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精选平面向量压轴填空题

时间:2014-05-02


??? ? ??? ? 1. 在△ABC 中,已知 AB=4,AC=3,P 是边 BC 的垂直平分线上的一点,则 BC ? AP =

_____________ 【答案】 ? 解析:

7 2

1 7 BC ? AP ? ( AC ? AB ) ? ( AQ ? QP ) ? ( AC ? AB ) ? AQ ? ( AC ? AB ) ? ( AB ? AC ) ? ? 2 2
A

P B Q C

2. 已知 OA ? 1, OB ?

3, OA ? OB ? 0 ,点 C 在 ?AOB 内, ?AOC ? 30o .
B

C O A

??? ? ??? ? ??? ? m 设 OC ? mOA ? nOB(m, n ? R) ,则 等于 n
【答案】3 [解析]:法一:建立坐标系,设 C ( x, y ) 则由 OC ? mOA ? nOB(m, n ? R) 得

??? ?

??? ?

??? ?

?x ? m y m 0 0 ( x, y ) ? m(1,0) ? n(0, 3 ) ? ? 而 ?AOC ? 30 故 tan30 ? ? x 3n ? y ? 3n ??? ? ??? ? ??? ? 法二: OC ? mOA ? nOB(m, n ? R) 两边同乘 OA 或 OB 得

? OC ? OA ? m ? OC ? ? ? ?OC ? OB ? 3n ? OC ? ?

3 ?m m 2 两式相除得 ? 3 n 1 ? 3 ? 3n 2

3. 在△ABC 中,若 AB ? AC ? AB ? CB ? 4 ,则边 AB 的长等于

2 2

1

解析: AB ? AC ? AB ? CB ? 4 ? AB ( AC ? CB ) ? 8 ? AB ? 8 4. 已知点 G 是 ?ABC 的重心,点 P 是 ?GBC 内一点,若 AP ? ? AB ? ? AC, 则? ? ? 的取 值范围是___________ ( ,1) A

2

??? ?

??? ?

??? ?

2 3

G B 解析: P P ’ G’ C

AP ? AG ? GP ?

2 AG ' ? ? GP ' ? 3

1 ( AB ? AC ) ? t (mGB ? nGC ) (其中 0 ? t ? 1, m ? n ? 1 ) 3 1 1 1 = ( AB ? AC ) ? t[m ? ( AB ? CB ) ? n ? ( AC ? BC )] 3 3 3 1 1 2 1 2 = (1 ? mt ) AB ? (1 ? nt ) AC ,则 ? ? ? ? ? t ? ( ,1) 3 3 3 3 3 ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ?2 5. 已知 O 为 ?ABC 所在平面内一点,满足 OA ? BC ? OB ? CA ?

??? ? 2 ??? ?2 OC ? AB ,则点 O 是 ?ABC 的
解 析



垂心 :

??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ?2 OA ? BC ? OB ? CA ? ? (OA ? OB)(OA ? OB) ? (BC ? CA)(BC ? CA) ? 0

? BA? 2OC ? 0 ,可知 OC ? AB ,其余同理
→ → 2 6. 设点 O 是△ABC 的外心,AB= c ,AC= b , ?b ? 1? ? c 2 ? 1 则 BC · AO 的取值

范围

? 1 ? - ,2 ? ? ? 4 ?

2

A

? ?
O B 解析: C

?b ? 1?2 ? c 2 ? 1 ? c 2 ? 2b ? b 2 ? 0 ? 0 ? b ? 2
b c 1 ? cR ? ? (b 2 ? c 2 ) 2R 2R 2

BC ? AO ? ( AC ? AB ) ? AO ? bR cos ? ? cR cos ? ? bR ? 1 1 ? 1 ? ? b 2 ? b ? (b ? ) 2 ? ? ?- ,2 ? 2 4 ? 4 ?

