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贵州省遵义市2018届高三上学期第二次联考数学(理)试题+Word版含答案

时间:2018-02-14


遵义市 2018 届高三第二次联考试卷 理科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 M ? x log 2 ? x ? 1? ? 0 ,集合 N ? x x ? ?2 ,则 N I M ? ( A. x ? 2 ? x ? 2 2.若复数

?

?

?

?



?

?

B. x x ? ?2

?

?

C. x x ? 2

?

?

D. x 1 ? x ? 2

?

?

a ? 3i ( a ? R , i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为( ) 1 ? 2i 3 A.-6 B.-2 C. D.6 2 r r r r r r r 3. 已知向量 a, b 的夹角为 60°, 且 a ? b ? 2, 则向量 a ? b 在向量 a 方向上的投影为 (
A.-1 B.0 C.2 D.3



4.在一组样本数据 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,L , ? xn , yn ? ( n ? 2 , x1 , x2 ,L , xn 不全相等)的散点图 中,若所有样本点 ? xi , yi ??i ? 1, 2,L , n ? 都在直线 y ? 系数为( A.-1 ) B.0 C.

1 x ? 1 上,则这组样本数据的样本相关 2

1 2


D.1

5.下列有关命题的说法正确的是(
2

A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”
2

B. “ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件
2

2 C.命题“ ?x0 ? R , x0 ? x0 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”
2

D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题 6.若 sin ? A. ?

3 ?? ? ?? ? ? a ? ? ? ,且 a ? ? , ? ? ,则 sin ?? ? 2a ? ? ( 5 ?2 ? ?2 ?
B. ?



24 25

12 25

C.

12 25

D.

24 25

7.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a ? 2c cos A , 5 sin A ? 1 ,则 sin C

的值为( A.

) B.

1 2

1 4

C.

5 4

D.

5 3


8.函数 f ? x ? ? Asin ?? x ? ? ? ? B 的一部分图象如下图所示,则 f ? ?1? ? f ?13? ? (

A.3

B.

3 2

C.2

D.

1 2
2

9.已知 m 是两个数 2,8 的等比中项,则圆锥曲线 x ?

y2 ? 1的离心率为( m
D. 5



A.

3 5 或 2 2

B.

3 或 5 2
x ?x

C.

3 2

10.定义在 R 上的奇函数 f ? x ? ? a ? 2 ? 2 A. ? ?a,0 ? B. ? 0, a ?

? 4sin x 的一个零点所在区间为(
D. ? 3, a ? 3?



C. ? a,3?

11.下边程序框图的算法思路是来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.

1 ? ? 执行该程序框图时, 若输入的 a、 b 分别为 16、 18, 输出的结果为 a , 则二项式 ? a x ? ? x? ?
的展开式中常数项是( )

6

A.-20

B.52

C.-192

D.-160

12.设 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数, ?x ? R ,都有 f ? 2 ? x ? ? f ? 2 ? x ? ,且当 x ? ?0, 2?

时, f ? x ? ? 2x ? 2 ,若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? loga ? x ? 1? ( a ? 0, a ? 1 )在区间 ? ?1,9? 内恰 有三个不同零点,则实数 a 的取值范围是( A. ? , ? U )

?1 1? ?9 5? 1? 9?

?

3, 7

?

B. ? ,1? U 1, 3

?1 ? ?9 ?

?

? ?

C. ? 0, ? U

? ?

?

7, ??

?

D. ? , ? U

?1 1? ? 7 3?

?

5,3

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

?x ? y ? 2 ? 13.已知 O 是坐标原点,点 A ? ?1,1? ,若点 M ? x, y ? 为平面区域 ? x ? 1 上的一个动点, ?y ? 2 ?
则 OA ? OM 的取值范围是

uur uuur



14. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作.其中在卷五“三斜求积”中提出 了已知三角形三边 a、b、c ,求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是“以 小斜冥并大斜冥减中斜冥,余半之,自乘于上,以小斜冥乘大斜冥减上,余四约之,为实.一 为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写出公式,即若 a ? b ? c ,则

1 ? 2 2 ? c2 ? a 2 ? b2 ? S? ?c a ? ? ? 2? 2 ? ? ?

2

? ? ,现有周长为 10 ? 2 7 的 ?ABC 满足 ? ?


sin A : sin B : sin C ? 2 : 3: 7 ,则用以上给出的公式求得 ?ABC 的面积为

15.已知四棱锥 P ? ABCD 的顶点都在半径 R 的球面上,底面 ABCD 是正方形,且底面

ABCD 经过球心 O , E 是 AB 的中点, PE ? 底面 ABCD ,则该四棱锥 P ? ABCD 的体积
等于 .
2

16.已知点 F1 , F2 分别是双曲线 C : x ?

y2 ? 1? b ? 0 ? 的左、右焦点,O 为坐标原点,点 P 在 b2

双曲线 C 的右支上,且满足 F 2F 1 ? 4 ,则双曲线 C 的离心率的取值 1F 2 ? 2 OP , tan ?PF 范围为 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17.设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a1 ? 2 ,对任意 n ? N ,都有 2Sn ? ? n ?1? an .
*

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?

