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贵州省贵阳市第一中学2018届高三12月月考数学(理)试题+Word版含答案

时间:2018-02-14


理科数学试卷
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.
2 1.已知全集为 R ,集合 A ? x y ? ln(2 ? x ) , B ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则图中阴影部分表

?

?

?

?

示的集合为(



A. x ?1 ? x ? 2

?

?

B. x 2 ? x ? 3

?

?

C. x 2 ? x ? 3 )

?

?

D. x x ? ?1

?

?

2.已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 (1 ? i) z ? 1 ? 2i ,则 z ? (

A.

5 2

B. 1

C.

5 2

D.

10 2


3.直线 l1 : ax ? y ? 2 ? 0 , l 2 : 3x ? (a ? 2) y ? 2a ? 0 ,则“ a ? 3 ”是“ l1 / / l2 ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”, 若甲、 乙贫困户获得扶持资金的概率分别为

2 和 5

3 ,两户是否获得扶持资金相互独立,则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为( ) 5 2 2 13 8 A. B. C. D. 15 5 15 15 ? ? ? ? ? ? ?? ? 5.已知平面向量 a ? (4, ?2) ,b ? 2 5 , 若 (a ? b)?c ? 3 , 则 b 与 c 的夹角为 ( ) c ? (1, ?2) ,
A. 30
?

B. 60

?

C. 120

?

D. 150

?

6.将函数 y ? 2sin(4 x ?

?
3

) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移


? 个单 3

位长度,得到函数 y ? g ( x) 的图象,则 y ? g ( x) 图象的一条对称轴为(

A. x ?

?
12

B. x ?

?
3

C. x ?

5? 12

D. x ?

2? 3

7.设定义在 R 上的函数 f ( x ) 的导函数为 f '( x) ,且满足

f '( x) ? f ( x) , f (1) ? 4 ,则不等式 ln 2

f ( x) ? 2x?1的解集为(
A. [1, 2]

) C. (??,1] D. (0,1]

B. [1, ??)

8.过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为锐角 ? 的直线 l ,交抛物线于 A , B 两点, 若 FA ? 2 BF ,则直线 l 的斜率为( A. 2 B. 3

??? ?

??? ?

) D. 2 3

C. 2 2

9.某三棱锥的三视图如图所示,若该三棱锥的体积是 ( )

8 ,则该三棱锥的外接球的表面积为 3

A. 12? 10.已知双曲线

B. 16?

C. 24?

D. 48?

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,是双曲线上一点,且满足 a


PF1 ? PF2 ? 2 a ? 2 ,则 ?POF1 的面积为(
A.

a 2

B. a

C. 1

D.

1 2


11.执行如图所示的程序框图,则输出 n 的值为(

A. 5

B. 6
3 2

C. 7

D. 8

12.若函数 y ? x ? x ? 1 ? a , ( ( x ? ? , e ? , e 为自然对数的底数)与 y ? x ? 3ln x 的图象 e
2

?1 ?

? ?

上存在两组关于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是( A.? 0,

) D.?

? ?

1 ? ? 2? 3 e ?

3 B.? ? 0, e ? 4 ? ?

C. ?

?1 ? ? 2, e3 ? 4 ? 3 ?e ?

?1 ? ? 2, ?? ? 3 ?e ?

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. (1 ? x) ? ax ?

? ?

a 1? 2 ? ? (a ? 0) 的展开式中 x 的系数为 240 ,则 ?0 4 ? x dx ? x?

6



?x ? y ? 1 ? 14.设 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? ?1,则 z ? x 2 ? y 2 的最小值为 ? x ? y ? ?1 ?



15.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 S2017 ? 0 , S2018 ? 0 对任意 n ? N ,都有
*

an ? am ,则 m 的值为
16.已知函数 f ( x) ?



1 ,下列函数 f ( x ) 的判断:① f ( x ) 的值域为 (??, ?1) ? (0, ??) ; x ?1

② y ? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减;③ y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称;④方程

f ( x) ? ax(a ? 0) 至少有一个实根.其中判断正确的序号为



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.)

17.在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 1 ? (I)求证:角 A , C , B 成等差数列; (II)若 c ? 3 ,求 ?ABC 面积的最大值.

sin B a ? . sin A ? sin C b ? c

18.某购物网站对在 7 座城市的线下体验店的广告费指出 xi (万元)和销售额 y i (万元)的数 据统计如下表: 城市 广告费支出

A

B

C
4

D

E

F

G
19

1

2

6

11

13

xi
销售额 y i

19

32

40

44

52

53

54

(I)若用线性回归模型拟合 y 与 x 关系,求 y 关于 x 的线性回归方程; (II)若用对数函数回归模型拟合 y 与 x 的关系,可得回归方程 y ? 12ln x ? 22 ,经计算对 数函数回归模型的相关系数约为 0.95 , 请说明选择哪个回归模型更合适, 并用此模型预测 A 城 市的广告费用支出 8 万元时的销售额. 参考数据:
?

?y
i ?1

7

i

? 294 , ? xi yi ? 2794 , ? xi2 ?708 ,
i ?1 i ?1

7

7

? ( y ? y)
i ?1 i

7

?

2

? 31.654 ,

260 ? 16.125 , ln 2 ? 0.6931 .

参考公式: b ?

?

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

?

?

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

, a ? y? b x .

?

?

? ?

2

相关系数 r ?

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

?

?

? ( x ? x) ? ( y ? y )
2 i ?1 i i ?1 i

n

?

n

?

