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山东省潍坊市2015届高三数学二模试卷(文科)

时间:2016-07-13


2015 年山东省潍坊市高考数学二模试卷(文科)

一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设全集 U=R,集合 A={x||x|≤1},B={x|log2x≤1},则?UA∩B 等于( A. (0,1] B. C. (1,2] D. (﹣∞,﹣1)∪ )

2.设 i 是虚数单位,若复数 a﹣ A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3

(a∈R)是纯虚数,则 a 的值为(



3.已知命题 p:? x>0,x+ ≥4:命题 q:? x0∈R ,2 = ,则下列判断正确的是( A.p 是假命题 B.q 是真命题 C.p∧(¬q)是真命题 D. (¬p)∧q 是真命题

+

x0



4.已知 m、n 是两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( A.若 m⊥α ,n⊥β ,且 m⊥n,则α ⊥β C.若 m⊥α ,n∥β ,且 m⊥n,则α ⊥β B.若 m∥α ,n∥β ,且 m∥n,则α ∥β D.若 m⊥α ,n∥β ,且 m∥n,则α ∥β



5.若 A. B. C.

,且 D.

,则 tanα =(



6.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(x+2)=2f(x) ,当 x∈时, ,则函数 y=f(x)在上的大致图象是( )

A.

B.

C.

D.

7.已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为 球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为( A. B. C. D. )

8.设实数 x、y 满足约束条件

,已知 z=2x+y 的最大值是 8,最小值是﹣5,则

实数 a 的值为( A.6

) D.

B.﹣6 C.﹣

9.已知两点 M(﹣1,0) ,N(1,0) ,若直线 y=k(x﹣2)上存在点 P,使得 PM⊥PN,则实数 k 的取值范围是( A. ) B. C. D.

10.定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足:对? x∈(0,+∞) ,都有 f(2x)=2f(x) ;当 x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x,给出如下结论: ①对? m∈Z,有 f(2 )=0;
m

②函数 f(x)的值域为时,执行如图所示的程序框图,则输出的 x 不小于 103 的概率



. , ,过点 G 的直线分别交 AB、AC 于 P、Q 两点, .

13.已知 G 为△ABC 的重心,令 且 , ,则 =

14. 已知抛物线 y =2px (p>0) 的焦点为 F, O 为坐标原点, M 为抛物线上一点, 且|MF|=4|OF|, △MFO 的面积为 ,则该抛物线的方程为 .

2

15.已知函数 f(x)=1+x﹣ <b,a,b∈Z)内,则 b﹣a 的最小值是 .

,若函数 f(x)的零点都在(a

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 16.已知向量 f(x)= ,把函数 化简为 f(x)=Asin(tx+?)+B 的形式后,利用“五点法”画 y=f(x)在某

一个周期内的图象时,列表并填入的部分数据如表所示: x tx+? 0 ① 2π

f(x) 0 1 0 ﹣1 0

(Ⅰ)请直接写出①处应填的值,并求ω 的值及函数 y=f(x)在区间 (Ⅱ)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 求 .

上的值域; ,c=2,a= ,

17.如图,边长为

的正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,其中 AB∥CD,AB⊥BC,

DC=BC= AB=1,点 M 在线段 EC 上. (Ⅰ)证明:平面 BDM⊥平面 ADEF; (Ⅱ)判断点 M 的位置,使得三棱锥 B﹣CDM 的体积为 .

18.为了了解学生的校园安全意识,某学校在全校抽取部分学生进行了消防知识问卷调查, 问卷由三道选择题组成,每道题答对得 5 分,答错得 0 分,现将学生答卷得分的情况统计如 下:

性别 人数 分数 女生 男生 0分 20 10 5分 x 25 10 分 30 35 15 分 60 y

已知被调查的所有女生的平均得分为 8.25 分,现从所有答卷中抽取一份,抽到男生的答卷且 得分是 15 分的概率为 (Ⅰ)求 x,y 的值; .