7. 在△ABC 和△AEF 中,B 是 EF 的中点,AB=EF=1,BC=6,

CA ? 33 ,若 AB ? AE ? AC ? AF ? 2 ,则 EF 与 BC 的夹角的余弦值等于_____
解析: (2007 全国联赛类似 38.39 题) 因为 AB ? AE ? AC ? AF ? 2 , 所
2

2 3



AB? ( AB ? BE) ? AC ? ( AB ? BF) ? 2
2





AB ? AB? BE ? AC ? AB ? AC ? BF ? 2 。因为 AB ? 1 , 33 ? 1 ? 36 AC ? AB ? 33 ?1? ? ?1 , BE ? ?BF , 所 以 2 ? 33 ?1
1? BF ? ( AC ? AB) ?1 ? 2 ,即 BF ? BC ? 2 。设 EF 与 BC 的夹 2 角为 θ, 则有 | BF | ? | BC | ? cosθ ? 2 , 即 3cosθ=2, 所以 cos θ ? 3 ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ?
值和最小值分别为 m, n ,则对任意 ? , m ? n 的最小值是 C D
??

8. 已知向量 ? , ? , ? 满足 | ? |? 1 , | ? ? ? |?| ? | , (? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? 0 .若对每一确定的 ? , | ? | 的最大

??

?? ?

1 2

A 解析:数形结合.

B

AB ? ? , AC ? ? , BC ? ? ? ? , AD ? ? ,

点 D 在以 BC 为直径的圆上运动, m ? n 就是 BC , CD ? ? ? ? , BD ? ? ? ? ? CD ? BD , 1 而 AC ? BC , AB ? 1 ? 2 BC ? 1 ? BC ? ( A, B, C 共线时取等号)和 9 题相同. 2 9. 已知向量a ,b ,c 满足 | a | = 1,|a - b | = | b |,(a - c) (b - c ) = 0 , 若对每一个确定的b,|c | 的最大值和最小值分别为m,n,则对于任意的向量b ,m + n 的 最小值为_________ .

3 2
3

解析:本题和8完全相同。数形结合,具体参见8 10. 设 e1 , e2 是夹角为 60 的两个单位向量, 已知 OM ? e1 , ON ? e2 , OP ? xOM ? yON ,
0

若 ?PMN 是以 M 为直角顶点的直角三角形, 则实数 x ? y 取值的集合为_____________{1} 解析:画图解即可 11. 如图放置的边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A, D 分别在 x 轴, y 轴上正半轴上滑动, 则 OB ? OC 的最大值为________2 y

C B A x

D O 解析:

?

(OA ? AB)(OD ? DC) ? sin 2? ? 1
0

12. 给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 120 。如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动, 若 OC ? xOA ? yOB , 其中 x, y ? R , 则 x ? y 的最大值是___2 解析:
2

B

C

OC ? x 2 ? y 2 ? 2 xy OA ? OB ? x 2 ? y 2 ? xy ? ( x ? y ) 2 ? 3 xy ? 1

O

A

( x ? y ) 2 ? 1 ? 3xy ? 1 ? 3 ? (

x? y 2 ) 2

【研究】如果要得到 x , y 满足的准确条件,则建系, OA ? (1,0), OB ? (? ,

1 3 )则 2 2

OC ? ( x ?
x?

1 3 1 3 2 y, y) , 则 满 足 ( x ? y) 2 ? ( y) ? 1 ? x ? ? y 2 ? xy ? 1 , 且 2 2 2 2

1 1 y?? ,y?0 2 2

【变题】给定两个长度为 1 且互相垂直的平面向量 OA 和 OB ,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动,若 OC ? xOA ? yOB ,其中 x、y ? R,则 ( x ? 1) ? y 的最大值为
2 2

2

解析:建系,利用坐标法是可以得到 x , y 最准确的满足条件,如 OA ? (1,0),OB ? (0,1)

OC ? ( x, y) ,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动,故满足 x 2 ? y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0)

4

13. 在平行四边形 ABCD中, 已知 AB ? 2, AD ? 1, ?DAB ? 60? ,点 M为AB 的中点,点

P 在 BC与CD 上运动(包括端点) ,则 AP ? DM 的取值范围是

1 [ ? ,1] 2

解析:分两种情形,结合图形分析。 ( 1 ) 当 P 在 BC 上 时 , AP ? AB ? BP , 则

AP ? DM ? AB ? DM ? BP ? DM ? 1 ? 1 1 1 1 AP ? DM ? ? ? DM ? [? , ] 2 2 2 2

1 1 BP ? [ ,1] ; 同 理 , 当 P 在 CD 上 时 , 2 2

14. 在周长为 16 的 ?PMN 中, MN ? 6 ,则 PM ? PN 的取值范围是 解析:PM ? PN ? ab cos? ? ab ? 故 ab ? (

???? ? ??? ?