.
2

? 19.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形, AB / / CD , ?DAB ? 60 , FC ?

平面 ABCD , AE ? BD , AD ? DC ? CF .

(I)求证: FC / / 平面 AED ; (II)求直线 AF 与平面 BDF 所成角的余弦值. 20.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? 3? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 A ?1, ? , F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点, 2 a b ? 2?

以原点为圆心,椭圆 C 的短轴长为直径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切. (I)求椭圆 C 的方程; (II)过点 F2 的直线 l 交椭圆 C 于 P , Q ,求 ?F1PQ 内切圆面积的最大值和此时直线 l 的方 程. 21.已知函数 f ( x) ? x ln x ?

a 3 2 , g ( x) ? x ? x ? 5 . x

(I)若 a ? 0 ,求 f ( x ) 的单调区间; (II)若对任意的 x1 , x2 ? ? , 2 ? 都有 f ( x1 ) ? 2 ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围. 2

?1 ?

? ?

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中, 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 2cos ? ( ? 为参数) , 点 P 是曲线 C ? y ? 2sin ?

上的一动点,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的方程为

?? ? 2? sin ?? ? ? ? 1 ( ? ? 0) . 4? ?
(I)求线段 OP 的中点 M 的轨迹的极坐标方程; (II)求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值. 23.选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ?1 ? x ?1 .

(I)作出函数 f ( x ) 的图象并求其值域; (II)若 m ?

3 f ( x ) max ,且 a2 ? 2c2 ? 3b2 ? m ,求 ab ? 2bc 的最大值. 4

贵阳第一中学 2018 届高考适应性月考卷(四) 理科数学参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】 1. A ? {x | x ? 2} , B ? {x | ?1 ? x ? 3} ,图中阴影部分表示 B ? (?R A) ? {x | 2≤ x ? 3} ,故选B.
1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? i) 1 3 ? 1? ? 3? ? ? ? ? i ,所以 | z |? ? ? ? ? ? ? ? 2.因为 (1 ? i) z ? 1 ? 2i ,所以 z ? 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2 ? 2? ? 2?
2 2

1 B

2 D

3 A

4 C

5 C

6 C

7 B

8 C

9 A

10 D

11 D

12 A

?

10 ,故选D. 2

3.若 l1 // l2 ,则 a(a ? 2) ? 3 ,且 a ? 2a ? 2 ? 3 ,解得 a ? 3 或 a ? ?1 ,∴“ a ? 3 ”是“ l1 // l2 ”的充 分不必要条件,故选A.

4.分别设甲、乙两贫困户获得扶持资金为事件A,B, P( A) ?

2 3 , P( B) ? ,“这两户中至少 3 5

有一户获得扶持资金”的对立事件是“这两户都没有获得扶持资金”,概率为

2 13 ? 2 ?? 3 ? 2 ?1 ? ?? 1 ? ? ? ,所以这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为 1 ? ? ,故选C 15 15 ? 3 ?? 5 ? 15
. 5.设向量 b 与 c 的夹角为 ? ,由 (a ? b) ?c ? 3 得 a ?c ? b ?c ? 3 ,所以 8 ? 2 5 ? 5 cos? ? 3 ,

1 所以 cos? ? ? ,∵ 0? ≤ ? ≤ 180? ,∴ ? ? 120? ,故选C. 2 π? π ? 6. 将函数 y ? 2sin ? 4 x ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 再向右平移 个单位 3? 3 ?
π? π? π π ? ? 长度,得到函数 y ? 2sin ? 2 x ? ? 的图象,所以 g ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? ,令 2 x ? ? kπ ? , 3? 3? 3 2 ? ?

得x? 7.由

kπ 5π , k ? Z ,故选 C. ? 2 12

f ?( x) f ( x) f ?( x) ? ln 2 ? f ( x) ? f ( x) 得 f ?( x) ? ln 2 ? f ( x) ? 0 ,设 g ( x) ? x ,则 g ?( x) ? ? 0, ln 2 2 2x f ( x) f ( x) f (1) 所以 g ( x) ? x 在 R 上是增函数,且 g (1) ? 不等式 f ( x) ≥ 2 x ?1 可化为 x ≥ 2 , ?2. 2 2 2 即 g ( x) ≥ g (1) ,∴ x ≥ 1 ,故选 B.

8.如图1所示,设 | BF |? x ,则 | AF |? 2 x ,分别过 A , B 作准线的垂线,垂足分别为 A1 , B1 ,由抛物线的定义知, | BB1 |? x , | AA1 |? 2 x ,再过 B 作 AA1 的垂线,垂足为 H ,则
| AH |? x ,所以 | BH |? 2 2 x ,则 tan ? ? 2 2 ,故选C.
图1 9.由三视图可知,该几何体是由正方体截去四个角后所得的正三棱锥,设正方体的棱长为 a

1 1 1 8 ,则该三棱锥的体积为 V ? a3 ? 4 ? ? a2 ?a ? a3 ? ,∴ a ? 2 ,因为该三棱锥的外接 3 2 3 3
球就是正方体的外接球,∴该三棱锥的外接球的直径 2r ? 2 3 ,所以该三棱锥的外接球 的表面积为 S ? 4πr 2 ? 12π ,故选A. 10.不妨设 | PF1 |?| PF2 | ,由双曲线的定义, | PF1 | ? | PF2 |? 2 a ,又 | PF1 | ? | PF2 |? 2 a ? 2

,联立解得 | PF1 |? a ? 2 ? a , | PF2 |? a ? 2 ? a , | F1 F2 |? 2 a ? 1 ,所以
| PF1 |2 ? | PF2 |2

1 ?| F1F2 |2 ,则△ PF1 F2 为直角三角形, ?F1 PF2 ? 90? ,△ PF1 F2 的面积为 | PF1 | ?| PF2 | 2 1 1 1 ? ? 2 ? 1 ,所以 S△POF1 ? S△PF1F2 ? ,故选D. 2 2 2 n 2 1 1 1 1 126 ? ? 11. n ,运行该程序得 S ? 1 ,当 S ? 时, ? (2 ? 1)(2n ?1 ? 1) 2n ?1 ? 1 2n ?1 ? 1 2 ? 1 2n?1 ? 1 127
n?7,S ?