(Ⅱ)现要从得分是 15 分的学生中用分层抽样的方法抽取 6 人进行消防知识培训,再从这 6 人中随机抽取 2 人参加消防知识竞赛,求所抽取的 2 人中至少有 1 名男生的概率.

19.已知等比数列数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比 q>0,S2=2a2﹣2,S3=a4﹣2. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)令

,Tn 为数列{cn}的前 n 项和,求 T2n.

20.已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O,其焦点与双曲线 C:x ﹣ 短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

2

=1 的焦点重合,且椭圆 E 的

(Ⅱ)过双曲线 C 的右顶点 A 作直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 P、Q.设点 M(4,3) ,记直 线 PM、QM 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1+k2 为定值,求出此定值.

21.设 f(x)=

,g(x)=alnx(a>0) .

(Ⅰ)求函数 F(x)=f(x) ?g(x)的极值; (Ⅱ)若函数 G(x)=f(x)﹣g(x)+(a﹣1)x 在区间 的取值范围; (Ⅲ)求证:当 x>0 时,lnx+ >0. 内有两个零点,求实数 a

2015 年山东省潍坊市高考数学二模试卷(文科) 参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设全集 U=R,集合 A={x||x|≤1},B={x|log2x≤1},则?UA∩B 等于( A. (0,1] B. C. (1,2] D. (﹣∞,﹣1)∪ )

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B,找出 A 补集与 B 的交集即可. 解答: 解:由 A 中不等式解得:﹣1≤x≤1,即 A=, 由 B 中不等式变形得:log2x≤1=log22, 解得:0<x≤2,即 B=(0,2], ∴?UA=(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) , 则(?UA)∩B=(1,2], 故选:C. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

2.设 i 是虚数单位,若复数 a﹣ A.﹣3 B.﹣1 C.1 考点: 复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: 利用复数的运算法则把 a﹣ 义即可得到 a. 解答: 解:∵ ∴a﹣3=0,解得 a=3. 故选 D. D.3

(a∈R)是纯虚数,则 a 的值为(



(a∈R)可以化为(a﹣3)﹣i,再利用纯虚数的定

=(a﹣3)﹣i 是纯虚数,

点评: 熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键.

3.已知命题 p:? x>0,x+ ≥4:命题 q:? x0∈R ,2 = ,则下列判断正确的是( A.p 是假命题 B.q 是真命题 C.p∧(¬q)是真命题 D. (¬p)∧q 是真命题

+

x0



考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用基本不等式求最值判断命题 p 的真假,由指数函数的值域判断命题 q 的真假,然 后结合复合命题的真值表加以判断. 解答: 解:当 x>0,x+ ≥ ∴命题 p 为真命题,¬P 为假命题; 当 x>0 时,2 >1, ∴命题 q:? x0∈R ,2 = 为假命题,则¬q 为真命题. ∴p∧(¬q)是真命题, (¬p)∧q 是假命题. 故选:C. 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了复合命题的真假判断,考查了利用基本不 等式求最值,是中档题.
+ x0 x

,当且仅当 x=2 时等号成立,

4.已知 m、n 是两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( A.若 m⊥α ,n⊥β ,且 m⊥n,则α ⊥β C.若 m⊥α ,n∥β ,且 m⊥n,则α ⊥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用线面垂直的性质,面面垂直的判定以及面面平行的判定定理分别分析选择. 解答: 解:若 m⊥α ,n⊥β ,且 m⊥n,则α ⊥β ,故 A 正确 若 m∥α ,n∥β ,且 m∥n,则α 与β 平行或相交,故 B 错误 若 m⊥α ,n∥β ,且 m⊥n,则α 与β 平行或相交,所以 C 错误. 若 m⊥α ,m∥n,则 n⊥α ,又由 n∥β ,则α ⊥β ,故 D 错误; 故选:A B.若 m∥α ,n∥β ,且 m∥n,则α ∥β D.若 m⊥α ,n∥β ,且 m∥n,则α ∥β



点评: 本题考查直线与直线的位置关系及直线与平面的位置关系的判断、性质.解决此类问 题的关键是熟练掌握空间中线面、面面得位置关系,以及与其有关的判定定理与性质定理.