? ?

? 1 4 ? ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? 1 . 2 ? an ? an ? 2 ? ? ? ?

18.某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售, 如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (Ⅰ)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n (单位: 枝, n ? N )的函数解析式. (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表:

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (1)若花店一天购进 17 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列及数学 期望; (2)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,以利润角度看,你认为应购进 16 枝好还是 17 枝好?请说明理由. 19. 如图, 四棱锥 P ? ABCD , 侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形, 且平面 PAD ? 平面 ABCD , 底面 ABCD 是 ?ABC ? 60? 的菱形, M 为棱 PC 上的动点,且 (Ⅰ)求证: BC ? PC ; (Ⅱ)试确定 ? 的值,使得二面角 P ? AD ? M 的平面角余弦值为

PM ? ? ? ? ? ? 0,1?? . PC

5 . 5

20.设抛物线 y ? 4mx ? m ? 0? 的准线与 x 轴交于 F 1 ,以 F 1、F2 为焦点,离心率 e ?
2

1 的椭 2

圆与抛物线的一个交点为 E ?

?2 2 6? ?3, 3 ? ? ;自 F1 引直线交抛物线于 P、Q 两个不同的点,设 ? ?

uuu r uuu r F1P ? ? FQ 1 .
(Ⅰ)求抛物线的方程和椭圆的方程;

(Ⅱ)若 ? ? ? ,1? ,求 PQ 的取值范围. 21.已知函数 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ?

?1 ? ?2 ?

x ?1 ? ? x ? . 1? x

(Ⅰ)若 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 ,求 ? 的最小值; (Ⅱ)设数列 ?an ? 的通项 an ? 1 ?

1 1 1 1 ? ? L ? ,证明: a2 n ? an ? ? ln 2 . 2 3 n 4n

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos ? .以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为 x 轴的正半 轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ?

? x ? 1 ? t cos ? ( t 为参数). ? y ? t sin ?

(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且 AB ? 14 ,求直线 l 的倾斜角 ? 的值. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? a ? 3x ? 2 ? x . (Ⅰ)若 a ? 2 ,解不等式 f ? x ? ? 3 ; (Ⅱ)若存在实数 x ,使得不等式 f ? x ? ? 1 ? a ? 2 2 ? x 成立,求实数 a 的取值范围.

2018 届高三第二次联考试卷 理科数学参考答案 一、选择题 1-5:DABDD 二、填空题 13. ? 0, 2? 三、解答题 17.解: (Ⅰ)因为 2Sn ? ? n ?1? an ,当 n ? 2 时, 2Sn?1 ? nan?1 两式相减得: 2an ? ? n ?1? an ? nan?1 即 ? n ?1? an ? nan?1 , 所以当 n ? 2 时, 所以 14. 6 3 15. 6-10:ABCBC 11、12:DA

2 3 R 3

16. ? 1,

? ? ?

17 ? ? 3 ?

an an ?1 ? . n n ?1

an a1 ? ? 2 ,即 an ? 2n . n 1

(Ⅱ)因为 an ? 2n , bn ?

4 * , n?N , an ? an ? 2 ?

所以 bn ?

4 1 1 1 . ? ? ? 2n ? 2n ? 2 ? n ? n ? 1? n n ? 1
? ? 1? ?? 2? 1 ? 1 n ? 1 1? ?1 , ? ? ? ? ?L ? ? ? ? ? 1? n ?1 n ?1 ? 2 3? ? n n ?1 ?

所以 Tn ? b1 ? b2 ? L ? bn ? ?1 ? 因为

1 1 ? 0 ,所以 1 ? ?1. n ?1 n ?1 1 * 又因为 f ? n ? ? 在 N 上是单调递减函数, n ?1 1 * 所以 1 ? 在 N 上是单调递增函数. n ?1 1 所以当 n ? 1 时, Tn 取最小值 , 2 1 所以 ? Tn ? 1 . 2
18.解: (Ⅰ)当日需求量 n ? 17 时,利润 y ? 85 ;

当日需求量 n ? 17 时,利润 y ? 10n ? 85 , ∴ y 关于 n 的解析式为 y ? ?

?10n ? 85, n ? 17, ? n ? N* ? ; 85, n ? 17. ?

