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江苏省淮阴中学2013年教改实验班选拔考试数学试题

时间:2014-04-08


江苏省淮阴中学 2013 年教改实验班选拔考试


题号 得分 一 二







总分 累分人 核分人

(满分 150 分,考试时间 120 分钟)

一、选择题。 (每题 5 分,共 40 分) 1、如图,小明要测量河内小岛 B 到河边公路 l 的距离,在 A 点测得 ?BAD ? 30° ,在 C 点测得 ?BCD ? 60° ,又测得 AC ? 50 米,则小岛 B 到公路 l 的距离为( ▲ )米. A、25 B、 25 3 C、

100 3 3

D、 25 ? 25 3

2、对于任意两个实数对(a,b)和(c,d) ,规定:当且仅当 a=c 且 b=d 时, (a,b)=(c,d) .定义运算“ ? ” : (a,b) ? (c,d)=(ac-bd,ad+bc) . 若(1,2) ? (p,q)=(5,0) ,则(p,q)为( ▲ ) A、 (1,-2) B、 (2,-2) C、 (2,-1) D、 (1,2) 3、如图,已知圆 O 的半径为 R,AB 是圆 O 的直径,D 是 AB 延长线上一点,DC 是圆 O 的切线,C 是切点,连结 AC,若 ?CAB ? 30° ,则 BD 的长为( ▲ ) A、 2 R B、 3R C、 R D、

3 R 2

4、古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数” ,而把 1、4、 9、16 … 这样的数称为“正方形数” . 从图中可以发现,任何一个大于 1 ? 的“正方形数”都可以看作两个相邻 “三角形数”之和.下列等式中,符 4=1+3 9=3+6 16=6+10 合这一规律的是( ▲ ) 第 4 题图 A、13 = 3+10 B、25 = 9+16 C、36 = 15+21 D、49 = 18+31 5、如图,是两个各自分割均匀的转盘,同时转动两个转盘,转盘停止时(若指针恰好停 在分割线上,那么重转一次,直到指针指向某一区域为止) ,两个指针所指区域的数字 和为偶数的概率是( ▲ ) A、

1 3

B、

7 15

C、

5 9

D、

2 3

A

O C

B

1

7 8 6 4 5 3

D
2

(第 1 题)

(第 3 题) 数学试卷 第 1 页

(第 5 题) 共8页

(第 6 题)

6、如图,已知圆锥的底面半径 r=

1 ,母线 l =1,从底边上一点 P 开始沿着它的侧面画一条 4
( ▲ ) D、4 2 C 、3

曲线,曲线的终点又回到 P 点,则曲线长度的最小值为 A、 2
2

B、

7 、 已 知 不 等 式 a x ? b x? c?0 的 x 的 取 值 范 围 是 x<1 或 x>3, 则 满 足 不 等 式

cx 2 ? bx ? a ? 0 的 x 的取值范围是( ▲ ) 1 1 A、 x ? 或x ? 1 B、 x ? ?1或x ? 3 C、 x ? ?3或x ? ?1 D、 x ? ?1或x ? ? 3 3
8、某校数学课外小组,在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下:第 k 棵树种植 在点 Pk ( xk,yk ) 处,其中 x1 ? 1 , y1 ? 1 ,当 k≥2 时,

k ?1 k ?2 ? x k ? x k ?1 ? 1 ? 5([ ]?[ ]) ? ? 5 5 ,[ a ]表示非负实数 a 的整数部分,例如[2.6]=2, ? ? y ? y ? [ k ? 1] ? [ k ? 2 ] k k ?1 ? 5 5 ?
[0.2]=0。按此方案,第 2009 棵树种植点的坐标为( ▲ ) A、 (5,2009) B、 (6,2010) C、 (3,401) D、 (4,402)

注意:请将选择题的答案填入表格中。
题号 答案 二、填空题。 (每题 5 分,共 50 分) 9、如图 a 是长方形纸带,∠DEF=20° ,将纸带沿 EF 折叠成图 b,再沿 BF 折叠成图 c,则 图 c 中的∠CFE 的度数是 ▲ 。 A B A E A 图a F A D A C A B A E A A F C C DA A A B A E A G 图 cB A D B C A F C A 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 评卷人

G 图 bB (第 9 题) A

10、如图, (1)是某公司的图标,它是由一个扇环形和 圆组成,其设计方法如图(2)所示,ABCD 是正方形, ⊙O 是该正方形的内切圆,E 为切点,以 B 为圆心,分 别以 BA、BE 为半径画扇形,得到如图所示的扇环形, 图(1)中的圆与扇环的面积比为 ▲ 。