126 254 126 不成立,继续循环; S ? ,n ?8,S ? 成立,循环结束,输出的 127 255 127

n ? 8 ,故选D.

?1 ? 12.由题意,问题等价于方程 x3 ? x2 ? 1 ? a ? ?( x2 ? 3ln x) 在 ? ,e ? 上有两个解,即方程 ?e ? ?1 ? x3 ? 3ln x ? 1 ? a 在 ? ,e ? 上有两个解. e ? ?

设 f ( x) ? x3 ? 3ln x ,则 f ?( x) ? 3x2 ?

3 3( x3 ? 1) 1 ,所以当 ≤ x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , ? x e x

f ( x) 单调递减;当 1 ? x ≤ e 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;于是 f ( x) 有最小值为

?1? 1 ?1? f (1) ? 1 ,又 f ? ? ? 3 ? 3 , f (e) ? e3 ? 3 , f ? ? ? f (e) ,由图可知,若方程 ?e? e ?e?

1 1 ?1 ? x3 ? 3ln x ? 1 ? a 在 ? ,e ? 上有两个解,则 1 ? 1 ? a ≤ 3 ? 3 ,所以 0 ? a ≤ 3 ? 2 ,故选A e e e ? ?
. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 【解析】
1? ? ?1? r r 6?r 6? 2r (ax)6? r ? ? ? C6 a x 13. ? ax ? ? 的展开式的通项 Tr ?1 ? C6 .令 6 ? 2r ? 1 ,不合题意, x? ? ? x?
6 r

13

14

15
1009

16 ③④

?

1 2

1? ? 2 4 舍去;令 6 ? 2 r ? 2 ,得 r ? 2 ,所以 (1 ? x) ? ax ? ? 的展开式中 x2 的系数是 C6 a ? 240 x ? ?

6

,得 a ? ?2 (舍负),所以 a ? 2 .根据 ? 半径的圆面积的

2

0

4 ? x 2 dx 的几何意义是以原点为圆心, 2 为

2 1 ,所以 ? 4 ? x 2 dx ? π . 0 4

14.由约束条件作出可行域,如图2所示. z ? x2 ? y 2 表示可行域内的点 P ( x,y ) 到原点
? | 0 ? 0 ? 1| ?? ? 12 ? (?1)2 ? ? 1 ? ? . ? 2 ?
2

O (0,0) 距离的平方,由图可知, zmin

15.∵ S2017 ? 又 S2018

2017(a1 ? a2017 ) ? 0 ,∴ a1 ? a2017 ? 0 ? 2a1009 ? 0 ? a1009 ? 0 , 2 图2 2018(a1 ? a2018 ) ? ? 0 ,∴ a1 ? a2018 ? 0 ? a1009 ? a1010 ? 0 ,所以 a1010 ? 0 且 2

| a1010 |?| a1009 | ,故对任意 n ? N? ,都有 | an |≥| a1009 | ,∴ m ? 1009 .

16.画出函数 f ( x ) ?

1 的图象,如图3,由此判断③,④正确. | x | ?1

三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分) (Ⅰ)证明:由 1 ? 由正弦定理

sin B a sin A ? sin B ? sin C a ,得 , ? ? sin A ? sin C b ? c sin A ? sin C b?c

图3

a ?b?c a ,化简得 a 2 ? b2 ? c 2 ? ab , ? a?c b?c

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? , 2ab 2 π ∵ C ? (0,π) ,∴ C ? , 3
根据余弦定理 cos C ? 又 A ? B ? C ? π ,∴ A ? B ? 2C ,所以角A,C,B 成等差数列. ?????(6 分)

(Ⅱ)解:根据余弦定理得 c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ? a 2 ? b2 ? ab ≥ 2ab ? ab ? ab , ∴ ab ≤ 9 ,当且仅当 a ? b 时“ ? ”成立, 则△ ABC 的面积为 S ?
1 3 9 3 ab sin C ? ab ≤ , 2 4 4

所以△ ABC 面积的最大值为 分) 18. (本小题满分 12 分)

9 3 . 4

??????????????(12

解: (Ⅰ)由已知得, x ? 8 , y ? 42 ,根据参考公式和数据得

?? b

? (x
i ?1 n

n

i

? x)( yi ? y )
i

? (x
i ?1

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

? x) 2

?x
i ?1

?

2 i

2794 ? 7 ? 8 ? 42 ? 1.7 , 708 ? 7 ? 82

? ? y ? bx ? ? 42 ? 1.7 ? 8 ? 28.4 , ∴a
∴ y 关于 x 的线性回归方程为 ? y ? 1.7 x ? 28.4 . ????????????? (6 分)

(Ⅱ) r ?

