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5.1定积分的概念与性质5.2微积分学基本定理5.3定积分的积_图文

时间:2019-01-15

第5章 定积分

5.1 定积分的概念与性质
5.2 微积分学基本定理 5.3 定积分的积分法

5.4 广义积分
结束

5.1 定积分的概念与性质 5.1.1 引入定积分概念的实例
引例1 曲边梯形的面积:如图,由连续曲线y=f(x),直 线x=a,x=b及x轴围成的图形称为曲边梯形. 下面我们求曲边梯形的面积
y

(1)分割 在(a,b)内插入n–1个分点

y ? f ( x)

a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn ?1 ? xn ? b
把区间[a,b]分成n个小区间
o

a

bx

[ x0 , x1 ], [ x1 , x2 ], ..., [ xi ?1 , xi ], ?, [ xn ?1 , xn ]
记每一个小区间 [xi ?1 , xi ]的长度为 ?xi ? xi ? xi ?1 (i ? 1, 2, n)
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过每个分点xi(i=1,2,…,n)作y轴的平行线,将曲边梯形
分割成n个小曲边梯形. (2)近似

?Ai表示第i个小曲边梯形的面积,在小区间[x
交于点 Pi (?i , f (?i )) ,以 ?xi 为底, (3)求和 将所有矩形面积求和
An ? f (?1 )?x1 ? f (?2 )?x2 ? ? f (?n )?xn
M
f (? i )

i ?1

, xi ](i ? 1,2,

, n)

内任取一点 ?i (xi ?1 ? ?i ? xi ) ,过点 ? i 作x轴的垂线与曲线
为高做矩形,以此
y ? f ( x)

矩形做为小曲边梯形面积的近似值,则 y ?Ai ? ?xi ? f (?i )
N

? ? f (? i )?xi
i ?1

n

o

a
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bx
结束

则 An 即是曲边梯形面积的近似值. (4)取极限 记 ? 为所有小区间中长度的最大者,即? ? max{ ?xi } , 1? i ? n 当

? ? 0 时,总和的极限就是曲边梯形面积A,即
A ? lim ? f (? i ) ? ?xi
? ?0
i ?1 n

引例2 变力做功 设某质点作直线运动,已知变力F ( s)是位移s的

连续函数,质点的位移区间为?a, b?,求变力F做的功. 解 (1) 分割
在 [a , b] 插入n个分点

a ? s0 ? s1 ? s2 ?

? si ?

? sn?1 ? sn ? b

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结束

将闭区间[a,b]分成n个小区间:
[s0 , s1 ],[s1 , s2 ], ,[si ?1 , si ], ,[sn?1 , sn ]

小区间的长度

?si ? si ? si ?1 (i ? 1,2,
(2)近似

, n)

在每一个小区间 [si ?1 , si ] 上任取一点 ? i ,把 F (? i ) 做为 质点在小区间上受力的近似值,于是,力F在小区间[si ?1 , si ] 上对质点所做的功的近似值为

?Wi ? F (?i )?si

(i ? 1,2,

, n)
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(3)求和 把各小区间上力F所做的功的近似值加起来,即得到 在区间 ? a , b? 上所做功的近似值,即
W ? ? ?Wi ? ? F (? )?Si
i ?1 i ?1 i n n

(4)取极限 把所有小区间的最大长度记为 ? ,即 ? ? max(?si ) , 则当 ? ? 0 时,和式的极限即为变力在区间 ? a , b? 上对质点 所做的功,即
n

W = lim ? F (? i ) ?si
? ?0
i ?1
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5.1.2 定积分的概念
定义 设函数f ( x)在[a, b]上有界,在[a, b]中任意插入n ? 1

个分点 : a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn ?1 ? xn ? b 把区间 [a, b]分成n个小区间: [ x0 , x1 ],[ x1 , x2 ],?,[ xi ?1 , xi ],?,[ xn ?1 , xn ]