数学试卷

第 2 页

共8页

11、如图,此图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图, 则组成 这个几何体的小正方体最多块数是 ▲ 。 12、如图,已知点A、B、C、D均在已知圆上,AD//BC,AC平分 ∠BCD ,∠ADC ? 120? , P为弧BC上一点,则cos ? APD 为 ▲ 。 13、 如图,点 M 是△ABC 内一点,过点 M 分别作直线平行于△ABC 的各边,所形成的 三个小三角形△1、△2、△3(图中阴影部分)的面积分别是 4,9 和 49.则△ABC 的面积 是 ▲ 。 14、如图在 Rt△ABC 中,∠BAC = 90° ,AB = 3,M 为边 BC 上的点,连接 AM,如果将 △ABM 沿直线 AM 翻折后,点 B 恰好落在边 AC 的中点处,那么点 M 到 AC 的距离 是___▲ 。 A

B M

(第 11 题)

(第 12 题)

(第 13 题)

(第 14 题)

C

15、函数 y=|x-1|+|x-2|+ ? +|x-10|,当 x 在实数范围内取值时,y 的最小值是 ▲ 16、当 ?4 ? x ? 1 时,不等式 m ? 4 ? x ? 1 ? x 始终成立则满足条件的最小整数 ▲ 。 17、 水管或煤气管道的外部经常需要包扎,以便对管道起保护 作用,包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。若要使带子全部 包住管道且没有重叠的部分(不考虑管子两端的情况,如图所 示) ,这就要精确计算带子的“缠绕角度”? ( ? 指缠绕中将部 分带子拉成图中所示的平面 ABCD 时的 ? ABC,其中 AB 为管 道侧面母线的一部分) 。若带子宽度为 1,水管直径为 2,则“缠 绕角度” ? 的余弦值为 ▲ 。 18、 若记函数 y 在 x 处的值为 f(x), (例如 y=x2,也可记着 f(x)=x2) 已 知 函 数 f(x)= ax ? bx ? c 的 图 象 如 图 所 示 , 且
2



m?

(第 17 题)

ax2 ? (b ?1) x ? c >0 对所有的实数 x 都成立,则下列结论成
立的有 ▲ 。

(b ? 1) 2 ? ac ,(3) 对所有的实数 x 都有 f(x)>x, (1)ac>0,(2) 4

(4) 对所有的实数 x 都有 f(f(x))>x.
数学试卷 第 3 页 共8页

注意:请将填空题的答案填在下面的横线上。 9、 11、 13、 15、 _10、 12、 ___14、 _16、 17、 18、 得分 评卷人

三、解答题。 (每题 12 分,共 60 分) 19. (本小题 12 分)如图(1) ,在△ABC 中,∠C=90°,BC=8,AC=6,另有一直角梯 形 DEFH(HF∥DE,∠HDE=90°)的底边 DE 落在 CB 上,腰 DH 落在 CA 上,且 DE=4, ∠DEF=∠CBA,AH∶AC=2∶3 操作:固定△ABC,将直角梯形 DEFH 以每秒 1 个单位的速度沿 CB 方向向右移动,直到 点 D 与点 B 重合时停止, 设运动的时间为 t 秒, 运动后的直角梯形为 DEFH′ (如图 (2) ) . 探究 1:在运动中,四边形 CDH′H 能否为正方形?若能,请求出此时 t 的值;若不能, 请说明理由.? 探究 2:在运动过程中,△ABC 与直角梯形 DEFH′重叠 部分的面积为 y,求 y 与 t 的函数关系.??

(2)

得分

评卷人

数学试卷

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20、 (本小题 12 分)已知点 A、B 分别是 x 轴、 y 轴上的动点,点 C、D 是某个函数图像上 的点,当四边形 ABCD(A、B、C、D 各点依次排列)为正方形时,称这个正方形为此函 数图像的伴侣正方形。例如:如图,正方形 ABCD 是一次函数 y ? x ? 1 图像的其中一个 伴侣正方形。 (1)若某函数是一次函数 y ? x ? 1 ,求它的图像的所有伴侣正方形的边长; (2)若某函数是反比例函数 y ?

