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2015-2016学年高一数学课件:3.2.2《函数模型的应用实例》(新人教A版必修1)

时间:2015-10-13

第三章

函数的应用

3.2 函数模型及其应用

3.2.2

函数模型的应用实例

课前预习目标

课堂互动探究

课前预习目标
梳理知识 夯实基础

学习目标 1.能根据数据的特点,建立函数模型解决实际问题. 2.通过函数知识的应用,复习巩固已学过的基本初等函 数的知识. 3.通过实例了解函数模型的广泛应用. 进一步巩固函数

的应用问题,进一步熟悉用函数解题的步骤和方法.

课前热身 常用的函数模型 1.直线型:y=kx+b(k≠0); 2.抛物线型:y=ax2+bx+c(a≠0); 3.指数函数型:y=a· bx+c(a≠0); 4.对数函数型:y=mlogax+n(m≠0,a>0,且a≠1); 5.幂函数型:y=a· xn(a≠0);

? ?f?x? 6.分段函数型:y=? ? ?g?x?

?x∈A?, ?x∈?UA?.

思考探究

解决实际应用问题的关键是什么?

提示 解决实际应用问题的关键是选择和建立恰当的函数 模型.

名师点拨 1.建模 通过建立实际问题的数学模型来解决问题的方法称为数学 模型方法,简称建模.

2.解决函数应用问题的基本步骤: (1)认真读题,确切理解题意,明确问题的实际背景,然 后进行科学的抽象、概括,将实际问题转化为数学问题,即实 际问题数学化; (2)运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题,得出 函数问题的解;

(3)将所得函数问题的解代入实际问题中进行验证,看是 否符合实际,并对实际问题作答. 以上步骤可用框图表示为

3.函数模型的应用 函数模型的应用,包含两个方面,一是利用给定的函数模 型解决实际问题.二是建立确定的函数模型解决问题,在利用 函数模型解决问题的过程中,往往对获得的信息进行数据处 理,较复杂的数据处理需用信息技术,即充分发挥计算器或计 算机的作用.

课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通

典例剖析



已知函数模型的应用题
在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为

【例1】

Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装 置,生产x台的收入函数为R(x)=3000x-20x2(单位:元),其成 本函数为C(x)=500x+4000,(单位:元),利润是收入与成本 之差.

(1)求利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)? (2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最 大值? (3)边际利润函数MP(x)取最大值的实际意义是什么?

【解】

由题意知,x∈[1,100],且x∈N.

(1)P(x)=R(x)-C(x) =(3000x-20x2)-(500x+4000) =-20x2+2500x-4000. MP(x)=P(x+1)-P(x) =[-20(x+1)2+2500(x+1)-4000]-(-20x2+2500x- 4000) =2480-40x.

(2)P(x)=-20x2+2500x-4000
? 125?2 =-20?x- 2 ? +74125. ? ?

取x=62或63时,则P(x)=74120最大. MP(x)=2480-40x是减函数,取x=1, 则MP(x)=2440最大. 所以二者不具有相同的最大值.

(3)边际利润函数MP(x)=P(x+1)-P(x),当x=1时取最大 值,说明生产第2台与生产第1台的总利润差最大.MP(x)= 2480-40x是减函数,说明随着产量的增加,每台利润与前一 台利润相对在减少.

规律技巧

(1)认真阅读,理解应用问题的实际背景,将

实际问题转化为纯数学问题. (2)在解决数学问题时,要注意自变量取值应有实际意 义.

变式训练1

某商品最近100天内的价格f(t)与时间t的函数

?t ?4+22 ?0≤t≤40,t∈N?, 关系式为f(t)=? ?- t +52 ?40<t≤100,t∈N?. ? 2 销售量g(t)与时间t的函数关系式为g(t)=- (0≤t≤100).求这种商品的日销售额的最大值. t 3 + 109 3

解 设这种商品的日销售额为S. (1)当0≤t≤40(t∈N)时,
?t ?? t 109? S=?4+22??-3+ 3 ? ? ?? ?

1 =- (t+88)(t-109) 12 1 ? 21?2 2398 1 441 =- ?t- 2 ? + + × . 12? 3 12 4 ? ∵t∈N,∴当t=10或11时,Smax=808.5.

(2)当40<t≤100(t∈N)时,
? t ?? t 109? S=?-2+52??-3+ 3 ? ? ?? ?