各个小区间的长度为 在每一个小区间 [ xi ?1 , xi ]上任取一点? i ( xi ?1 ? ? i ? xi ), ?xi ? xi ? xi ?1

作和式(简称积分和式)

i ?1

? f (? i )?xi
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n

记? ? max{?xi , ?x2 ,..., ?xn },如果对区间 [a, b]任一分法 和小区间 [ xi ?1 , xi ]上点? i 任意取法,只要当? ? 0时,上 述和式的极限都存在且相等,则称此极限为函 数f ( x) 在区间 [a, b]上的定积分(简称积分) ,记作

?

b

a

f ( x )dx ? lim ? f (? i )?xi ,
? ?0
i ?1

n

其中f(x)叫做被积函数,f(x)dx叫做被积表达式,x 叫

做积分变量,a叫做积分下限,b叫做积分上限,[a,b]
叫做积分区间.

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结束

根据定积分的定义,前面所讨论的两个引例就可
以用定积分概念来描述: 曲线 f ( x)( f ( x) ? 0) 、x轴及两条直线x=a,x=b所围 成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积

分,即

A ? ?a f ( x)dx.

b

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结束

质点在变力F(s)作用下作直线运动,由起始位置

a移动到b,变力对质点所做之功等于函数F(s)在[a,b]
上的定积分,即

W ? ? F ( s )ds
a

b

如果函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在, 则称函数f(x)在区间[a,b]上可积.
可以证明:若函数f (x)在在区间[a,b]上连续,或只有有

限个第一类间断点,则f (x)在在区间[a,b]上可积.
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关于定积分的概念,还应注意两点:
b (1)定积分 ?a f ( x)dx 是积分和式的极限,是一个数值,

定积分值只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关, 而与积分变量的记法无关.即有

?a f ( x)dx ? ?a f (t )dt ? ?a f (u )du.
(2)在定积分? f ( x)dx 的定义中,总假设 a ? b ,为了
b a

b

b

b

今后的使用方便,对于a ? b,a ? b时作如下规定:

当a ? b时, 当a ? b时,

b ?a f ( x)dx ? 0; a b ?b f ( x)dx ? ? ?a

f ( x)dx.

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结束

5.1.3

定积分的几何意义:
b a

如果在[a,b]上 f ( x) ? 0 ,则 ? f ( x)dx在几何上表

示由曲线y=f(x),直线x=a,x=b及
x轴所围成的曲边梯形的面积. 如果在[a,b]上 f ( x ) ≤ 0,此时 由曲线y=f(x),直线x=a,x=b及 x轴所围成的曲边梯形位于x轴的

y

y ? f ( x)

o

a a

bx b x
y ? f ( x)

y
o

下方,则定积分 ?ab f ( x )dx在几何
上表示上述曲边梯形的面积A的相反数.

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结束

如果在[a,b]上f(x)既可取正值又可取负值,则定 积分 ? b f ( x)dx 在几何上表示介于曲线y=f(x),直线
a

x=a,x=b及x轴之间的各部分面积的代数和. y
y= f (x)
A3 A2 A4

A1

b

o

a

x

?

b a

f ( x)d x ? ( A1 ? A3) ? ( A2 ? A4) ? A1 ? A2 ? A3 ? A4

A?

?

b

a

f ( x) d x
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5.1.4 定积分的基本性质
设下面函数f (x), fi (x), g(x)在[a,b]上可积. 性质1 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数 和,即

? [ f ( x ) ? g( x )]dx ? ?
a

b

b

a

f ( x )dx ? ? g( x )dx
a

b

推论 有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积 分的代数和,即
b

? [ f ( x) ? f ( x) ?
a 1 2 b b a a

? f n ( x )]dx ? ? f n ( x )dx .
a
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? ? f1 ( x )dx ? ? f 2 ( x )dx ?

b

性质2

被积函数的常数因子可以提到积分号外.

?a kf ( x)dx ? k ?a f ( x)dx (k是常数).
性质3
则 如果积分区间[a,b]被分点c分成区间[a,c]和[c,b],

b

b

?

b

a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
a c

c

b

当c在区间[a,b] 之外时,上面表达式也成立.