5.若 A. B. C.

,且 D.

,则 tanα =(



考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用诱导公式、二倍角公式,同角三角函数的基本关系求得 3tan α +20tanα ﹣7=0,解方程求得 tanα 的值. 解答: 解:若 (cos α +sin α ) , ∴ cos α ﹣
2 2 2 2

,且

,则 cos α ﹣sin2α =

2

sin α ﹣2sinα cosα =0,即 3tan α +20tanα ﹣7=0.

2

2

求得 tanα = ,或 tanα =﹣7(舍去) , 故选:B. 点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系,诱导公式、二倍角公式的应用,以及三角函 数在各个象限中的符号,属于基础题.

6.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(x+2)=2f(x) ,当 x∈时, ,则函数 y=f(x)在上的大致图象是( )

A.

B.

C. 考点: 函数的图象.

D.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意求出函数 f(x)在上的解析式,问题得以解决. 解答: 解:∵f(x+2)=2f(x) , ∴f(x)=2f(x﹣2) ,

设 x∈,则 x﹣2∈, ∴f(x)=
2



当 x∈,f(x)=﹣2x +12x﹣16,图象过点(3,2) , (4,0)的抛物线的一部分, 故选:A 点评: 本题考查了函数的解析式的求法和函数的图象的识别,属于基础题,

7.已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为 球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为( A. B. C. D. )

考点: 球内接多面体;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 压轴题. 分析: 先确定点 S 到面 ABC 的距离,再求棱锥的体积即可. 解答: 解:∵△ABC 是边长为 1 的正三角形, ∴△ABC 的外接圆的半径 ∵点 O 到面 ABC 的距离 ∴点 S 到面 ABC 的距离为 ∴棱锥的体积为 故选 A. 点评: 本题考查棱锥的体积,考查球内角多面体,解题的关键是确定点 S 到面 ABC 的距离. ,SC 为球 O 的直径

8.设实数 x、y 满足约束条件

,已知 z=2x+y 的最大值是 8,最小值是﹣5,则

实数 a 的值为( A.6

) D.

B.﹣6 C.﹣

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,作出直线 2x+y=8 和 2x+y= ﹣5,得到直线 x+ay﹣4=0 经过点 A,B,进行求解即可取出 a 的值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, ∵z=2x+y 的最大值是 8,最小值是﹣5, ∴作出直线 2x+y=8,则目标函数与直线 x+y﹣4=0 交于 A, 作出直线 2x+y=﹣5,则目标函数与直线 3x﹣2y+4=0 交于 B, 则直线 x+ay﹣4=0 经过点 A,B, 由 ,解得 ,即 B(﹣2,﹣1) ,

代入直线 x+ay﹣4=0, 得﹣2﹣a﹣4=0. 解得 a=﹣6. 即 AB:x﹣6﹣4=0, 由图象进行检验可得,满足条件, 故选:B.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想 是解决此类问题的基本方法.

9.已知两点 M(﹣1,0) ,N(1,0) ,若直线 y=k(x﹣2)上存在点 P,使得 PM⊥PN,则实数 k 的取值范围是( )

A.

B. C. D.

考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 以 MN 为直径的圆的方程为:x +y =1,由于直线 y=k(x﹣2)上存在点 P,使得 PM⊥PN, 可知:直线与圆有交点,且 k≠0,因此: ≤1,且 k≠0,解出即可.
2 2

解答: 解:以 MN 为直径的圆的方程为:x +y =1, ∵直线 y=k(x﹣2)上存在点 P,使得 PM⊥PN, ∴直线与圆有交点,且 k≠0, ∴ ≤1,且 k≠0,

2

2

解得: 故选:B.

,且 k≠0.

点评: 本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.