16? ?7,

???? ? ????

a 2 ? b 2 ? c 2 a 2 ? b 2 ? 36 ? ? 32 ? ab ,因 a ? b ? 10 , 2ab 2

???? ? ???? a?b 2 ) ? 25 , PM ? PN ? 32 ? ab ? 7 ,或者用消元的方法 2 ???? ? ???? ab ? a(10 ? a) ? ?(a ? 5) 2 ? 25 ? 25 ,当 a ? b ? 5 时取等号,故 PM ? PN
? 32 ? ab ? 7 ;同时 a ? b ? 6 ? 10 ? a ? 6 ? a ? 8 ,当 a ? 8 时 ab ? 16 ,故 ab ? 16 , ???? ? ???? PM ? PN ? 32 ? ab ? 16
另法:本题可以得出 P 的轨迹是椭圆,得出椭圆方程然后设 P 坐标来解决 15. 已 知 | O A? | 4 ,O | B ?|

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? 2 y ? 1 , ?AOB 是 钝 角 , 若 且 6 O ,C ? xO ?A y Ox ,B ??? ? ??? ? ???? 6 111 f (t ) ?| OA ? tOB | 的最小值为 2 3 ,则 | OC | 的最小值是 37
A

? ? ??

? ? ??

解析: OC ? xOA ? yOB' ? C, A, B' 共线,用几何图形 解) f (t ) ?| OA ? tOB | 的最小值为 2 3 根据几何意义即

??? ?

??? ?

???? 为 A 到 OB 的距离, 易得 ?AOB ? 120 , 要使 | OC | 最小,
0

2 3
O

C B’ B

OC ? AB ' ,利用面积法可求得 则

16. 如图,在正方形 ABCD 中, E 为 AB 的中点, P 为以 A 为圆心、 AB 为半径的圆弧上 的任意一点,设向量 AC ? ? DE ? ? AP ,则 ? ? ? 的最小值为 解析:坐标法解, AC ? (1,1), DE ? ( ,?1), AP ? (cos ? , sin ? ) 由

??? ?

??? ?

??? ?
1 2

1 2

??? ? ??? ? ??? ? AC ? ? DE ? ? AP



2 sin ? ? 2 cos? ? ?? ?1 ? ? ? ? cos ? ? 1 ? ? 2 cos? ? sin ? ?? , ?2 3 ? ?? ? ?? ? ? ? sin ? ? 1 ? 2 cos? ? sin ? ?
5

??? ?
f (? ) ?

2 sin ? ? 2 cos ? ? 3 1 ? sin ? ? 3? ?1 2 cos ? ? sin ? 2 cos ? ? sin ?





1? s ? ?i 2 ?n2 sin ? ? cos? , ? ? [0, ] , f ' (? ) ? ? 0 ,故 f (? ) 最小值为 2c ? ? s ? o 2 i s (2 cos n ? ? sin ? ) 2
1 1 , ? ? ? 最小值为 2 2

f (0) ?

17. 已知 P 为边长为 1 的等边 ?ABC 所在平面内一点,且满足 CP ? CB ? 2CA ,则

PA ? PB =________3
P A

B 解析:如图
2

C

CP ? CB ? 2CA ? BP ? 2CA , PA ? PB =

( PB ? BA) ? PB ? PB ? BA ? PB ? 4 ? 1 ? 2 ? cos 120 0 ? 3
18. 已知向量 M={ a ? a =(1,2)+?(3,4) ??R} , N={ a ? a =(-2,2)+ ?(4,5) ??R } ,则 M?N=________ ?(46,62)? 解析: ?