性质3表明定积分对积分区间具有可加性,这个
性质可以用于求分段函数的定积分.
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例1 已知
?1 ? x , ? f ( x) ? ? x 1? , ? ? 2 x ? 0, x ? 0,
2

求 ? f ( x )dx .
?1

2



?

2

?1

x f ( x )dx ? ? (1 ? x )dx ? ? (1 ? )dx, ?1 0 2
0

利用定积分的几何意义,可分别求出
1 ??1 (1 ? x )dx ? 2 , 2 x ?0 (1 ? 2 )dx ? 1,
0

所以 ?

2

- 1

1 3 f ( x )dx ? ? 1 ? . 2 2

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结束

性质4

如果在区间 [a, b]上恒有f ( x) ? 1,则

?a f ( x)dx ? ?a 1dx ? b ? a.
性质5

b

b

如果在区间 [a, b]上恒有f ( x) ? 0,则

?

b

a

f ( x )dx ? 0.

推论1 如果在区间 [a, b]上恒有f ( x) ? g ( x),则

?
推论2
b a

b

a

f ( x )dx ? ? g( x )dx .
a

b

| ? f ( x )dx |? ? f ( x ) dx
a

b

(a ? b).
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性质6 (估值定理)

设M及m分别是函数f ( x)在区间

[a, b]上的最大值及最小值,则

m(b ? a) ? ?a f ( x)dx ? M (b ? a) (a ? b).
证明 ? m ? f ( x) ? M (a ? x ? b),
M

b

由性质5推论1,得
b b b

m

?a mdx ? ?a f ( x)dx ? ?a Mdx,
由性质2及性质4得 m(b ? a) ? ?a f ( x)dx ? M (b ? a).
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b

例2 试估计定积分? sin xdx的值.

π 3 π 6

π π π 3 解 在[ π , ]上,最大值f ( ) ? sin ? , 6 3 3 3 2 π π 1 最小值f ( ) ? sin ? , 6 6 2

1?π π? π 3?π π? 3 ? ? ? ? ? ?π sin xdx ? ? ? ?, 2?3 6? 6 2 ?3 6?
π π 3π 3 即 ? ?π sin xdx ? . 12 6 12

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结束

性质7(定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上

连续,则在积分区间[a,b]上至少存在一个点 ? ,使下
式成立

?a f ( x)dx ? f (? )(b ? a)
b

(a ? ? ? b).

证明 因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,根据闭区间

上连续函数的最大值和最小值定理,f(x)在[a,b]
上一定有最大值M和最小值m,由定积分的性

质6,有
m(b ? a ) ? ? f ( x )dx ? M (b ? a ),
a b



1 b m? f ( x )dx ? M, ? b?a a

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结束

b 1 即数值 f ( x )dx 介于f(x)在[a,b]上的最大值M和最 ? a b?a

小值m之间.根据闭区间上连续函数的介值定理,至少存在 一点 ? ,使得



?

b

a

1 b f (? ) ? f ( x )dx ? b?a a f ( x )dx ? f (? )(b ? a ) (a ? ? ? b)

性质7的几何意义: 在 [a , b] 上至少存在一点 ? ,使 得曲边梯形的面积等于同一底 边而高为 f (? ) 的矩形的面积.
a

?
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b
结束

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,我们称

1 b 为函数f(x)在[a,b]上的平均值. f ( x ) d x ? b?a a
如已知某地某时自0至24时天气温度曲线为f(t),

1 24 t为时间,则 ?0 f (t )dt 表示该地、该日的平均气温. 24
如已知某河流在某处截面上各点的水深为h(x),

0 ? x ? a (a为河流在该截面处水面之宽度),则该河流 在该截面处的平均水深为 1 ? ah( x)dx . a0
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5.2

微分学基本定理

5.2.1 变上限积分与对积分上限变量求导数
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,则对于任意的x
( a ? x ? b ),积分?a f ( x )dx 存在,且对于给定的x( a ? x ? b )
x

就有一个积分值与之对应,所以上限为变量的积分
是上限x的函数.