10.定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足:对? x∈(0,+∞) ,都有 f(2x)=2f(x) ;当 x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x,给出如下结论: ①对? m∈Z,有 f(2 )=0; ②函数 f(x)的值域为; 即可判断出正误; ③f(2 +1)=2 ﹣2 ﹣1,假设存在 n 使 f(2 +1)=9,即存在 x1,x2, 2 变化如下:2,4,8,16,32,即可判断出正误; ④根据②可知:由②知当 x? (2 ,2 )时,f(x)=2 ﹣x 单调递减,即可判断出正误. 解答: 解:①f(2 )=f(2?2 ②取 x∈(2 ,2 ) ,则 从而 f(x)=2 以 f(x)∈ =
m m+1 m m﹣1 k k+1 k+1 x n n+1 n n m

=2﹣

,从而 f(x)=2 ﹣x,其中,m=0,1,2,?,

m+1

=10,又,

)=2f(2

m﹣1

)=?=2

m﹣1

f(2) ,正确; , =2 ﹣x,其中,m=0,1,2,?,所
m+1

∈(1,2]; )=?=2
m

=2﹣

考点: 分层抽样方法. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: 先计算出样本中高三年级的女学生人数,再根据分层抽样的性质计算出该校高三年级 的女生的人数. 解答: 解:根据题意,设样本中高三年级的女生人数为 x, 则(x+10)+x=200, 解得 x=95, 所以该校高三年级的女生人数是 1600×200=760. 故答案为:760. 点评: 本题考查分层抽样,先计算中样本中高三年级的男女学生的人数是解决本题的关键, 属基础题.

12.当输入的实数 x∈时,执行如图所示的程序框图,则输出的 x 不小于 103 的概率是



考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 由程序框图的流程,写出前三项循环得到的结果,得到输出的值与输入的值的关系, 令输出值大于等于 103 得到输入值的范围, 利用几何概型的概率公式求出输出的 x 不小于 103 的概率. 解答: 解:设实数 x∈, 经过第一次循环得到 x=2x+1,n=2, 经过第二循环得到 x=2(2x+1)+1,n=3,

此时输出 x, 输出的值为 4x+3, 令 4x+3≥103 得 x≥25, 由几何概型得到输出的 x 不小于 103 的概率为 P= 故答案为: . = .

点评: 解决程序框图中的循环结构时,一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果, 根据结果找规律,属于基础题.

13.已知 G 为△ABC 的重心,令 且 , ,则 =

, 3 .

,过点 G 的直线分别交 AB、AC 于 P、Q 两点,

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 显然 而 ,根据 G 点为重心,从而 ,而已知 可以用 表示,而 和 共线,从 的式子:

,从而会最后得到关于

,从而得到

,两式联立消去 x 即可求出

答案. 解答: 解:如图, = ∴ G 为△ABC 的重心; ∴ ∴ 整理得, , ; ; ; ; ;





消去 x 得, ∴ .



故答案为:3.

点评: 考查向量加法、减法的几何意义,共线向量基本定理,重心的性质:重心到顶点距离 是它到对边中点距离的 2 倍,以及向量加法的平行四边形法则,向量的加法、减法运算,平 面向量基本定理.

14. 已知抛物线 y =2px (p>0) 的焦点为 F, O 为坐标原点, M 为抛物线上一点, 且|MF|=4|OF|, △MFO 的面积为 ,则该抛物线的方程为 y =8x .
2

2

考点: 抛物线的简单性质;抛物线的标准方程. 专题: 计算题. 分析: 根据 M 为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,可确定 M 的坐标,利用△MFO 的面积为 即可求得抛物线的方程. 解答: 解:由题意,F( ,0) ,准线方程为 x=﹣ ∵|MF|=4|OF|,∴|MF|=2p ∴M 的横坐标为 ∴M 的纵坐标为 ∵△MFO 的面积为 ∴ ∴p=4 , ,

∴抛物线的方程为 y =8x 故答案为:y =8x 点评: 本题考查抛物线的标准方程,考查抛物线的定义,解题的关键是确定 M 的坐标.
2

2

15.已知函数 f(x)=1+x﹣ <b,a,b∈Z)内,则 b﹣a 的最小值是 1 .