?1 ? 3? ? ?2 ? 4? ' ? ? ? 15 ?2 ? 4? ? 2 ? 5? '

19. 等腰直角三角形 ABC 中, ?A ? 90? , AB ? 2 , AD 是 BC 边上的高, P 为 AD 的中 点, 点 M 、N 分别为 AB 边和 AC 边上的点, 且 M 、N 关于直线 AD 对称, 当 PM ? PN ? ? 时,

???? ? ????

1 2

AM ? ______3 MB

B E D C A

解析: PM ? PN ? (PA ? AM )(PA ? AN) 20. 如图在三角形 ABC 中,E 为斜边 AB 的中点,CD⊥AB,AB=1, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 则 CA ? CD CA ? CE 的最大值是 27

?

??

?

解析:

?CA ? CD ??CA ? CE ? ? 2 CD

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

1

2

? CA cos A ?

1 1 2 CA 3 sin 2 A cos A ? sin 2 A cos 4 A ? 2 2 27

21. 已知 A,B,C 是平面上不共线上三点,动点 P 满足错误!未找到引用源。错误!未找到

6

引用源。,则 P 的轨迹一定通过错误!未找到引用源。的______________重心 解析:设重心为 G , OP ? OG ?

?
3

(OA ? OB ? 2OC ) ? GP ?

?
3

(CA ? CB ) ?

2? CD 3

? ?CG ,故 C , G, P 三点共线
22. 已知点 O 为 ?ABC 的外心,且 AC ? 4, AB ? 2 ,则 AO ? BC ? 解析:AO ? BC ? AO ( AC ? AB ) ? 4 R cos ?CAO ? 2 R cos ?BAO ? 4 R ? 6

2 1 ? 2R ? ? 6 R R

23. 设 D 是 ?ABC 边 BC 延长线上一点,记 AD ? ? AB ? (1 ? ?) AC ,若关于 x 的方程

2 sin 2 x ? (? ? 1) sin x ? 1 ? 0 在 [0,2? ) 上恰有两解,则实数 ? 的取值范围是____

? ? ?4 或 ? ? ?2 2 ? 1
解 析 : 令 t ? sin x 则 2t 2 ? (? ? 1)t ? 1 ? 0 在 (?1,1) 上 恰 有 一 解 , 数 形 结 合 知

f (?1) ? f (1) ? 0 ? ? ? ?4 或 ? ? 2 ,或者 ? ? 0 ? ? ? ?2 2 ? 1
又 AD ? ? AB ? (1 ? ?) AC ? CD ? ? CB ? ? ? 0 所以 ? ? ?4 或 ? ? ?2 2 ? 1

??? ? ? ??? ? ??? ? AB 24. O 是锐角 ? ABC 所在平面内的一定点,动点 P 满足: OP ? OA ? ? ? ? ?2 ? ??? ? AB Sin?ABC ?

? ? , ? ? ? 0, ??? ,则动点 P 的轨迹一定通过 ? ABC 的______心 内心 ???? 2 ? AC Sin?ACB ? ? ???? AC
解析:设高为 AD ,则 AP ? ? (

AB AB

?

AC

1 显然成立 AD AC )

25. 已知错误! 未找到引用源。 为坐标原点, 未找到引用源。 , OP ? ? x, y ? 错误! OA ? ? a,0 ? 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , OC ? ? 3, 4 ? ,记 PA 、 PB 、 PC 中的 最大值为 M,当 a 取遍一切实数时,M 的取值范围是_____ ?7 ? 2 6, ?? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ?

?