? (x
i ?1

n

i

? x)( yi ? y )
n

? (x
i ?1

n

?

i

? x)2 ? ( yi ? y)2
i ?1

442 ? 0.87 , 16.125 ? 31.654

∵ 0.87 ? 0.95 ,∴对数函数回归模型更合适,
? ? 12ln8 ? 22 ? 36ln 2 ? 22 ? 46.95 万元. 当 x ? 8 万元时,预测 A 城市的销售额为 y

?????????????? (12 分) 19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:∵四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60° , ∴BC=DC,∠ADC=∠BCD=120° ,∴∠CDB=30° , ∴∠ADB=90° ,即 BD⊥AD. 又 AE⊥BD, AE ? AD =A,∴BD⊥平面 AED, 又 BD ? 平面 ABCD,∴平面 AED⊥平面 ABCD. 如图 4,过 E 作 EG⊥AD 于 G,则 EG⊥平面 ABCD,
图4

又 FC⊥平面 ABCD,∴FC∥EG. 又 EG ? 平面 AED,FC ? 平面 AED, ∴FC∥平面 AED. ????????(6 分)

(Ⅱ)解:如图 5,连接 AC,由(Ⅰ)知 AC⊥BC, ∵FC⊥平面 ABCD, ∴CA,CB,CF 两两垂直. 以 C 为原点,建立空间直角坐标系 C?xyz. 设 BC ? 2 ,则 AC ? 2 3 ,AB ? 4 ,
F (0 ,0 ,2) , B(0,2, 0) , D( 3 , ? 1, 0) ,
图5

??? ? A(2 3, 0, 0) ,∴ AF ? (?2 3 , 0, 2) ,

??? ? ??? ? BD ? ( 3 , ? 3, 0) , FB ? (0 , 2, ? 2) . ? 设平面 BDF 的法向量为 n ? ( x ,y ,z ) ,

? ??? ? ? ? 3x ? 3 y ? 0 , ?n ? BD ? 0 , ? 则 ? ? ??? 即? ? ? ?y ? z ? 0, ? n ? FB ? 0 , ?
? 令 y ? 1 ,则 x ? 3 , z ? 1 ,则 n ? ( 3,, 1 1) .
? ???? | n ? AF | 5 设直线 AF 与平面 BDF 所成角为 ? ,则 sin ? ? ? ???? ? , | n || AF | 5

故直线 AF 与平面 BDF 所成角的余弦值为 20.(本小题满分12分)

2 5 . 5

???????????(12 分)

解: (Ⅰ)以原点为圆心,椭圆 C 的短轴长为直径的圆的方程为 x 2 ? y 2 ? b2 , 由题意,
|0?0? 6 | 2 ? b ,所以 b ? 3 .

1 9 ? 3? ∵点 A ? 1 , ? 在椭圆上,∴ 2 ? 2 ? 1 ,解得 a 2 ? 4 , a 4b ? 2?
∴椭圆C的方程为 ) (Ⅱ)由 S△F1PQ ?

x2 y 2 ? ?1. 4 3

…………………………………………………(4分

| PF1 | ? | QF1 | ? | PQ | ?r内切圆 , 2

根据椭圆定义, | PF1 | ? | QF1 | ? | PQ | =4a ? 8 ,所以 S△F1PQ ? 4 ?r , 内切圆 于是求△ F1 PQ 内切圆面积的最大值即为求△ F1 PQ 面积的最大值.
? x2 y 2 ? 1, ? ? 设直线 l 的方程为 x ? ty ? 1 , P( x1,y1 ) , Q( x2,y2 ) ,则 ? 4 3 ? x ? ty ? 1 , ?

6t 9 , y1 y2 ? ? 2 . 3t ? 4 3t ? 4 2 2 因为 | PQ | = (1 ? t 2 ) ? , ?( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? ? ,点 F1 到直线 l 的距离为 h ? 1? t2
消去 x 得 (3t 2 ? 4) y 2 ? 6ty ? 9 ? 0 ,所以 y1 ? y2 ? ?
2

所以△ F1 PQ 的面积为 S ?

t2 ?1 1 . | PQ | h = ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? 12 (3t 2 ? 4)2 2

令 t 2 ? 1 ? u (u ≥ 1) ,则 S ? 12

u u 1 . ? 12 ? 12 2 2 1 (3u ? 1) 9u ? 6u ? 1 9u ? ? 6 u

∵ y ? 9u ?

1 在 [1,? ? ) 上单调递增,∴当 u ? 1 时, S 取得最大值为 3, u

此时 t ? 0 ,直线 l 的方程为 x ? 1 , 内切圆的半径为

3 9π ,所以内切圆面积的最大值为 . 4 16

????????(12 分)

21.(本小题满分12分) 解: (Ⅰ)若 a ? 0 ,则 f ( x) ? x ln x ( x ? 0) , f ?( x) ? ln x ? 1 ,

1 1 由 f ?( x) ? 0 得 x ? ;由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? , e e 1? ?1 ? ? 所以 f ( x) 的单调递增区间是 ? ,? ? ? ,单调递减区间是 ? 0 , ? . e? ?e ? ?