?

x

a

f ( x )dx

注意:积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x是 两个不同的概念,在求积时(或说积分过程中)上限x是 固定不变的,而积分变量x是在下限与上限之间 变化的,因此常记为

?

x

a

f ( t )dt .
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定理1

如果函数f ( x)在区间 [a, b]上连续,则变上限

的积分所确定的函数 Φ ( x) ?
x ?a f

(t )dt

( a ? x ? b)

在[a, b]上具有导数,且 d x Φ ' ( x) ? ?a f (t )dt ? f ( x) (a ? x ? b). dx
证明 不妨设?x ? 0,

? ?Φ ? Φ ( x ? ?x) ? Φ ( x) = ?

x ? ?x a
x a

f (t )dt ? ?

x f a

(t )dt

? ? f (t )dt ? ? ??
x ? ?x x

x a

x ? ?x x

f (t )dt ? ? f (t )dt
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f (t )dt

由积分中值定理有
?Φ f (? )?x 即 ? ? f (? ). ?x ?x

?

x ? ?x

x

f ( t )dt ? f (? )?x

? ? (x , x ? ?x ),

当?x ? 0时,有x ? ?x ? x,从而? ? x, 根据导数的定义以及函 数的连续性,有 ?Φ Φ' ( x) ? lim ? lim f (? ) ? f ( x), ?x ?0 ?x ? ?x d x 即 Φ ' ( x) ? ?a f (t )dt ? f ( x). dx 结论:变上限积分所确定的函数 ? x f (t )dt 对积分上限 a
x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).
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可以证明 原函数存在定理

如果函数f ( x)在区间 [a, b]上连续,则 Φ ( x) ? ? f (t )dt 是f ( x)在[a, b]上的一个原函数.
由上述结论可知:尽管不定积分与定积分概念的引入
x a

完全不同,但彼此有着密切的联系,因此我们可以通
过求原函数来计算定积分.

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结束

5.2.2 微积分学基本定理
定理2 微积分学基本定理

设函数f ( x)在区间 [a, b]上连续,且F ( x)是f ( x)在 [a, b]上的任一个原函数,则

?
或记作
证明
b a

b

a

f ( x )dx ? F (b) ? F (a )
b a

? f ( x)dx ? F ( x) ? F (b) ? F (a).
x a

F ( x)是f ( x)的一个原函数, 而Φ( x) ? ? f (t )dt也是f ( x)的一个原函数,

? F ( x ) ? Φ ( x ) ? C.
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令x ? a有 F (a ) ? Φ(a ) ? C .
由于 Φ(a ) ? ? f ( t )dt ? 0,
a a

所以 F (a ) ? C .

令x ? b有 F (b) ? Φ(b) ? C,
Φ(b) ? F (b) ? C ? F (b) ? F (a ), Φ(b) ? ? f (t )dt ? F (b) ? F (a ),
a b

所以 ? f ( t )dt ? F (b) ? F (a ),
a

b



?

b

a

f ( x )dx ? F (b) ? F (a ),

上式称为牛顿-莱布尼茨公式,也称为微积分基本定理.
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牛顿-莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积 分之间的内在联系,并提供了计算定积分的简便 的基本方法,即求定积分的值,只要求出被积

函数 f(x)的一个原函数F(x),然后计算原函数在
区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.

该公式把计算定积分归结为求原函数的问题,.

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结束

2 x dx. 例1 求 ?

1 0

解 因为 x 是被积函数 x 2 的一个原函数, 3 根据牛顿 ? 莱布尼茨公式,有
3 1 3 1 2 x ?1 ? 0 ? . x d x ? ?0 3 3 3 3 0 1 1 dx. 例2 求 ??1 2 31

3

1? x 1 解 因为arctan x是被积函数 的一个原函数, 2 1? x

根据牛顿 ? 莱布尼茨公式,有

1 1 π d x ? arctan x ? ? ?1 2 1? x2
1 ?1

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结束

求 d ? x ln(1 ? t 2 )dt . dx ?1 d ? x 2 ? ? ln(1 ? x 2). ln(1 ? t )d t 解 ? dx ? ? ??1 ? x arctan tdt ? 0 . 例4 求 lim 2 例3
x ?0

?