解析:不妨设 PA ? PB ,即 y ? x ,此时 M ? max{PA , PC } ,当 a 取遍一切实数时,点

A 在 x 轴上滑动,而到点 C 的距离等于到 x 轴距离的点的轨迹是以 C 为焦点, x 轴为准线

7

C

A 的抛物线,其方程为 ( x ? 3) 2 ? 8( y ? 2) ,它交直线

y ? x 于点 P (7 ? 2 6,7 ? 2 6 ) ,显然此时 PA ? PC ,而 A 为 PA ? x 的垂足时 M 最
小,即最小是 7 ? 2 6

M 最小值呢?实际上就是当 P 法 2: 对于某个固定的 a ,到 M 的最大值显然可以趋向 ? ? ,
为 ?ABC 外心时,此时 PA ? PB ? PC ? M 的最小值,因为当 P 不是外心时,

PA , PB , PC 至少有一个会变大,这样 M 就变大.解得外心坐标为 P (

a 2 ? 25 a 2 ? 25 , ), 2a ? 14 2a ? 14

a 2 ? 25 ? a ?a ?7?2 6 要使得 PA ? PB ? PC 最小,则圆与坐标轴相切,此时 2a ? 14
26. 已知 ?ABC 中, I 为内心, AC ? 2, BC ? 3, AB ? 4, 且AI ? xAB ? yAC ,则 x ? y 的值 为 _________ .

???

??? ?

??? ?

2 , 3

解析:延长 AI 交 BC 于点 I ' ,则

3 2 1 2 AI ? AI ' ? AB ? BC ? AB ? AC 2 3 3 3

27. 设 G 是 ?ABC 的重心,且(56 sin A) GA ? (40 sin B) GB ? (35 sin C) GC ? 0 , 则角 B 的大小为__________60° 解析:由重心性质知 56 sin A ? 40 sin B ? 35 sin C ? 56 a ? 40b ? 35c ,下面用余弦定理 即可求解 28. 平面内两个非零向量 ? , ? ,满足 范围是_________ (0, 2 ]

? ? 1 ,且 ? 与 ? ? ? 的夹角为 1350 ,则 ? 的取值

8

?

?

?

解析:数形结合。

利用正弦定理得,

? 1 ? , sin 450 sin ?

? ? (0, ? )
29. 在 ?ABC 中, AB ? 1, AC ? 2 , O 为 ?ABC 外接圆的圆心,则 AO ? BC ? ____ A D O B C E

3 4

3 2

解析:
2

AO ? ( AC ? AB ) ? 2( AO ? AD ? AO ? AE ) ? 2( AD

2

? AE ) ?

3 2
.135

??? ? ??? ? ???? ? 30. △ ABC 内接于以 O 为圆心的圆,且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 .则 ?C ?
2 2 2 ??? ? ??? ? ???? ? 解析: 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 ? 9OA ? 16OB ? 24OA ? OB ? 25OC

OA ? OB ? OC ? r ? ?AOB ? 900
31. 在△ABC 中,AB=8,BC=7,AC=3,以 A 为圆心,r=2 为半径作一个圆,设 PQ 为圆 A 的任意一条直径,记 T= BP? CQ ,则 T 的最大值为 C P
? ?

.22

A Q 解析:

B

设 BC, AQ 的夹角为 ? ,注意到由余弦定理知
? ?

?CAB ? 600 ,故 BP? CQ

9

? (BA ? AP)(CA ? AQ) ? BA? CA ? BA? AQ ? AP ? CA ? AP ? AQ 8 ? 3 ? cos600 ? AQ ? (BA ? CA) ? 4 ? 8 ? AQ ? BC ? 8 ? 14cos? ? [?6,22] ??? ? ??? ? ???? 32. 如图,在Δ ABC 中, AD ? AB , BC ? 3 BD , AD ? 1 ,
则 AC ? AD =____________ 3 → +2OB → +3OC → =→ 33. 已知点 O 为△ ABC 内一点, 且OA 0, 则△ AOB、 △ AOC、△ BOC 的面积之比等于_______________3:2:1 法一:延长 OB,OC 至 B’,C’,使得 OB ' ? 2OB , OC ' ? 3OC ,则 O 为 ?AB ' C ' 重心,然后由 面积计算;法二:建立坐标系,设 A(0,0),C(c,0),B(a,b),O(x,y),

???? ????