1 =6(t-104)(t-109) 1 2 =6(t -213t+104×109). S为t的二次函数,它在区间(40,100]上是减函数, 因此在靠近左端t=41处取得最大值. 即当t=41时,Smax=714. 由(1)(2)知,日销售额的最大值为808.5.



自建函数模型的应用题

【例2】

医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规

律及其预防,将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验,经检 测,病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表,已知该种病 毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡.但 注射某种药物,将可杀死其体内该病毒细胞的98%.

天数t 病毒细胞 总数y

1 2 1 2

3 4

5

6

7

?

4 8 16 32 64 ?

(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡,第一次最迟应在 何时注射该种药物?(精确到天) (2)第二次最迟应在何时注射该种药物,才能维持小白鼠 的生命?(精确到天)(已知:lg2=0.3010)

【分析】

(1)关键是将病毒细胞总数与天数的函数关系

写出来,从所给的表中可以发现为指数函数关系,可以通过指 数式与对数式的转化求得天数. (2)关键是求出(1)之后小白鼠的体内还剩余多少细胞病 毒,可以通过建立不等式求解.

【解】

(1)由表中数据易知,细胞病毒个数关于时间t的

函数为y=2t-1. 由题意得2t-1≤108,两边取对数得 8 (t-1)lg2≤8,即t≤1+lg2≈27.6, 即第一次最迟应在第27天注射该药物.

(2)由题意知,注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为 226×(1-98%)=226×2%.再经过x天后小白鼠体内病毒细胞为 226×2%×2x,由题意有:226×2%×2x≤108,两边取对数得 26lg2+lg2-2+xlg2≤8,解得x≤6.2.故再经过6天必须注射药 物,即第二次应在第33天注射药物.

规律技巧

在求解一些关于指数的应用问题时,往往通过

对数计算使问题解决.

变式训练2

某化工厂生产的一种溶液,按市场要求,杂

质含量不能超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂 1 质含量减少 3 ,问至少应过滤几次才能使产量达到市场要求? (已知:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)

解 设过滤n次能达到要求,则
?2? 1?n 2 ? 1 n ?1- ? ≤0.1%,即? ? ≤ , 3? 100? 20 ?3?

2 1 ∴nlg3≤lg20. 1 lg20 lg2+1 1.3010 ∴n≥ 2 = = ≈7.4. lg3-lg2 0.1761 lg 3 ∵n∈Z,∴n≥8, 即至少要过滤8次才能达到市场要求.



模拟函数问题

【例3】

某厂今年1月,2月,3月生产某种产品分别为1

万件,1.2万件,1.3万件,为了估测以后每个月的产量,以这 三个月的产品数量为依据,用一个函数模拟该产品的产量与月 份x的关系,模拟函数可选用二次函数或函数y=a· bx+c,(其中 a,b,c为常数),已知,4月份该产品的产量为1.37万件,问用 以上哪个函数作为模拟函数较好?

【分析】

可用待定系数法求出a,b,c的值,确定函数

后,再研究x=4时,哪个函数值更接近1.37.

【解】 (a≠0),

当f(x)为二次函数时,设f(x)=ax2+bx+c

?f?1?=1, ? 则?f?2?=1.2, ?f?3?=1.3, ? ?a=-0.05, ? 解得?b=0.35, ?c=0.7. ?

?a+b+c=1, ? 即?4a+2b+c=1.2, ?9a+3b+c=1.3, ?

∴f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7.

∴f(4)=-0.05×42+0.35×4+0.7 =1.3(万件), 当f(x)=a· bx+c时, ?f?1?=1, ? 则?f?2?=1.2, ?f?3?=1.3, ? ?a=-0.8, ? 解得?b=0.5, ?c=1.4. ? ∴f(x)=-0.8×0.5x+1.4. ?a×b+c=1, ? 2 即?a×b +c=1.2, ?a×b3+c=1.3, ?

∴f(4)=-0.8×0.54+1.4=1.35(万件). 经比较,用f(x)=-0.8×0.5x+1.4作为模拟函数较好.

规律技巧

求模拟函数的问题,其方法步骤是:先把题中

所给数据,在坐标系中描出散点图.根据散点图设出模拟函数 (可能不止一个).然后用待定系数法确定模拟函数,最后再验 证比较,哪个模拟函数更接近题意.