?

解 lim
x ?0

?

x

0

d ? x ? arctan t d t arctan tdt ?0 ? ? ? ? d x ? lim 2 2 x ?0 ( x ) ' x

x

(arctan x )' arctan x 1 ? lim ? lim x ?0 2 x ?0 ( x )' 2x
1 2 1 1 1 ? x ? lim ? . 2 x ?0 1 2

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结束

例5 解

计算

?

2 0

2 x , f (x)d x ,其中 f (x) ? 5x,
1 2 0 1

?

0 ≤ x ≤1 1? x ≤2

?

2 0

f (x)d x ? ? f (x)d x ? ? f (x)d x
5 2 2 17 ? ? 2xdx ? ? 5xdx ? x ? x ? 0 0 1 2 1 2
1 2 21

例6

计算由曲线 y ? x 2 、直线 x=2 与x轴围成的图形

的面积. 解 由定积分的几何意义,得

1 3 8 A? ? x dx ? x ? 0 3 0 3
2 2

2

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结束

5.3
定理

定积分的积分方法
x ? ? (t )

5.3.1 定积分的换元积分法
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,若 满足下列三个条件:

(1)? (? ) ? a ,? ( ? ) ? b,
(2)当t在α与β之间变化时,
连续,则

?' ( t ) ? (单调变化且 t)

?a

b

f ( x )dx ? ? f ? ?? ( t )? ? ?' ( t )dt
?

?

上述公式称为定积分的换元积分公式,简称换元公式.
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注意:

(1)定积分的换元法在换元后,积分上,下限也要作相
应的变换,即“换元必换限”. (2)在换元之后,按新的积分变量进行定积分运算,不

必再还原为原变量.
(3)新变元的积分限可能α>β,也可能α<β,但一定要求 满足

? (? ) ? a,?,即 (? ) ? b

t 对应于 ??

x ? a ,t ? ? 对应于 x ? b .

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结束

例1

求 ? sin 4 x cos xdx.

π 2 0

解 令 sin x ? t,则cos xdx ? dt, π 当x ? 0时,t ? 0,当x ? 时,t ? 1,则 2 π 1 1 1 4 4 5 1 2 所以? sin x cos xdx ? ? t dt? t 0 ? . 0 0 5 5 方法二 ? sin x cos xdx ? ?
4 π 2 0 π 2 0

π? 1? ? ? sin ? ? 5 2 ? ?

5

1 5 π sin xd( sin x ) ? sin x 02 5
4
5

? sin0 ?

1 ? . 5

注: 用第一类换元法即凑微分法计算一些定积分时,可 以不引入中间变量
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例2 解

计算

?

e

1

4 dx x(1 ? ln x)

?

e

1

e 4 4 dx ? ? d(1 ? ln x) 1 1 ? ln x x(1 ? ln x)

= 4ln 1 ? ln x 1 ? 4ln 2

e

注 用第二类换元法计算定积分时,由于引 入了新的积分变量,因此,必须根据引入的 变量代换,相应地变换积分限.

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结束

例3 解

求?

9 4

x dx. x ?1

令 x ? t,则x ? t 2 , dx ? 2tdt,

当x ? 4时,t ? 2,当x ? 9时,t ? 3,
9 ?4 2 x t t 3 3 ?1?1 dx ? ?2 2tdt ? 2?2 dt x ?1 t ?1 t ?1

? 2?

3 (t 2
2

1 ?1? )dt t ?1
3

?t ? ? 2 ? ? t ? ln t ? 1 ? ?2 ?2 ? 7 ? ln4.
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例4 证明

(1)若f ( x)在?? a, a ?上连续,且为偶函数,则

?? a f ( x)dx ? 2?0 f ( x)dx,
(2)若f ( x)在?? a, a ?上连续,且为奇函数,则

a

a

?? a f ( x)dx ? 0.

a

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结束

证明

?

a

?a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
?a 0
0 ?a

0

a

在? f ( x )dx,令x ? ?t,dx ? ?dt

则当x ? ?a时,t ? a,当x ? 0时,t ? 0,有

? f ( x)dx ? ? ?
? ? f ( x)dx ? ?
a ?a

0 ?a

0 f a

(?t )dt ? ?

a f 0
a f 0

(?t )dt ? ?
( x)dx

a f 0

(? x)dx

a f 0

(? x)dx ? ?