……………(4分

1 2 (Ⅱ) g ?( x) ? 3x2 ? 2 x ? x(3x ? 2) ,所以当 ≤ x ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减; 2 3 2 当 ≤ x ≤ 2 时, g ?( x) ≥ 0 , g ( x) 单调递增, 3 41 ?1? 1 1 ?1 ? 又 g ? ? ? ? ? 5 ? ? , g (2) ? 8 ? 4 ? 5 ? ?1 ,所以 g ( x) 在 ? ,2 ? 上的最大值为 ?1 . 8 ?2? 8 4 ?2 ?
?1 ? 由题意,若对任意的 x1,x2 ? ? ,2 ? ,都有 f ( x1 ) ? 2 ≥ g ( x2 ) 成立, 2 ? ? a ?1 ? 即对任意的 x ? ? ,2 ? ,都有 f ( x) ≥1 恒成立,即 x ln x ? ≥1 恒成立, x ?2 ? ?1 ? 即 a ≥ x ? x2 ln x 对任意的 x ? ? ,2 ? 恒成立,所以 a ≥ ( x ? x2 ln x)max . ?2 ? ?1 ? 设 h( x) ? x ? x2 ln x , x ? ? ,2 ? ,则 h?( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x , h??( x) ? ?2ln x ? 3 , ?2 ? ?1 ? ?1? 所以 h??( x) 在 x ? ? ,2 ? 上单调递减,则 h??( x) ≤ h?? ? ? ? 2 ln 2 ? 3 ? 0 , ?2 ? ?2? ?1 ? 所以 h?( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x 在 x ? ? ,2 ? 上单调递减,又 h?(1) ? 0 , ?2 ?

1 所以当 ≤ x ? 1 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递增; 2
当 1 ? x ≤ 2 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递减,
?1 ? ∴ h( x) ? x ? x2 ln x 在 x ? ? ,2 ? 上的最大值为 h(1) ? 1 ,∴ a ≥ 1 , ?2 ?

所以 a 的取值范围是 [1,? ?) .

………………………………………………(12分

) 22.(本小题满分10分)【选修4?4:坐标系与参数方程】 解:(Ⅰ)设线段 OP 的中点 M 的坐标为 ( x ,y ) ,
? x ? 1 ? cos ? , 由中点坐标公式得 ? ( ? 为参数), ? y ? sin ? ,

消去参数得 M 的轨迹的直角坐标方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 , 由互化公式可得点 M 的轨迹的极坐标方程为 ? ? 2cos? . )
? ?? ?? ? ? (Ⅱ)由直线 l 的极坐标方程为 2 ? sin ? ? ? ? ? 1 ,得 2 ? ? sin ? cos ? cos ? sin ? ? 1 , 4 4? 4? ? ?

……………………(5分

所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,
0) 为圆心,2为半径的圆, 曲线 C 的普通方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,它表示以 (2 ,

则圆心到直线 l 的距离为 d ?

| 2 ? 0 ? 1| 1 ? (?1)
2 2

?

3 2 ? 2 ,所以直线 l 与圆相离, 2
3 2 ? 2. 2

故曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 d ? r ? 23.(本小题满分10分)【选修4?5:不等式选讲】

………………(10分)

?2( x ? ?1) , ? 解:(Ⅰ)由 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1|? ??2 x(?1≤x≤1) , ??2( x ? 1) , ?

……………………………(2分

) 如图6所示,
2] . 值域 y ?[ ? 2 ,

……………………(4分) ……………………………(5分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 m ? ∵

3 3 f ( x)max ? , 4 2

…………(6分)
图6

3 ? m ? a2 ? 2c2 ? 3b2 ? (a2 ? b2 ) ? 2(c2 ? b2 ) ≥ 2ab ? 4bc , 2

3 3 ∴ ab ? 2bc≤ , ∴ ab ? 2bc 的最大值为 , 4 4

当且仅当 a ? b ? c ?

1 时,等号成立. 2

??????????????? (10 分)

贵阳第一中学 2018 届高考适应性月考卷(四) 理科数学参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】 1. A ? {x | x ? 2} , B ? {x | ?1 ? x ? 3} ,图中阴影部分表示 B ? (?R A) ? {x | 2≤ x ? 3} ,故选B. 2.因为 (1 ? i) z ? 1 ? 2i ,所以 z ?
? 10 ,故选D. 2
1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? i) 1 3 ? 1? ? 3? ? ? ? ? i ,所以 | z |? ? ? ? ? ? ? ? 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2 ? 2? ? 2?
2 2

1 B

2 D

3 A

4 C

5 C

6 C

7 B

8 C

9 A

10 D

11 D

12 A

3.若 l1 // l2 ,则 a(a ? 2) ? 3 ,且 a ? 2a ? 2 ? 3 ,解得 a ? 3 或 a ? ?1 ,∴“ a ? 3 ”是“ l1 // l2 ”的充 分不必要条件,故选A. 4.分别设甲、乙两贫困户获得扶持资金为事件A,B, P( A) ?

2 3 , P( B) ? ,“这两户中至少 3 5

有一户获得扶持资金”的对立事件是“这两户都没有获得扶持资金”,概率为

2 13 ? 2 ?? 3 ? 2 ?1 ? ?? 1 ? ? ? ,所以这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为 1 ? ? ,故选C 3 5 15 15 15 ? ?? ?
. 5.设向量 b 与 c 的夹角为 ? ,由 (a ? b) ?c ? 3 得 a ?c ? b ?c ? 3 ,所以 8 ? 2 5 ? 5 cos? ? 3 ,

1 所以 cos? ? ? ,∵ 0? ≤ ? ≤ 180? ,∴ ? ? 120? ,故选C. 2 π? π ? 6. 将函数 y ? 2sin ? 4 x ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 再向右平移 个单位 3? 3 ?
π? π? π π ? ? 长度,得到函数 y ? 2sin ? 2 x ? ? 的图象,所以 g ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? ,令 2 x ? ? kπ ? , 3? 3? 3 2 ? ?