k (k ? 0) ,它的图像的伴侣正方形为 ABCD,点 D(2, x

m) (m <2)在反比例函数图像上,求 m 的值及反比例函数解析式。

第(1)题图

第(2)题图

得分

评卷人

数学试卷

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21. (本小题 12 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,AD=1,点 P 在线段 AB 上运动,设 AP= x , 现将纸片折叠,使点 D 与点 P 重合,得折痕 EF(点 E、F 为折痕与矩形边的交点) ,再将纸 片还原。 (1)当点 E 与点 A 重合时,折痕 EF 的长为 ; (2)写出使四边形 EPFD 为菱形的 x 的取值范围,并求出当 x=2 时菱形的边长; (3)令 EF 2 ? y ,当点 E 在 AD、点 F 在 BC 上时,写出 y 与 x 的函数关系式(写出 x 的取值范围) 。 D C F E O

A

P

B

得分

评卷人

数学试卷

第 6 页

共8页

22、 (本题满分 12 分)如图,已知抛物线 C1: y ? a?x ? 2? ? 5 的顶点为 P,与 x 轴相
2

交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左边) ,点 B 的横坐标是 1. (1)求P点坐标及a的值; (2)如图(1) ,抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称,将抛物线 C2 向右平移,平移后的 抛物线记为 C3,C3 的顶点为 M,当点 P、M 关于点 B 成中心对称时,求 C3 的解析式; (3)如图(2) ,点 Q 是 x 轴正半轴上一点,将抛物线 C1 绕点 Q 旋转 180°后得到抛物线 C4.抛物线 C4 的顶点为 N,与 x 轴相交于 E、F 两点(点 E 在点 F 的左边) ,当以点 P、 N、F 为顶点的三角形是直角三角形时,求点 Q 的坐标.

C1

y M A O P 图1 图(1) B x

C1

y N A O P 图 2 图( 2) B Q E F x

C2

C3

C4

得分

评卷人

数学试卷

第 7 页

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23、 (本题满分 12 分)先阅读下面的材料再完成下列各题
2 我 们 知 道 , 若 二 次 函 数 y= ax ? bx ? c 对 任 意 的 实 数 x 都 有 y ? 0 , 则 必 有

a>0, ? ? b ? 4ac ? 0 ; 例 如
2 2

y=x2+2x+1=(x+1)2 ? 0

则 ? ? b ? 4ac ? 0 ,
2

y=x2+2x+2=(x+1)2+1>0 则 ? ? b ? 4ac ? 0 。 (1) 求证: (a12 ? a22 ??? an2 )? (b12 ? b22 ??? bn2 ) ? (a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? ?? an ? bn )2 (2) 若 x+2y+3z=6,求 x2 ? y 2 ? z 2 的最小值; (3) 若 2 x2 ? y 2 ? z 2 =2,求 x+y+z 的最大值; (4) 指出(2)中 x2+y2+z2 取最小值时,x,y,z 的值(直接写出答案) 。

得分

评卷人

数学试卷

第 8 页

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江苏省淮阴中学 2013 年教改实验班选拔考试 数学试卷参考答案
题号 答案 1 B 10、 2 A 3 C 4 C 5 B 6 A 14、2 7 A 8 D

9、120°

4 9

11、11 , 12、

3 2

13、 144

15、 25

16、 4

17、

1 2?

18、 (1) , (2),(3),(4)

19、①能为正方形?????????????????????????1 分 ∵HH′∥CD,HC∥H′D,∴四边形 CDH′H 为平行四边形? 又∠C=90°,∴四边形 CDH′H 为矩形?????????????3 分 又 CH=AC-AH=6-4=2 ? ∴当 CD=CH=2 时,四边形 CDH′H 为正方形? 此时可得 t=2 秒时,四边形 CDH′H 为正方形??????????6 分? ②(Ⅰ)∵∠DEF=∠ABC,∴EF∥AB ? ∴当 t=4 秒时,直角梯形的腰 EF 与 BA 重合.? 当 0≤t≤4 时,重叠部分的面积为直角梯形 DEFH′的面积.????7 分? 过 F 作 FM⊥DE 于 M, FM =tan∠DEF=tan∠ABC= AC = 6 = 3 ?
ME BC 8 4

4 4 8 8 4 FM= ×2= ,HF=DM=DE-ME=4- = ? 3 3 3 3 3 1 4 16 16 ∴直角梯形 DEFH′的面积为 (4+ )×2= ?∴y= 。 。 。 。 。8 分? 2 3 3 3 1 (Ⅱ)∵当 4<t≤5 时,重叠部分的面积为四边形 CBGH 的面积-矩形 CDH′H 3 的面积.??????????????????????9 分? 1 而 S 边形 CBGH=S△ABC-S△AHG= ×8×6- 32 = 40 2 3 3
∴ME= S 矩形 CDH′H ?=2t ?∴y= 40 -2t????????????????10 分?
3

