63 67 45 88 81 71 52 99 58 76 700 yi 65 78 52 82 82 89 73 98 56 75 750 x2 i 3969 4489 2025 7744 6561 5041 2704 9801 3364 5776 51474 y2 i 4225 6084 2704 6724 6724 7921 5329 9604 3136 5625 58076 xiyi 4095 5226 2340 7216 6642 6319 3796 9702 3248 5700 54284

- 1 可求得 x = (63+67+?+76)=70, 10

- 1 y = (65+78+?+75)=75. 10 54284-10×70×75 b= ≈0.721, 51474-10×702 ∴a=75-0.721×70≈24.53. 所求的线性回归方程为 - y =0.721x+24.53. (3)若王明亮入学数学成绩为 80 分,代入上面的线性回归方程 - - y =0.721x+24.53 可得 y ≈82 分.


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