,若函数 f(x)的零点都在(a

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 求导数,确定 f(x)是 R 上的增函数,函数 f(x)在上有一个零点,即可得出结论. 解答: 解:f′(x)=1﹣x+x ﹣x +?+x
2 3 2014



x>﹣1 时,f′(x)>0,f′(﹣1)=1>0,x<﹣1 时,f′(x)>0, 因此 f(x)是 R 上的增函数, ∵f(0)=1>0,f(﹣1)=(1﹣1)+(﹣ ﹣ )+?+(﹣ ∴函数 f(x)在上有一个零点; ∵函数 f(x)的零点都在(a<b,a,b∈Z)内, ∴b﹣a 的最小值是 1. 故答案为:1. 点评: 此题是中档题,考查函数零点判定定理和利用导数研究函数的单调性,学生灵活应用 知识分析解决问题的能力. ﹣ )<0

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 16.已知向量 f(x)= ,把函数 化简为 f(x)=Asin(tx+?)+B 的形式后,利用“五点法”画 y=f(x)在某

一个周期内的图象时,列表并填入的部分数据如表所示: x ①

tx+? 0



f(x) 0 1 0 ﹣1 0 (Ⅰ)请直接写出①处应填的值,并求ω 的值及函数 y=f(x)在区间 (Ⅱ)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 求 . 上的值域; ,c=2,a= ,

考点: 由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式;平面向量数量积的运算. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: (Ⅰ) 由三角函数恒等变换化简解析式可得 f (x) =sin (2 =π ,可求ω ,由 x∈,可求 2x﹣ (Ⅱ) 由f ( )=sin(A+ 的范围,即可求得 f(x)的值域. 的范围, 可解得 A, 由余弦定理解得 b,cosB, ) , 由 T=2 ( )

)=1, 根据 A+

利用平面向量数量积的运算即可得解. 解答: 解: (Ⅰ)①处应填 f(x)=m?n+ = = ?1 分
2

sinω xcosω x﹣cos ω x+ =

sin2ω x﹣

+

sin2ω x﹣ cos2ω x=sin(2 )=π ,所以由 ) . ≤2x﹣ ≤

)?3 分 ,ω =1.

因为 T=2( ∴f(x)=sin(2x﹣ 因为 x∈,所以﹣

,所以﹣1≤sin(2x﹣

)≤ ,

∴f(x)的值域为?6 分 (Ⅱ)因为 f( 所以 A+ =
2

)=sin(A+ ,

)=1,因为 0<A<π ,所以

<A+





,A=
2 2

由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA,得( b=﹣1(舍去) ,

) =b +2 ﹣2×

2

2

2

,即 b ﹣2b﹣3=0,解得 b=3 或

2

∴cosB=

=



所以

=|

||

|cosB=2×

=1?12 分

点评: 本题主要考查了由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式,平面向量数量积的运 算,考查了余弦定理的应用,属于中档题.

17.如图,边长为

的正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,其中 AB∥CD,AB⊥BC,

DC=BC= AB=1,点 M 在线段 EC 上. (Ⅰ)证明:平面 BDM⊥平面 ADEF; (Ⅱ)判断点 M 的位置,使得三棱锥 B﹣CDM 的体积为 .