? ? ? f (? x) ? f ( x)?dx
a 0

(1)如果f ( x)是偶函数,即f (? x) ? f ( x),则

?? a f ( x)dx ? 2?0 f ( x)dx.

a

a

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结束

(2)如果f ( x)是奇函数,即f (? x) ? ? f ( x),则

? f ( x)dx ? 0.
例4表明了连续的奇、偶函数在对称区间[–a,a]上
的积分性质,即偶函数在[–a,a]上的积分等于区间[0,a]

a ?a

上积分的两倍;奇函数在对称区间上的积分等于零,
可以利用这一性质,简化连续的奇、偶函数在对称区

间上的定积分的计算.

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结束

sin x ? (arctan x) 2 例5 求 ??1 dx. 2 1? x
1

2 2 sin x ? (arctan x ) sin x (arctan x ) 1 1 1 解 ??1 dx ? ??1 dx ? ??1 dx, 2 2 2 1? x 1? x 1? x

sin x 其中 在区间?? 1,1?上为奇函数,则有 2 1? x sin x ??1 1 ? x 2 dx ? 0,
1

(arctan x) 而 在区间?? 1,1?上为偶函数,则有 2 1? x
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2

1 (arctan x ) ??1 2

2

1? x

dx ?

1 (arctan x ) 2?0 2

2

1? x

dx

? 2?0 (arctan x) 2 d(arctan x)
2 3 ? (arctan x) 3
1 0

1

π ? ,
96
3 sin x ? (arctan x) 2 π. ? ??1 d x ? 1? x2 96 1

3

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结束

例6 证明 ? sin xdx ? ? cos n xdx,
n

π 2 0

π 2 0

证明

π 令x ? -t,则dx ?-dt, 2 π π 当x ? 0时,t ? ,当x ? 时,t ? 0,则 2 2

π ? ? ? sin xdx ? ? ? sin ? 2 ? t ?dt ? ?
π 2 0 n 0 π 2 n

?? ??

π n 2 cos tdt 0 π n 2 cos 0

xdx.
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5.3.2 分部积分法
设函数u ( x), v( x)在区间 [a, b]上具有连续导数u ' ( x)、 v ' ( x),则有
(uv ) ' ? u' v ? uv' .

分别求等式两端在 [a, b]上的定积分

?a (uv)'dx ? ?a vu'dx ? ?a uv'dx,
由于 ? ( uv )'dx ? uv|b a,
a b

b

b

b

所以 ? uv 'dx ? uv| ? ? u ' vdx .
a b a a
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b

b

例7 求 ?0 xe 2 x dx.

1

1 2x 解 令u ? x,dv ? e dx;du ? dx,v ? e , 2
2x

代入分部积分公式,得

?

1 2x x e dx 0

1 2x 1 1 1 2x ? xe ? ?0 e dx 0 2 2
1 2 1 2x 1 ? e ? e 0 2 4 1 2 ? (e ? 1). 4
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例8 求 ?0 arcsin xdx. 解 令u ? arcsin x,dv ? dx, du ?

1 2

1 1 ? x2
1 2

dx,v ? x ,

代入分部积分公式,得

?0 arcsin xdx ? x arcsin x

1 2

1 2 0

? ?0

x dx 2 1? x

1 π 1 12 1 2 ? ? ? ?0 d( 1 ? x) 2 2 4 2 1? x
2π ? ? 1? 8
1 2 2 x 0

2π 2 ? ? ? 1. 8 2

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结束

例8 计算

?

e 1 e

ln x d x
1 e



?

e 1 e

ln x d x ? ? 1 ( ? ln x)d x ? ? lnx d x
e 1
1 1 e 1

e 1 e ? 1? ? (?x ln x ) ? ? 1 x ? ? ? ? d x ? (x ln x ) 1 ? ? x ? d x 1 x e ? x?

e e 1 ? 1? ? ? ? ? 1 d x ? e ? ? d x ? 2 ?1 ? ? 1 e e ? e?