得x?

kπ 5π , k ? Z ,故选 C. ? 2 12

7.由

f ?( x) f ( x) f ?( x) ? ln 2 ? f ( x) ? f ( x) 得 f ?( x) ? ln 2 ? f ( x) ? 0 ,设 g ( x) ? x ,则 g ?( x) ? ? 0, ln 2 2 2x f ( x) f ( x) f (1) 所以 g ( x) ? x 在 R 上是增函数,且 g (1) ? 不等式 f ( x) ≥ 2 x ?1 可化为 x ≥ 2 , ?2. 2 2 2 即 g ( x) ≥ g (1) ,∴ x ≥ 1 ,故选 B.

8.如图1所示,设 | BF |? x ,则 | AF |? 2 x ,分别过 A , B 作准线的垂线,垂足分别为 A1 , B1 ,由抛物线的定义知, | BB1 |? x , | AA1 |? 2 x ,再过 B 作 AA1 的垂线,垂足为 H ,则
| AH |? x ,所以 | BH |? 2 2 x ,则 tan ? ? 2 2 ,故选C.
图1 9.由三视图可知,该几何体是由正方体截去四个角后所得的正三棱锥,设正方体的棱长为 a

1 1 1 8 ,则该三棱锥的体积为 V ? a3 ? 4 ? ? a2 ?a ? a3 ? ,∴ a ? 2 ,因为该三棱锥的外接 3 2 3 3
球就是正方体的外接球,∴该三棱锥的外接球的直径 2r ? 2 3 ,所以该三棱锥的外接球 的表面积为 S ? 4πr 2 ? 12π ,故选A. 10.不妨设 | PF1 |?| PF2 | ,由双曲线的定义, | PF1 | ? | PF2 |? 2 a ,又 | PF1 | ? | PF2 |? 2 a ? 2 ,联立解得 | PF1 |? a ? 2 ? a , | PF2 |? a ? 2 ? a , | F1 F2 |? 2 a ? 1 ,所以
| PF1 |2 ? | PF2 |2

1 ?| F1F2 |2 ,则△ PF1 F2 为直角三角形, ?F1 PF2 ? 90? ,△ PF1 F2 的面积为 | PF1 | ?| PF2 | 2 1 1 1 ? ? 2 ? 1 ,所以 S△POF1 ? S△PF1F2 ? ,故选D. 2 2 2 n 2 1 1 1 1 126 ? n ?1 ? n ?1 11. n ,运行该程序得 S ? 1 ,当 S ? 时, ? n?1 n ?1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1 2 ?1 2 ?1 127
n?7,S ?

126 254 126 不成立,继续循环; S ? ,n ?8,S ? 成立,循环结束,输出的 127 255 127

n ? 8 ,故选D.

?1 ? 12.由题意,问题等价于方程 x3 ? x2 ? 1 ? a ? ?( x2 ? 3ln x) 在 ? ,e ? 上有两个解,即方程 ?e ?

?1 ? x3 ? 3ln x ? 1 ? a 在 ? ,e ? 上有两个解. ?e ?

设 f ( x) ? x3 ? 3ln x ,则 f ?( x) ? 3x2 ?

3 3( x3 ? 1) 1 ,所以当 ≤ x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , ? x e x

f ( x) 单调递减;当 1 ? x ≤ e 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;于是 f ( x) 有最小值为

?1? 1 f (1) ? 1 ,又 f ? ? ? 3 ? 3 , f (e) ? e3 ? 3 , ?e? e

?1? f ? ? ? f (e) ,由图可知,若方程 ?e?

1 1 ?1 ? x3 ? 3ln x ? 1 ? a 在 ? ,e ? 上有两个解,则 1 ? 1 ? a ≤ 3 ? 3 ,所以 0 ? a ≤ 3 ? 2 ,故选A e e ?e ?
. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 【解析】
1? ? ?1? r r 6?r 6? 2r (ax)6? r ? ? ? C6 a x 13. ? ax ? ? 的展开式的通项 Tr ?1 ? C6 .令 6 ? 2r ? 1 ,不合题意, x? ? ? x? 1? ? 2 4 舍去;令 6 ? 2 r ? 2 ,得 r ? 2 ,所以 (1 ? x) ? ax ? ? 的展开式中 x2 的系数是 C6 a ? 240 x? ?
6 6 r

13

14

15
1009

16 ③④

?

1 2

,得 a ? ?2 (舍负),所以 a ? 2 .根据 ? 半径的圆面积的

2

0

4 ? x 2 dx 的几何意义是以原点为圆心, 2 为

2 1 ,所以 ? 4 ? x 2 dx ? π . 0 4

14.由约束条件作出可行域,如图2所示. z ? x2 ? y 2 表示可行域内的点 P ( x,y ) 到原点

O (0,0) 距离的平方,由图可知, zmin

? | 0 ? 0 ? 1| ?? ? 12 ? (?1)2 ?

? 1 ? ? . ? 2 ?

2

15.∵ S2017 ? 又 S2018

2017(a1 ? a2017 ) ? 0 ,∴ a1 ? a2017 ? 0 ? 2a1009 ? 0 ? a1009 ? 0 , 图2 2 2018(a1 ? a2018 ) ? ? 0 ,∴ a1 ? a2018 ? 0 ? a1009 ? a1010 ? 0 ,所以 a1010 ? 0 且 2

| a1010 |?| a1009 | ,故对任意 n ? N? ,都有 | an |≥| a1009 | ,∴ m ? 1009 .