(Ⅱ) (1) X 可取 55,65,75,85

P ? X ? 55? ? 0.1 , P ? X ? 65? ? 0.2 , P ? X ? 75? ? 0.16 , P ? X ? 85? ? 0.54
X 的分布列为

EX ? 55 ? 0.1 ? 65 ? 0.2 ? 75 ? 0.16 ? 85 ? 0.54 ? 76.4 .
(2)购进 16 枝时,当天的利润为

y ? ?14 ? 5 ? 2 ? 5? ? 0.1 ? ?15 ? 5 ?1? 5? ?0.2 ? 16 ? 5 ? 0.7 ? 76
从利润的角度看 76.4 ? 76 ,所以应购进 17 枝. 19.解: (Ⅰ)取 AD 中点 O ,连结 OP, OC , AC , 依题意可知 ?PAD , ?ACD 均为正三角形, 所以 OC ? AD , OP ? AD , 又 OC I OP ? O , OC ? 平面 POC , OP ? 平面 POC , 所以 AD ? 平面 POC , 又 PC ? 平面 POC ,所以 AD ? PC . 因为 BD ∥ AD ,所以 BC ? PC . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 PO ? AD , 又平面 PAD ? 平面 ABCD , 平面 PAD I 平面 ABCD ? AD ,

PO ? 平面 PAD ,所以 PO ? 平面 ABCD .
以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz 如图所示,

则 P 0, 0, 3 , A ? 0, ?1,0? , D ? 0,1,0? , C

?

?

?

uuu r 3, 0, 0 , PC ?

?

?

3, 0, ? 3

?

? 3, 0, ? 3 ? 可得点 M 的坐标为 ? 3? , 0, 3 ? 3? ? , uuur uuu u r 所以 AM ? ? 3? ,1, 3 ? 3? ? , DM ? ?
由 PM ? ? PC ? ?

uuur

uuu r

3? , ?1, 3 ? 3? ,

?

r uuur ? r ?n ? AM ? 0 设平面 MAD 的法向量为 n ? ? x, y , z ? ,则 ? r uuuu , r ? ?n ? DM ? 0
? 3? x ? y ? ? 即? ? 3? x ? y ? ?

? ?

3 ? 3? z ? 0 3?

? 3? ? z ? 0

? ?1 ? z ?x ? 解得 ? ? , ? ?y ? 0 r 令 z ? ? ,得 n ? ? ? ? 1, 0, ? ? ,
显然平面 PAD 的一个法向量为 OC ?

uuu r

?

3, 0, 0 ,

?

r uuu r n ? OC 3 ? ? ? 1? r uuu r 5 ? 依题意 cos n, OC ? r uuu , r ? 2 5 n OC ? 2 ? ? ? ? 1? ? 3
解得 ? ?

2 或 ? ? 2 (舍去) , 3
2 5 时,二面角 P ? AD ? M 的余弦值为 . 3 5

所以,当 ? ?

20.解: (Ⅰ)由题设,得:

4 24 ? 2 ? 1① 2 9a 9b

a 2 ? b2 1 ? ② a 2

由①、②解得 a ? 4 , b ? 3 ,
2 2

椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

易得抛物线的方程是: y 2 ? 4 x . (Ⅱ)记 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? , 由 FQ 得: y1 ? ? y2 ③ ? ? FQ 1 1 设直线 PQ 的方程为 y ? k ? x ? 1? ,与抛物线的方程联立,得:

uuu r

uuu r

ky 2 ? 4 y ? 4k ? 0 (*) y1 y2 ? 4 ④
y1 ? y2 ? 4 ⑤ k

由③④⑤消去 y1 , y2 得: k 2 ?

4?

? ? ? 1?

2

PQ ? 1 ?

1 y2 ? y1 k2

1 ? 16 ? 16k 2 ? 由方程(*)得: PQ ? ?1 ? 2 ? k ? k ?

16 ? 16k 4 化简为: PQ ? ,代入 ? ; k4
2

PQ

2

? ? ? 1? ?
?2
2

4

?? ? 16 ?

2

? 2? ? 1?

2

?2

? 16

1 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 16 ? ? ?
∵ ? ? ? ,1? ,∴ ? ? 同时,令 f ? x ? ? x ?

?1 ? ?2 ?

1

?

?2,

1 1 x2 ?1 ,则 f ? ? x ? ? 1 ? 2 ? x x x2

当 ? ? ? ,1? 时, f ? ? x ? ? 0 , 所以 f ? x ? ? f ?

?1 ? ?2 ?

1 5 ?1? 5 ? ? ,因此 2 ? ? ? ? ? 2 , ?2? 2
2

于是: 0 ? PQ ?

