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河北省定州中学2018届高中毕业班上学期第三次月考数学试题+Word版含答案

时间:2018-02-14


河北定州中学 2017-2018 学年第一学期 高四第 3 次月考数学试卷
一、单选题 1.定义一个集合 A 的所有子集组成的集合叫做集合 A 的幂集,记为 P(A),用 n(A)表示有限 集 A 的元素个数,给出下列命题:①对于任意集合 A,都有 A? P(A);②存在集合 A,使得 n[P(A)]=3;③用 ? 表示空集,若 A∩B=?,则 P(A)∩P(B)=?;④若 A ⑤若 n(A)-n(B)=1,则 n[P(A)]=2×n[P(B)]其中正确的命题个数为( A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 ) D. B,,则 P(A) ) 。 P(B);

2.对任意的 x ? 0 ,总有 f ? x ? ? a ? x ? lgx ? 0 ,则 a 的取值范围是( A.

lge ? lg ? lge ? ? ? ??, ?

B.

1? ? ??,

C.

? lge ? lg ? lge ? ? ?1, ?

? ? ?? ?lge ? lg ? lge ?, ?
3.函数 f ? x ? 与它的导函数 f ? ? x ? 的图象如图所示,则函数 g ? x ? ? ( ) .

f ? x? ex

的单调递减区间为

A.

? 0, 4?

B.

? ??,1? ,

?4 ? ? ,4? ?3 ?

C. ? 0,

? ?

4? ? 3?

D.

? 0,1? , ? 4, ?? ?

4 .已知椭圆

,点

为长轴的两个端点,若在椭圆上存在点 ,使

,则离心率 的取值范围为

A.

B.

C.

D.

5.已知双曲线

与抛物线

的交点为点

,且直线

过双曲线与抛物

线的公共焦点,则双曲线的实轴长为 A. B. C. D.

6 .已知 e 为自然对数的底数,若对任意的 x ? ? ,1? ,总存在唯一的 y ? ?1,1 ,使得
2 y lnx ? x ? 1 ? a ? y e 成立,则实数 a 的取值范围是

?1 ? ?e ?

?

?

A. ?

?2 ? , ?? ? ?e ?

B. ?

1? ?2 ,e ? ? e? ?e

C. ? , e ? ?e ?

?1

?

D. ?

?2 ? ,e ?e ? ?
2

7. 若函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x),且 x∈(-1,1] 时 f(x)=1-x ,函数 则函数 A. 15 B. 14 在区间[-5,10]内零点的个数为 C. 13 D. 12

,

8 .已知 A, B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 60? , C 为该球面上的动点,若三棱锥

O ? ABC 体积的最大值为 18 3 ,则球 O 的体积为(
A. 81? B. 128?
2



C. 144?

D.

288?

9. 已知函数 f ? x ? ? x ? bx ? c 的两个零点 x1 , x2 满足 x1 ? x2 ? 3 , 集合 A ? { m f ? m? ? 0? , 则( ) B. ? m∈A,都有 f(m+3)<0 C. ? m0∈A,使得 f(m0+3)

A. ? m∈A,都有 f(m+3)>0 =0

D. ? m0∈A,使得 f(m0+3)<0

10.已知 f ? x ? ? {

log 2 x ,0 ? x ? 2, x 2 ? 8 x ? 14, x ? 2,

若存在互不相同的四个实数 0<a<b<c<d 满足 f(a)

=f(b)=f(c)=f(d) ,则 ab+c+2d 的取值范围是() A. ( 13 ? 2 , 13 ? 2 ) B. ( 13 ? 2 ,15)

C. [ 13 ? 2 ,15]

D. ( 13 ? 2 ,15) )

11.已知 x, y ? R* ,且满足 x ? 2 y ? 2 xy ,那么 x ? 4 y 的最小值为( A. 3﹣ 2 B. 3+2 C. 3+ 2 D. 4 2

12.已知抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点是 F ,过点 F 的直线与抛物线 C 相交于 P、Q 两点,且点

??? ? ??? ? Q 在第一象限,若 3PF ? FQ ,则直线 PQ 的斜率是(
A. 1 B.