(Ⅲ)当 5

1 <t≤8 时,如图,设 H′D 交 AB 3

数学试卷

第 9 页

共8页

3 3 3 ?∴PD= DB= (8-t)??????11 分? 4 4 4 DB 1 ∴重叠部分的面积 y=S ??△PDB= PD·DB ? 2 3 3 3 1 = · (8-t) (8-t)?= (8-t)2= t2-6t+24 ? 4 8 8 2
于 P.? BD=8-t ?又 PD =tan∠ABC=

?3 ?16 (0 ? t ? 4) ? 40 16 ? ? ? 2t (4 ? t ? ) ∴重叠部分面积 y 与 t 的函数关系式:? y ? ? 3 ????12 分 3 ?3 2 16 ? t ? 6t ? 24( ? t ? 8) 3 ?8 ? ?
?

数学试卷

第 10 页

共8页

2 y C1 22、解: (1)由抛物线 C1: y ? a?x ? 2? ? 5 得 M 顶点 P 的为(-2,-5) ???2 分 B ∵点 B(1,0)在抛物线 C1 上 A H ∴ 0 ? a?1 ? 2?2 ? 5 O G 5 解得,a= ???4 分 9 P C2 (2)连接 PM,作 PH⊥x 轴于 H,作 MG⊥x 轴于 G 图(1) ∵点 P、M 关于点 B 成中心对称 ∴PM 过点 B,且 PB=MB ∴△PBH≌△MBG ∴MG=PH=5,BG=BH=3 ∴顶点 M 的坐标为(4,5) ???6 分 抛物线 C2 由 C1 关于 x 轴对称得到,抛物线 C3 由 C2 平移得到

x

C3

∴抛物线 C3 的表达式为 y ? ?

5 ? x ? 4 ?2 ? 5 9

???8 分

(3)∵抛物线 C4 由 C1 绕点 x 轴上的点 Q 旋转 180°得到 ∴顶点 N、P 关于点 Q 成中心对称 由(2)得点 N 的纵坐标为 5
数学试卷 第 11 页 共8页

设点 N 坐标为(m,5) ???9 分 作 PH⊥x 轴于 H,作 NG⊥x 轴于 G y C1 作 PK⊥NG 于 K N ∵旋转中心 Q 在 x 轴上 ∴EF=AB=2BH=6 H B Q G A ∴FG=3,点 F 坐标为(m+3,0) E O F x H 坐标为(2,0) ,K 坐标为(m,-5) , K 根据勾股定理得 P PN2=NK2+PK2=m2+4m+104 C4 PF2=PH2+HF2=m2+10m+50 图(2) NF2=52+32=34 ???10 分 44 19 ①当∠PNF=90?时,PN2+ NF2=PF2,解得 m= ,∴Q 点坐标为( ,0) 3 3 10 2 2 2 2 ②当∠PFN=90?时,PF + NF =PN ,解得 m= ,∴Q 点坐标为( ,0) 3 3 ③∵PN>NK=10>NF,∴∠NPF≠90? 19 2 综上所得,当 Q 点坐标为( ,0)或( ,0)时,以点 P、N、F 为顶点 3 3 的三角形是直角三角形. ???12 分

23、 (1)证明:

? y ? (a12 ? a22 ??? an2 ) x2 ? 2(a1b1 ? a2b2 ? ?? anbn ) x ? (b12 ? b22 ? ?? bn2 ) ? (a1x ? b1 )2 ? (a2 x ? b2 )2 ? ?? (an x ? bn )2 ? 0

? ? ? 4(a1b1 ? a2b2 ??? anbn )2 ? 4(a12 ? a22 ? ?? an2 )(b12 ? b22 ? ?? bn2 ) ? 0
即 (a12 ? a22 ? ?? an2 )(b12 ? b22 ? ?? bn2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ?? anbn )2 …4 分 (2)由(1)可得 ( x ? y ? z )(1 ? 2 ? 3 ) ? ( x ? 2 y ? 3z) ? 36
2 2 2 2 2 2 2

? ( x2 ? y 2 ? z 2 ) ?

36 18 ? 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。7 分 14 7

(3)由(1)可得 [(

1 2 2 2 ) ? 1 ? 1 ][( 2 x)2 ? y 2 ? z 2 ] ? ( x ? y ? z ) 2 2

。 。10 分 ?( x ? y ? z)2 ? 5, 则 ? 5 ? x ? y ? z ? 5 ,则 x ? y ? z 的最大值为 5 。 (4)x=

3 6 9 ,y ? ,z ? 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分。 7 7 7
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数学试卷

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