16.画出函数 f ( x ) ?

1 的图象,如图3,由此判断③,④正确. | x | ?1

三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分) (Ⅰ)证明:由 1 ? 由正弦定理

sin B a sin A ? sin B ? sin C a ,得 , ? ? sin A ? sin C b ? c sin A ? sin C b?c

图3

a ?b?c a ,化简得 a 2 ? b2 ? c 2 ? ab , ? a?c b?c

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? , 2ab 2 π ∵ C ? (0,π) ,∴ C ? , 3
根据余弦定理 cos C ? 又 A ? B ? C ? π ,∴ A ? B ? 2C ,所以角A,C,B 成等差数列. ?????(6 分)

(Ⅱ)解:根据余弦定理得 c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ? a 2 ? b2 ? ab ≥ 2ab ? ab ? ab , ∴ ab ≤ 9 ,当且仅当 a ? b 时“ ? ”成立, 则△ ABC 的面积为 S ?
1 3 9 3 ab sin C ? ab ≤ , 2 4 4

所以△ ABC 面积的最大值为 分) 18. (本小题满分 12 分)

9 3 . 4

??????????????(12

解: (Ⅰ)由已知得, x ? 8 , y ? 42 ,根据参考公式和数据得

?? b

? (x
i ?1 n

n

i

? x)( yi ? y )
i

? (x
i ?1

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

? x) 2

?x
i ?1

?

2 i

2794 ? 7 ? 8 ? 42 ? 1.7 , 708 ? 7 ? 82

? ? y ? bx ? ? 42 ? 1.7 ? 8 ? 28.4 , ∴a
∴ y 关于 x 的线性回归方程为 ? y ? 1.7 x ? 28.4 . ????????????? (6 分)

(Ⅱ) r ?

? (x
i ?1

n

i

? x)( yi ? y )
n

? (x
i ?1

n

?

i

? x)2 ? ( yi ? y)2
i ?1

442 ? 0.87 , 16.125 ? 31.654

∵ 0.87 ? 0.95 ,∴对数函数回归模型更合适,
? ? 12ln8 ? 22 ? 36ln 2 ? 22 ? 46.95 万元. 当 x ? 8 万元时,预测 A 城市的销售额为 y

?????????????? (12 分) 19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:∵四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60° , ∴BC=DC,∠ADC=∠BCD=120° ,∴∠CDB=30° , ∴∠ADB=90° ,即 BD⊥AD. 又 AE⊥BD, AE ? AD =A,∴BD⊥平面 AED, 又 BD ? 平面 ABCD,∴平面 AED⊥平面 ABCD. 如图 4,过 E 作 EG⊥AD 于 G,则 EG⊥平面 ABCD,
图4

又 FC⊥平面 ABCD,∴FC∥EG. 又 EG ? 平面 AED,FC ? 平面 AED, ∴FC∥平面 AED. ????????(6 分)

(Ⅱ)解:如图 5,连接 AC,由(Ⅰ)知 AC⊥BC, ∵FC⊥平面 ABCD, ∴CA,CB,CF 两两垂直. 以 C 为原点,建立空间直角坐标系 C?xyz. 设 BC ? 2 ,则 AC ? 2 3 ,AB ? 4 ,
F (0 ,0 ,2) , B(0,2, 0) , D( 3 , ? 1, 0) ,
图5

??? ? A(2 3, 0, 0) ,∴ AF ? (?2 3 , 0, 2) , ??? ? ??? ? BD ? ( 3 , ? 3, 0) , FB ? (0 , 2, ? 2) . ? 设平面 BDF 的法向量为 n ? ( x ,y ,z ) ,

? ??? ? ? ? 3x ? 3 y ? 0 , ?n ? BD ? 0 , ? 则 ? ? ??? 即? ? ? ?y ? z ? 0, ? n ? FB ? 0 , ?
? 令 y ? 1 ,则 x ? 3 , z ? 1 ,则 n ? ( 3,, 1 1) .

? ???? | n ? AF | 5 设直线 AF 与平面 BDF 所成角为 ? ,则 sin ? ? ? ???? ? , | n || AF | 5

故直线 AF 与平面 BDF 所成角的余弦值为 20.(本小题满分12分)

2 5 . 5

???????????(12 分)

解: (Ⅰ)以原点为圆心,椭圆 C 的短轴长为直径的圆的方程为 x 2 ? y 2 ? b2 , 由题意,
|0?0? 6 | 2 ? b ,所以 b ? 3 .

1 9 ? 3? ∵点 A ? 1 , ? 在椭圆上,∴ 2 ? 2 ? 1 ,解得 a 2 ? 4 , a 4b ? 2?
∴椭圆C的方程为 ) (Ⅱ)由 S△F1PQ ?

x2 y 2 ? ?1. 4 3

…………………………………………………(4分

| PF1 | ? | QF1 | ? | PQ | ?r内切圆 , 2

根据椭圆定义, | PF1 | ? | QF1 | ? | PQ | =4a ? 8 ,所以 S△F1PQ ? 4 ?r , 内切圆 于是求△ F1 PQ 内切圆面积的最大值即为求△ F1 PQ 面积的最大值.
? x2 y 2 ? 1, ? ? 设直线 l 的方程为 x ? ty ? 1 , P( x1,y1 ) , Q( x2,y2 ) ,则 ? 4 3 ? x ? ty ? 1 , ?