? 17 17 ? ,那么: PQ ? ? 0, ? ? 4 2 ? ?

1 ? 2? ? x ? ? x 2 ? 21.解: (Ⅰ)由已知, f ? 0? ? 0 , f ? ? x ? ? ,且 f ? ? 0? ? 0 2 ?1 ? x ?
若 ? ? 0 ,当 x ? 0 , f ? ? x ? ? 0 , ∴ f ? x ? ? f ? 0? ? 0 ,

1 1 ? 2? ,则当 0 ? x ? 时, f ? ? x ? ? 0 . 2 ? 1 ? 2? 所以当 0 ? x ? 时, f ? x ? ? f ? 0? ? 0 .
若0 ? ? ?

?

1 若 ? ? ,则当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 , 2
所以当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0

1 . 2 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?L ? ? ? (Ⅱ)由于 a2 n ? an ? 4n n ? 1 n ? 2 n ? 3 2n ? 1 2n 4n
综上, ? 的最小值为 当? ?

x ?2 ? x? 1 ? ln ?1 ? x ? ,由(Ⅰ)知,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 ,即 2 2 ? 2x
1 2k ? 1 k ?1 ,则 ? ln k 2k ? k ? 1? k

取x?



1 1 k ?1 ? ? ln , 2k 2 ? k ? 1? k 1 1 n ?1 ? ? ln ① 2n 2 ? n ? 1? n

因此,

1 1 n?2 ? ? ln ② 2 ? n ? 1? 2 ? n ? 2 ? n ?1

1 1 n?3 ③ ? ? ln 2 ? n ? 2 ? 2 ? n ? 3? n?2
??????????

1 1 2n n-1 ? ? ln 2 ? 2n ? 1? 4n 2n ? 1
所以,

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?L ? ? 2n 2 ? n ? 1? 2 ? n ? 1? 2 ? n ? 2 ? 2 ? n ? 2 ? 2 ? n ? 3? 2 ? 2n ? 1? 4n

n ?1 n?2 n?3 2n ? ln ? ln ? L ? ln n n ?1 n?2 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 n ?1 n ? 2 n ? 3 ? ? ?L ? ? ? ? ln ? ? ?L ? 即: n ?1 n ? 2 n ? 3 2n ? 1 2n 4n n n ?1 n ? 2 2n 2n ? ln 2n ? 1 n 1 ? ln 2 所以 a2 n ? an ? 4n ? ln
22.解: (Ⅰ)由 ? ? 4cos ? 得 ? 2 ? 4? cos ? . ∵ x 2 ? y 2 ? ? 2 , x ? ? cos? , y ? ? sin ? , ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,
2 即 ? x ? 2? ? y ? 4 . 2

(Ⅱ)将 ?
2

? x ? 1 ? t cos ? , 2 2 代入圆的方程得 ? t cos ? ? 1? ? ? t sin ? ? ? 4 , ? y ? t sin ?

化简得 t ? 2t cos ? ? 3 ? 0 . 设 A, B 两点对应的参数分别为 t1、t2 ,则 ? ∴ AB ? t1 ? t2 ?
2

?t1 ? t2 ? 2cos ? , ?t1t2 ? ?3.

? t1 ? t2 ?

2

? 4t1t2 ? 4cos2 ? ? 12 ? 14 .

∴ 4cos ? ? 2 , cos ? ? ?

? 3? 2 ,? ? 或 . 4 4 2

23.解: (Ⅰ)不等式 f ? x ? ? 3 化为 2 ? 3x ? 2 ? x ? 3 ,则

2 2 ? ? ? x ? ?2 ??2 ? x ? ?x ? ,或 ? ,或 ? , 3 3 ? ?2 ? 3 x ? 2 ? x ? 3 ? ? ?2 ? 3x ? 2 ? x ? 3 ?3x ? 2 ? 2 ? x ? 3
解得 ?

3 7 ?x? , 4 2

所以不等式 f ? x ? ? 3 的解集为 ? x ?

? ?

3 7? ? x ? ?. 4 2?

(Ⅱ)不等式 f ? x ? ? 1 ? a ? 2 2 ? x 等价于 a ? 3x ? 3 2 ? x ? 1 ? a , 即 3x ? a ? 3x ? 6 ? 1 ? a , 由三角不等式知 3 x ? a ? 3 x ? 6 ? ? 3 x ? a ? ? ? 3 x ? 6 ? ? a ? 6 . 若存在实数 a ,使得不等式 f ? x ? ? 1 ? a ? 2 2 ? x 成立, 则 a ? 6 ? 1? a , 解得 a ? ?

5 , 2

所以实数 a 的取值范围是 ? ?

? 5 ? , ?? ? . ? 2 ?


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