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结束

例9 求 ? 解

1 x e dx. 0

令 x ? t,则x ? t 2 , dx ? 2tdt,

当x ? 0时,t ? 0,当x ? 1时,t ? 1,则

?

1 x e dx 0

? 2?

1 t t e dt 0 1 t t de 0
t1 1

? 2?

? 2 te 0 ? 2?0 e t dt ? 2[e ? e 0 ]
? 2?e ? (e ? 1)? ? 2.
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t1

5.4 无穷区间的广义积分
前面所讨论的定积分,其积分区间都是有 限区间.然而,在实际问题中,常常会遇 到积分区间为无穷区间的积分.

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定义

设函数f ( x)在区间 [a,?? )上连续,取b ? a

如果极限
b ?+?

lim ?a f ( x)dx

b

存在,则称此极限为 函数f(x)在无穷区间 [0,?? ) 上的广
义积分,
?? 记作 ?a

f ( x)dx , 即
b lim a b ? ??

?

?? a

f ( x)dx ?

? f ( x)dx,

这时也称广义积分 ? ? ? f ( x)dx 收敛;如果上述极限 a
?? 不存在,则称广义积分 ? a

f ( x)dx 发散,
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类似地,无穷区间 (??, b]上的广义积分定义为

? f ( x)dx ?

b ??

b lim a a ? ??

? f ( x)dx (a ? b).

无穷区间 (??, ?) 上的广义积分定义为

?

?? ??

f ( x)dx ? ?

a ??

f ( x)dx ? ?

?? a

f ( x)dx,
a ??

此时,如果上式右端的两个广义积分?

f ( x)dx和

?

?? a

f

+? ( x)dx都收敛,则称广义积分 ? ?

?

f ( x)dx收敛,

+? 否则称广义积分 ? ?

?

f ( x)dx发散.

上述三种方法统称为无穷区间上的广义积分.
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例1 求 ? 解

? ? ?3 x e dx. 0

? ? ?3x ?0 e dx

?

b ?3x lim ?0 e dx b ? ??

1 b ? ? lim ?0 e ? 3 x d( ?3x) 3 b ? ??
1 ? ? lim e?3 x 3 b ? ?? 0
1 1 ? ? lim [ 3b ? 1] 3 b ? ?? e 1 ? . 3
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b

1 dx. 例2 求 ? 2 1? x 解 根据定义,有
?? ??

1 1 1 0 ?? dx ? ?? ? dx ? ?0 dx, ? 2 2 2 1? x 1? x 1? x
?? ??

?

0 ??

1 1? x
2

dx ?

0 1 lim a dx 2 a ? ?? 1 ? x

?

? lim ?arctan x?
a ? ??

0 a

π π ? 0 ? (? ) ? , 2 2

?

??

0

b 1 1 π b dx ? lim ? dx ? lim ?arctan x ?0 ? , 2 2 b??? b??? 0 1 ? x 2 1? x

1 dx 收敛,且 所以,广义积分 ? 2 1? x
?? ??

?

??

??

1 dx ? π. 2 1? x
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例3 证明广义积分? ?? 1 dx当? ? 1收敛,? ? 1 当时发散. ? 1 x 证明 当? ? 1时,则

?
当? ? 1时,
?? 1 dx 1 ?

?? 1 dx 1 ?

x

? lim ?
b ? ??

b1 dx 1

x

? lim lnx
b ? ??

b 1

? ??,

1 ? 1 1?? ? , 当? ? 1, ? x ? ?? ? 1 lim ? ? lim x b ? ?? x b ? ?? 1 ? ? 1 ? ?? ?, 当? ? 1, 1 ?? 1 所以广义积分?1 ? dx当? ? 1时收敛,且其值为 , ?- 1 x
b 1 dx ? 1 ?
b

当? ? 1时发散.
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