?2a ? 3c ? 6 x ? 0 ? b ? 3 y ? S ?AOC : S ? ABC ? 1 : 3 ? ?2b ? 6 y ? 0
2 34.已知 A.B.C 是△ABC 的三个顶点, AB ? AB ? AC ? AB ? CB ? BC ? CA, 则?ABC 为

_________________三角形.

直角三角形
2

解:注意到 AB ? AC ? AB ? CB ? AB ,故 BC ? CA ? 0 35.平面上的向量 PA, PB 满足 PA ? PB ? 4 , 且 PA ? PB ? 0 ,若向量 PC ? ,则 PC 的最大值为___________
2 1 16 4 (4 ? 3PB ) ? ? PC ? ,即 P, A 重合时. 9 9 3 1 36. 已 知 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O(0,0), M (1, ), N (0,1), Q(2,3), 动点 P( x, y ), 满 足 2

2

2

1 2 PA ? PB 3 3

解析:两边平方后知 PC

2

?

0 ? OP ? OM ? 1,0 ? OP ? ON ? 1.则OP ? OQ 的最大值为 解析:即已知 ?

?0 ? x ? 2 y ? 1 求 2 x ? 3 y 最大值问题,线性规划问题. ?0 ? y ? 1

37、在△ ABC 中,已知 AB ? 2 , BC ? 3 , ?ABC ? 60? , AH ? BC 于 H , M 为 AH 的中点,若 AM ? ? AB ? ? BC ,则 ? ? ? ? 解析:

???? ?

??? ?

??? ?

.

1 AH ? ? AB ? ? BC ,两边同数乘 BC 得 ? ? 3? ;两边同数乘 AB 得 8? ? 6? ? 3 2 1 1 2 解方程组得 ? ? , ? ? ? ? ? ? ? 2 6 3
38. 如图,在 ?ABC 和 ?AEF 中, B 是 EF 的中点, AB ? EF ? 2 , CA ? CB ? 3 , 10

??? ? ??? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ? 若 AB ? AE ? AC ? AF ? 7 ,则 EF 与 BC 的夹角的余弦值等于
解析:39 题类似, EF ? BC ? 2 ? 3 ? 6 ,下面求

_.

1 3

EF ? BC ? ( AF ? AE) ? ( AC ? AB) ? ( AB ? AE ? AC ? AF) ?
( ( AB ? AF ? AE ? AC) ? 7 ? [ AB ? ( AB ? BF) ? ( AB ? BE) ? AC] =

7 ? [ AB ? AB ? BF ? AB ? AC ? BF ? AC ] ? 7 ? [4 ? BF ? CB ? AB ? AC ]
= 7 ? [4 ?

2

1 EF ? BC ? 2] ,解方程得 EF ? BC ? 2 2

39. 如 图 , 在 △ ABC 和 △ AEF 中 , B 是 EF 的 中 点 , AB=EF=1 , CA=CB=2 , 若

??? ? ??? ???? ???? ???? ???? ? A B? A E? A C ? AF ? 2 ,则 EF 与 BC 的夹角等于
解析:



?

3 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? A B? A E ? AC ? A? F ( A ?B A ?B) B ?E ( ?A C ?A )B B F
? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? 1 ?A B ? B E ? A C? A B ? AC ? BF

解题思路:在已知等式中,将不知模长的向量作替换转化。

? ? ??

??? ? ??? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ? ? EF 与 BC 的夹角 EF 与 BC 的夹角∵ BE ? ? BF ,

??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴ AB ? AE ? AC ? AF ? 1 ? ( AC ? AB) ? BF ? AC ? AB ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? 1 ? BC ? BF ? AC ? AB ? 2
而 在 等 腰 △ ABC 中 , 作 底 边 的 高 CD , 则 在 Rt △ ACD 中 由 已 知 边 长 可 得

1 ??? ? ??? ? 1 cos ?CAB ? 2 ? ,设 EF 与 BC 的夹角为 ? 。 2 4 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴ 1? | BC | ? | BF | cos? ? | AC | ? | AB | cos ?CAB ? 2 ,
从而 cos ? ?