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)证明:ED⊥平面 ABCD,BD⊥平面 ADEF,即可证明平面 BDM⊥平面 ADEF; (Ⅱ)在平面 DMC 内,过 M 作 MN⊥DC,垂足为 N,则 MN∥ED,利用三棱锥的体积计算公式求 出 MN,可得结论. 解答: (Ⅰ)证明:∵DC=BC=1,DC⊥BC, ∴BD= ∵AD=
2

, ,AB=2,
2 2

∴AD +BD =AB , ∴∠ADB=90°, ∴AD⊥BD, ∵平面 ADEF⊥平面 ABCD,ED⊥AD,平面 ADEF∩平面 ABCD=AD,

∴ED⊥平面 ABCD, ∴BD⊥ED, ∵AD∩DE=D, ∴BD⊥平面 ADEF, ∵BD? 平面 BDM, ∴平面 BDM⊥平面 ADEF; (Ⅱ)解:如图,在平面 DMC 内,过 M 作 MN⊥DC,垂足为 N,则 MN∥ED, ∵ED⊥平面 ABCD, ∴MN⊥平面 ABCD, ∵VB﹣CDM=VM﹣CDB= ∴ ∴MN= , = = , ,



=

= ,

∴CM= CE, ∴点 M 在线段 CE 的三等分点且靠近 C 处.

点评: 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定与性质,考查三棱锥体积的计算,熟练掌 握空间直线与平面不同位置关系(平行和垂直)的判定定理、性质定理、定义及几何特征是 解答本题的关键.

18.为了了解学生的校园安全意识,某学校在全校抽取部分学生进行了消防知识问卷调查, 问卷由三道选择题组成,每道题答对得 5 分,答错得 0 分,现将学生答卷得分的情况统计如 下:

性别 人数 分数 女生 男生 0分 20 10 5分 x 25 10 分 30 35 15 分 60 y

已知被调查的所有女生的平均得分为 8.25 分,现从所有答卷中抽取一份,抽到男生的答卷且 得分是 15 分的概率为 (Ⅰ)求 x,y 的值; (Ⅱ)现要从得分是 15 分的学生中用分层抽样的方法抽取 6 人进行消防知识培训,再从这 6 人中随机抽取 2 人参加消防知识竞赛,求所抽取的 2 人中至少有 1 名男生的概率. .

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据被调查的所有女生的平均得分为 8.25 分,得到关于 x 得方程,解得 x 即 可,再根据抽到男生的答卷且得分是 15 分的概率为 得到关于 y 得方程,解得 y 即可;

(Ⅱ)根据分层抽样,求出女生和男生得人数,再一一列举出所有得基本事件,找到所抽取 的 2 人中至少有 1 名男生的基本事件,根据概率公式计算即可. 解答: 解: (Ⅰ)∵被调查的所有女生的平均得分为 8.25 分, ∴ =8.25,解得 x=90,

现从所有答卷中抽取一份,共有结果(10+25+35+y)+(20+90+30+60)=270+y, ∴抽到男生且得分是 15 分得概率 = ,解得 y=30, = ,

(Ⅱ)从得分是 15 分的学生中用分层抽样的方法抽取 6 人,则抽样比例为 ∴女生抽取 4 人,记为 a,b,c,d,男生抽取 2 人,记为 A,B,

从这 6 人中随机抽取 2 人的种数 AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc, bd,cd 共 15 种, 其中所抽取的 2 人中至少有 1 名男生 AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd 共 9 种,

故所抽取的 2 人中至少有 1 名男生的概率 P=

= .

点评: 本题考查分层抽样,以及古典概型的概率公式,考查数据处理能力和分析问题、解决 问题的能力,属于基础题.

19.已知等比数列数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比 q>0,S2=2a2﹣2,S3=a4﹣2. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)令

,Tn 为数列{cn}的前 n 项和,求 T2n.

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)利用等比数列的通项公式即可得出.

(II)由(I)可得:cn=

.可得 T2n=(c1+c3+?+c2n﹣1)+(c2+c4+?+c2n) ,

对奇数项与偶数项分别利用“裂项求和” 、 “错位相减法”即可得出. 解答: 解: (I)∵S2=2a2﹣2,S3=a4﹣2. ∴S3﹣S2=a4﹣2a2=a3, ∴ 又 a1+a2=2a2﹣2, ∴a2﹣a1﹣2=0,∴2a1﹣a1﹣2=0,解得 a1=2, ∴ . ,a2≠0,化为 q ﹣q﹣2=0,q>0,解得 q=2,
2

(II)由(I)可得:cn=



∴T2n=(c1+c3+?+c2n﹣1)+(c2+c4+?+c2n) , 记 M=(c2+c4+?+c2n)

= =

+?+ +?+ ,



=

+?+





=

+?+



=



=



∴M= ﹣ ∴T2n= = = + ﹣

. +M +M .