3 3

C.

2

D.

3

二、填空题 13.已知抛物线的方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) , O 为坐标原点, A , B 为抛物线上的点,若

? OAB 为等边三角形,且面积为 48 3 ,则 p 的值为__________.
14.已知函数 f ? x ? ? ax ?1 ? ? a ?1? x . (Ⅰ)当 a ? 2 时,满足不等式 f ? x ? ? 0 的 x 的取值范围为__________. (Ⅱ)若函数 f ? x ? 的图象与 x 轴没有交点,则实数 a 的取值范围为__________.

? ? x ? 1? ? 2, x ? 1 15.已知函数 f ? x ? ? { 下列四个命题: 1 ? 1, x ? 1 x
2

①f(f(1))>f(3); ③f(x)的极大值点为 x=1;

② ? x0∈(1,+∞),f'(x0)=-1/3; ④ ? x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≤1

其中正确的有_________(写出所有正确命题的序号)
16.对任意实数 x1 , x2 ,min( x1 , x2 )表示 x1 , x2 中较小的那个数,若 f ? x ? ? 2 ? x , g ? x ? ? x ,
2

则 min f ? x ? , g ? x ? 的最大值是__________

?

?

三、解答题

17.已知函数 f ? x ? ? x ? alnx, g ? x ? ? ? 若 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的极值;

1? a ?a ? R? . x

设函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,求函数 h ? x ? 的单调区间; 若在区间 1, e ? e ? 2.71828?? 上不存在 ...x0 ,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,求实数 a 的取值范 围. 18.已知函数 f ? x ? ? (1)求 f(x)的解析式; (2)k 为何值时,方程 f(x)-k=0 只有 1 个根

? ?

mx (m,n∈R)在 x=1 处取得极值 2. x ?n
2

(3)设函数 g(x)=x2-2ax+a,若对于任意 x1∈R,总存在 x2∈[-1,0],使得 g(x2)≤ f(x1),求 a 的取值范围
19.

如图,已知椭圆 直线与直线 (Ⅰ) 求椭圆 (Ⅱ) 求三角形

与双曲线 .

有相同的焦点,且椭圆 过点

,若

平行且与椭圆 相交于点 的标准方程; 面积的最大值.

参考答案 BADAD DBDAD 11.B 12.D 13.2 14. 15.① 16.1 17. (1)极小值为 f ?1? ? 1 ; (2)见解析(3) ?2 ? a ? (I)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ? lnx ? f ' ? x ? ?

1? ? , ? ? ??, ? ? ? 1?? 3? ?
② ③ ④

?1 ? ,1? ? ?2 ?

e2 ? 1 e ?1

x ?1 ? 0 ? x ? 1 ,列极值分布表 x

(1, ? ?) 上递增,∴ f ? x ? 的极小值为 f ?1? ? 1 ; ? f ? x ? 在(0,1)上递减,在
(II) h ? x ? ? x ? alnx ?

1? a x

?h '? x? ?

? x ? 1? ? ? x ? ?1 ? a ?? ?
x2

(0, ? ?) ①当 a ? ?1 时, h ' ? x ? ? 0,?h ? x ? 在 上递增;
②当 a ? ?1 时, h ' ? x ? ? 0 ? x ? 1 ? a , ∴ h ? x? 在 上递减,在 ?1 ? a, ?? ? 上递增; (0,1 ? a) (III)先解区间 1, e 上存在一点 x0 ,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立

? ?

? h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? 0 在 ?1, e? 上有解 ? 当 x ??1, e? 时, h ? x ?min ? 0
由(II)知 ①当 a ? ?1 时, h ? x ? 在 1, e 上递增, ?hmin ? h ?1? ? 2 ? a ? 0 ? a ? ?2 ②当 a ? ?1 时, h ? x ? 在 上递减,在 ?1 ? a, ?? ? 上递增 (0,1 ? a) 当 ?1 ? a ? 0 时, h ? x ? 在 1, e 上递增, ?hmin ? h ?1? ? 2 ? a ? 0 ? a ? ?2 当 a ? e ? 1时, h ? x ? 在 1, e 上递减

? ?