6t 9 , y1 y2 ? ? 2 . 3t ? 4 3t ? 4 2 2 因为 | PQ | = (1 ? t 2 ) ? , ?( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? ? ,点 F1 到直线 l 的距离为 h ? 1? t2
消去 x 得 (3t 2 ? 4) y 2 ? 6ty ? 9 ? 0 ,所以 y1 ? y2 ? ?
2

所以△ F1 PQ 的面积为 S ?

t2 ?1 1 . | PQ | h = ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? 12 (3t 2 ? 4)2 2

令 t 2 ? 1 ? u (u ≥ 1) ,则 S ? 12

u u 1 . ? 12 ? 12 1 (3u ? 1)2 9u 2 ? 6u ? 1 9u ? ? 6 u

∵ y ? 9u ?

1 在 [1,? ? ) 上单调递增,∴当 u ? 1 时, S 取得最大值为 3, u

此时 t ? 0 ,直线 l 的方程为 x ? 1 , 内切圆的半径为

3 9π ,所以内切圆面积的最大值为 . 4 16

????????(12 分)

21.(本小题满分12分)

解: (Ⅰ)若 a ? 0 ,则 f ( x) ? x ln x ( x ? 0) , f ?( x) ? ln x ? 1 ,

1 1 由 f ?( x) ? 0 得 x ? ;由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? , e e 1? ?1 ? ? 所以 f ( x) 的单调递增区间是 ? ,? ? ? ,单调递减区间是 ? 0 , ? . e? ?e ? ?


……………(4分

1 2 (Ⅱ) g ?( x) ? 3x2 ? 2 x ? x(3x ? 2) ,所以当 ≤ x ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减; 2 3 2 当 ≤ x ≤ 2 时, g ?( x) ≥ 0 , g ( x) 单调递增, 3 41 ?1? 1 1 ?1 ? 又 g ? ? ? ? ? 5 ? ? , g (2) ? 8 ? 4 ? 5 ? ?1 ,所以 g ( x) 在 ? ,2 ? 上的最大值为 ?1 . 2 8 4 8 2 ? ? ? ?
?1 ? 由题意,若对任意的 x1,x2 ? ? ,2 ? ,都有 f ( x1 ) ? 2 ≥ g ( x2 ) 成立, ?2 ? a ?1 ? 即对任意的 x ? ? ,2 ? ,都有 f ( x) ≥1 恒成立,即 x ln x ? ≥1 恒成立, x ?2 ? ?1 ? 即 a ≥ x ? x2 ln x 对任意的 x ? ? ,2 ? 恒成立,所以 a ≥ ( x ? x2 ln x)max . ?2 ? ?1 ? 设 h( x) ? x ? x2 ln x , x ? ? ,2 ? ,则 h?( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x , h??( x) ? ?2ln x ? 3 , ?2 ? ?1 ? ?1? 所以 h??( x) 在 x ? ? ,2 ? 上单调递减,则 h??( x) ≤ h?? ? ? ? 2 ln 2 ? 3 ? 0 , 2 ? ? ?2? ?1 ? 所以 h?( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x 在 x ? ? ,2 ? 上单调递减,又 h?(1) ? 0 , ?2 ?

1 所以当 ≤ x ? 1 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递增; 2
当 1 ? x ≤ 2 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递减,
?1 ? ∴ h( x) ? x ? x2 ln x 在 x ? ? ,2 ? 上的最大值为 h(1) ? 1 ,∴ a ≥ 1 , ?2 ?

所以 a 的取值范围是 [1,? ?) . )

………………………………………………(12分

22.(本小题满分10分)【选修4?4:坐标系与参数方程】 解:(Ⅰ)设线段 OP 的中点 M 的坐标为 ( x ,y ) ,
? x ? 1 ? cos ? , 由中点坐标公式得 ? ( ? 为参数), ? y ? sin ? ,

消去参数得 M 的轨迹的直角坐标方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ,

由互化公式可得点 M 的轨迹的极坐标方程为 ? ? 2cos? . )

……………………(5分

? ?? ?? ? ? (Ⅱ)由直线 l 的极坐标方程为 2 ? sin ? ? ? ? ? 1 ,得 2 ? ? sin ? cos ? cos ? sin ? ? 1 , 4 4? 4? ? ?

所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,
0) 为圆心,2为半径的圆, 曲线 C 的普通方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,它表示以 (2 ,

则圆心到直线 l 的距离为 d ?

| 2 ? 0 ? 1| 12 ? (?1)2

?

3 2 ? 2 ,所以直线 l 与圆相离, 2
3 2 ? 2. 2

故曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 d ? r ? 23.(本小题满分10分)【选修4?5:不等式选讲】

………………(10分)

?2( x ? ?1) , ? 解:(Ⅰ)由 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1|? ??2 x(?1≤x≤1) , ??2( x ? 1) , ?

……………………………(2分

) 如图6所示,
2] . 值域 y ?[ ? 2 ,

……………………(4分) ……………………………(5分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 m ? ∵

3 3 f ( x)max ? , 4 2

…………(6分) 图 6

3 ? m ? a2 ? 2c2 ? 3b2 ? (a2 ? b2 ) ? 2(c2 ? b2 ) ≥ 2ab ? 4bc , 2

3 3 ∴ ab ? 2bc≤ , ∴ ab ? 2bc 的最大值为 , 4 4
当且仅当 a ? b ? c ?

1 时,等号成立. 2

??????????????? (10 分)


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