点评: 本题考查了“错位相减法” 、等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、 “裂项求和” , 考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

20.已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O,其焦点与双曲线 C:x ﹣ 短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

2

=1 的焦点重合,且椭圆 E 的

(Ⅱ)过双曲线 C 的右顶点 A 作直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 P、Q.设点 M(4,3) ,记直 线 PM、QM 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1+k2 为定值,求出此定值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)设方程为
2

,确定 c,利用椭圆 E 的短轴的两个端点与
2 2

其一个焦点构成正三角形,可得 a=2b,利用 a =b +c ,求出 a,b,即可求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)分类讨论,设 l 的方程为 y=k(x﹣1) ,代入椭圆方程,利用韦达定理,结合斜率公式, 可得结论.

解答: 解: (Ⅰ)由题意椭圆的焦点在 x 轴上,设方程为 点为 F1(﹣ ,0) ,F2( ,0) ,∴c= ,

,其左右焦

∵椭圆 E 的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形, ∴a=2b, ∵a =b +c , ∴a=2,b=1, ∴椭圆 E 的方程为 ;
2 2 2

(Ⅱ)①双曲线 C 右顶点为 A(1,0) , 当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y=k(x﹣1) , 代入椭圆方程得(4k +1)x ﹣8k x+4k ﹣4=0, 设直线 l 与椭圆 E 交点 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 则 x1+x2= ∴ k1+k2= =2 ②当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=1,代入椭圆方程可得 x=1,y=± . = = ,x1x2= ,
2 2 2 2

不妨设 P(1,

) ,Q(1,﹣

) ,则 k1+k2=

=2 为定值.

综上所述,k1+k2 为定值,定值为 2. 点评: 本题考查椭圆方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,考查韦达定 理,属于中档题.

21.设 f(x)=

,g(x)=alnx(a>0) .

(Ⅰ)求函数 F(x)=f(x) ?g(x)的极值;

(Ⅱ)若函数 G(x)=f(x)﹣g(x)+(a﹣1)x 在区间 的取值范围; (Ⅲ)求证:当 x>0 时,lnx+ >0.

内有两个零点,求实数 a

考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的 最值. 专题: 导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (1)求导数的变号零点,然后据此得到原函数的极大值或极小值点; (2)先利用导数研究函数的单调性、极值及最值的情况,然后结合数形结合思想构造出关于 a 的不等式(组)求解; (3)先将原不等式变形为两个函数比较大小的情形,然后转换为两个函数最值的比较问题, 还是利用导数研究. 解答: 解: (1) F (x) =f (x) ?g (x) = = .

故 F(x)在

上递减,在

上递增,所以

为极小值点,

所以 (2)

=

,无极大值. .所以 .

由 G′(x)=0 得 x=1 或 x=﹣a(舍去) . 当 x∈(0,1)时,G′(x)<0,G(x)单调递减;x∈(1,+∞)时,G′(x)>0,G(x) 单调递增.

要使 G (x) 在

上有两个零点需满足:

, 即



解得



下面比较

的大小.

因为

=





.故 a 的范围是



(3)原不等式等价于



由(1)知 f(x)=x lnx 的最小值为

2



设 h(x)=

,则



因为 x>0,所以 h(x)在(0,2)单调递增,在(2,+∞)单调递减. h(x)max=h(2)= .

又因为



所以 f(x)min>h(x)min,故



所以 x>0 时,lnx



点评: 本题综合考查了导数在研究函数的单调性、极值、最值问题中的应用,以及通过这些 应用解决函数零点的分布问题、不等式的恒成立问题.


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