∴ a ? ?2

? ?

? a 无解

? ?

? hmin ? h ? e ? ? e ? a ?

1? a e2 ? 1 e2 ? 1 0?a ,∴ a ? ; e e ?1 e ?1

当 0 ? a ? e ? 1 时, h ? x ? 在 1,1 ? a 上递减,在 ?1 ? a, e ? 上递增

?

?

?hmin ? h ?1 ? a ? ? 2 ? a ? aln ?1? a ?
令 F ?a? ?

2 ? a ? aln ?1 ? a ? a

?

2 2 1 ?0 ? 1 ? ln ?1 ? a ? ,则 F ' ? a ? ? ? 2 ? a 1? a a
2 ? 0 , ? F ? a ? ? 0 无解, e ?1

? F ? a ? 在 ? 0, e ?1? 递减, ? F ? a ? ? F ? e ? 1? ?
即 hmin ? 2 ? a ? aln ?1 ? a ? ? 0 无解;

综上:存在一点 x0 ,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,实数 a 的取值范围为: a ? ?2 或 a ?

e2 ? 1 . e ?1

所以不存在一点 x0 ,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,实数 a 的取值范围为 18. (1) f ? x ? ?

.

4x ; (2)k= ?2 或 0; (3) a ? ?1 . x ?1
2

(1)因为 f ? x ? ?

mx ,所以 x ?n
2

.

?0 2 f ' ?1? ? 0 1 ? n ? ? 又 f(x)在 x ? 1 处取得极值 2,所以 { ,即 { 解得 n ? 1,m ? 4 , f ?1? ? 2 m ?2 1? n 4x 经检验满足题意,所以 f ? x ? ? 2 . x ?1 ?4 ? x ? 1?? x ? 1? (2) f ' ? x ? ? ,令 f ( ' x) ? 0 ,得 x ? ?1或x ? 1 . 2 2 x ? 1 ? ?
当 x 变化时, f ( 的变化情况如下表: ' x),( f x)

m ? n ? 1?

所以 f(x)在 x ? ?1 处取得极小值 ( f ?1 ) ? ?2 ,在 x ? 1 处取得极大值 () f 1 ? 2, 又 x ? 0 时, ( 的最小值为 ( f ?1 ) ? ?2 , f x) ? 0 ,所以 ( f x)

x ? ??, y ? 0, x ? ??, y ? 0 如图

所以 k= ?2 或 0 时,方程有一个根. (也可直接用方程来判断根的情况解决) (3)由(2)得 ( 的最小值为 ( f ?1 ) ? ?2 , f x) 因为对任意的 x1 ? R ,总存在 x2 ? ?1,0 ,使得 g ? x2 ? ? f ? x1 ? , 所以当 x ? ?1,0 时, g ? x ? ? x ? 2ax ? a ? ?2 有解,
2

?

?

?

?

即 ? 2x ?1? a ? x ? 2 在 ?1,0 上有解.
2
2 令 2 x ? 1 ? t ,则 x ?

?

?

t 2 ? 2t ? 1 t 2 ? 2t ? 9 , t ? ? ?3, ?1? . ,所以 at ? 4 4

所以当 t ? ?3, ?1 时, a ?

?

?

1? 9? 1 1 ? ? 9 ?? ? t ? 2 ? ? ? ? ?? ?t ? ? ? ? ? ? ? ?1; 4? t ? 2 4? ? t ??

? a 的取值范围为 a ? ?1 .

19.(1)

(2)2

(Ⅰ)由已知有

,∴

∴椭圆 的标准方程为

.

(Ⅱ)∵

,∴设直线方程为

代入

得:

∴当

,即

时,设

,则:

,

∴ (当且仅当 ∴ 时,取等号)

的最大值为 .


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