1 ? ,又 0 ? ? ? ? ,∴ ? ? 。 2 3
BC 重 合 , 若

40. 如图, 已知 Rt△BCD 的一条直角边 BC 与等腰 Rt△ABC 的斜边 B ???? ??? ? ???? ? AB ? 2 , ?CBD ? 30 , AD ? mAB ? nAC , 则 m?n = .-1 11

D

A

C

???? ??? ? ???? 解析: AD ? mAB ? nAC 两边分别同乘 AB, AC 分别得到

AD ? AB ? 4m, AD ? AC ? 4n ? 4(m ? n) ? AD ? CB ? ( AC ? CD) ? CB ? ?4

41.在 ?ABC 中,若 I 是其内一点,满足 a ? IA ? b ? IB ? c ? IC ? 0 ,求证: I 为内心 证明: a ? IA ? b( IA ? AB) ? c( IA ? AC) ? 0 ? (a ? b ? c) IA ? bc(

AB AC ? ) c b

?

a?b?c AB AC AB AC ,注意到 是单位向量,则 I 在角平分线上,同理可 IA ? ? , bc c b c b
??? ? ??? ? ??? ? ?
??? ? ??? ? ????

得 I 是内心.

42. 已知向量 OA, OB, OC 满足条件: OA ? OB ? OC ? 0 ,且 OA ? OB ? OC =2,点 P 是 ? ABC 内一动点,则 AB ? AP ? BC ? BP ? CA ? CP ? 18 .

43. 如图所示,A,B,C 是圆 O 上的三点,CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 O 外 的点 D,若 OC ? mO A ? nOB ,则 m ? n 的取值范围是 解析:设 OD ? ?OC(? ? ?1)

?

?

?

(-1,0)

? ? ? OC ? mOA ? nOB ? OD ? ?mOA ? ?nOB ,由于 A, B, D 共线

?m ? ?n ? 1 ? m ? n ?

1

?

? (?1,0)

44.如图, AP ? m AB ? n AC ,点 P 在阴影区域内(不含边界) ,则

m, n 满足的条件是___________ m ? n ? 1 , m ? 0, n ? 0
解析:设 AP 与 BC 交与点 P ' , AP ? ? AP'(? ? 1)

C P

AP ' ?

1

A

B

?

(m AB ? n AC ) , m ? n ? ? ? 1
π , D 是 BC 边 上 任 意 一 点 ( D 与 B 、 C 不 重 合 ) ,且 6

45. 在 △ ABC 中 , ?A ?

??? ? ???? ??? ? ???? | AB |2 ?| AD |2 ?BD ? DC ,则 ?B 等于

5? 12

??? ? ???? ??? ? ???? 解析: | AB |2 ?| AD |2 ?BD ? DC ? ( AB ? AD) ? DB ? BD ? DC ? ( AB ? AC) ? DC ? 0
说明 AD 是 BC 边中垂线,得 AB=AC 46. 在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90 ? , AC ? BC ? 2, D 是 ?ABC 内切圆圆心,设 P 是⊙ D 外

12

的三角形 ABC 区域内的动点,若 CP ? ?CA ? ?CB ,则点 (? , ? ) 所在区域的面积为

1 1 ? ? 2 4

13


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高考数学玩转压轴题专题2.3平面向量中范围、最值等综合问题-含答案_高考_高中教育_教育专区。专题 2.3 平面向量中范围、最值等综合问题 一.方法综述 平面向量中...

向量压轴题

向量压轴题 - 向量压轴题 3 1.已知△ABC 的三内角 A,B,C 所对边的长依次为 a,b,c,M 为该三角形所在平面内的一点,若 a 的( A.内心 ) B.重心 C...

专题5.2+解析几何与平面向量相结合问题-玩转压轴题突破...

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专题2.3+平面向量中范围、最值等综合问题-玩转压轴题突...

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2015高考数学向量压轴题复习

2015高考数学向量压轴题复习 - 1. 在 ?ABC 中,∠A = 6 ,D 是 BC 上任意一点 D 与 B、C 不重合 ,且 AB BC.则∠B= . 2 tanA π 2 = AD...

专题5.2+解析几何与平面向量相结合问题-玩转压轴题突破...

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