变式训练3 某公司2010年至2013年生产总值(单位:亿元) 如下表所示: 年 x 份 2010 0 2011 1 2012 2 2013 3

生产总值 8.2067 8.9442 9.5933 10.2398

(1)画出函数图象,猜想它们之间的函数关系,近似地写 出一个函数关系式; (2)利用得出的关系式求生产总值,与表中实际生产总值 比较; (3)利用关系式预测2014年该公司的生产总值.

分析

该题要根据函数图象模拟函数来猜想函数的类型,

为此要先画图象,要找函数去模拟,最后求解和验证.

解 (1)画出函数图象,如图所示.从函数的图象可以看 出,画出的点近似地落在一条直线上,设所求的线性函数为y =kx+b.

把直线通过的两点(0,8.2067)和(3,10.2398)代入上式,解方 程组,可得 k=0.6777,b=8.2067. ∴y=0.6777x+8.2067.

(2)由得到的关系式计算出该公司2011年和2012年的生产总 值分别为f(1)=0.6777×1+8.2067=8.8844, f(2)=0.6777×2+8.2067=9.5621, 与实际的生产总值相比,误差不超过0.1亿元.

(3)估计该公司今后几年内生产总值还会按此规律增长, 所以2014年,即x=4时,由上述关系式, 得y=f(4)=0.6777×4+8.2067=10.9175, 即预测2014年该公司生产总值约为10.9175亿元.

易错探究 【例4】 某工厂转换机制,两年内生产的月增长率都是 a,则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月的增长率是 ( ) A.(1+a)12 C.(1+a)11-1 【错解】 B.(1+a)12-1 D.(1+a)13-1

选A或选C或选D.

【错因分析】 造成指数写错.

对增长率问题的公式y=N(1+p)x没理解而

【正解】

不妨设去年1月份的产值为b,

则2月份的产值为b(1+a), 3月份的产值为b(1+a)(1+a)=b(1+a)2,以此类推,到今 年1月份是去年1月份的第12个月. 故今年1月份的产值是b(1+a)12.

由增长率的概念知,这两年内的第二年某月的产值比第一 b?1+a?12-b 年相应月的增长率为 =(1+a)12-1. b 【答案】 B

当堂检测 1.小明的父亲饭后出去散步,从家中走20分钟到一个离家 900米的报亭看10分钟报纸后,用20分钟返回家里,下面图形 中能表示小明的父亲离开家的距离与时间之间的关系的是 ( )

答案

D

2.在物价飞速上涨的今天,某商品2013年零售价比2012 年上涨25%,欲控制2014年比2012年只上涨10%,则2014年应 比2013年降价( A.15% C.10% ) B.12% D.8%

解析 设2014年应比2013年降价x%,则 (1+25%)(1-x%)=1+10%,解得x=12.

答案

B

3.如图,平面图形中阴影部分面积S是h(h∈[0,H]的函 数,则该函数的图象是( )

解析 当h取0时,阴影部分所示为整个平面图形,此时面 积S最大;当h取H时,阴影部分的面积S最小,为0,由此可排 除A,B;易知当h在[0,H]上变化时,阴影部分的面积S开始变 化较快,后来变化较慢,D中图象符合.

答案

D

4.从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升,然后用水加满, 再倒出1升混合溶液,再用水加满,这样继续下去,则所倒次 数x和酒精残留量y之间的函数关系式为________.

解析 第一次倒完后,y=19, 19 192 第二次倒完后,y=19× = ; 20 20 19 19 193 第三次倒完后,y=19× × = 2; 20 20 20 ??
?19? 19x 第x次倒完后,y= x-1=20×?20?x. 20 ? ?

答案

?19? y=20×?20?x ? ?

5.下表为国家规定个人收入所得税税率表,其中“全月 应纳税所得额”是指从纳税者的月工资、薪金收入中减去3500 元后的余额. 2011年9月1日起调整后的7级 超额累进税率 全月应纳税所得额 不超过1500元 税率 3%

超过1500元至4500元 超过4500元至9000元 超过9000元至35000元

10% 20% 25%

超过35000元至55000元 30% 超过55000元至80000元 35% 超过80000元 45%

某人月工资、薪金的收入为9000元,他应纳税________ 元.

解析 由题干可知,应纳税的所得额为9000-3500= 5500. 所以某人应纳税: 1500×3%+3000×10%+1000×20% =45+300+200 =545元.

答案

545


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