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3.4基本不等式

时间:2014-05-29


基本不等式学案
教学目标

练习 1、若 0 ? a ? b 且 a ? b ? 1 ,则下列四个数中最大的是 ( A.

) D.a )

a ? b ? 2ab ,不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等.
2 2

1 2

B.

a 2 ? b2

C.2ab

学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义. 教学重点 应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式 ab ? 教学难点 基本不等式 ab ? 合作探究 1 证; a ? b ? 2ab
2 2 2 2 强调:当且仅当 a ? b 时, a ? b ? 2ab

2、a, b 是正数,则
A.

a?b , 2

ab ,

2ab 三个数的大小顺序是 ( a?b
B. ab ? D.

a?b 的证明过程. 2

a?b 2ab ? ab ? 2 a?b 2ab a?b ? ab ? a?b 2

a ? b 2ab ? 2 a?b 2ab a ? b ? a?b 2

C.

ab ?

a?b 等号成立条件 2

例题分析: 已知 x、y 都是正数,求证: (1)

1 y x ? ≥2. (2) X>0,当X取何值时X+ 有最小值,最小值是多少. x x y
分析: a ? b ? 2ab ,注意条件 a、b 均为正数,结合不等式的性质(把握好每条性质成
2 2

立的条件),进行变形. 1 正 2 定 3 相等 特别地,如果 a ? 0,b ? 0, 用 a和 b 分别代替a、b , 可得a ?b ? 2 ab ,也可写成

ab ?
证明:

a ?b (a ? 0, b ? 0) ,引导学生利用不等式的性质推导 2

结论:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ab ? 探究 2:课本中的“探究”

a?b 2

5 1 变式训练:1 已知 x< ,则函数 f(x)=4x+ 的最大值是多少? 4 4x-5 2 证明: (x+y) (x +y ) (x +y )≥8x y . 分析:注意凑位法的使用,注意基本不等式的用法。
2 2 3 3 3 3

在右图中,AB 是圆的直径,点 C 是 AB 上的一点,AC=a,BC=b。过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE,连接 AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式 ab ? 何解释

a?b 的几 2

1

当堂检测: 1.下列叙述中正确的是( ).

(A)两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数 (B)两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数 (C)若两个数的和为常数,则它们的积有最大值 (D)若两个数的积为常数,则它们的和有最小值 2 下面给出的解答中,正确的是( 1 (A)y=x+ ≥2 1 ).

x

x· =2,∴y 有最小值 2 x
4 |sinx|· =4,∴y 有最小值 4 |sinx| 2 ) =( -x+3 2 ) ,又由 x=-2x+3 得 x=1,∴当 x 2

4 (B)y=|sinx|+ ≥2 |sinx| (C)y=x(-2x+3)≤( =1 时,y 有最大值(

x-2x+3 2

-1+3 2 ) =1 2 9 ≤3-2

(D)y=3- x-

x x



9

x

=-3,y 有最大值-3

4 3.已知 x>0,则 x+ +3 的最小值为( (A)4 (B)7

). (D)11 ). (D)是减函数

(C)8

1 4.设函数 f(x)=2x+ -1(x<0) ,则 f(x) (

x

(A)有最大值 答案 练习与提高: 1 B

(B)有最小值 2.D 3 B 4.A

(C)是增函数

1 已知 x 、y都是正数,求证: ① 如果积 xy 是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2 p ② 如果和 x ? y 是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值 S

1 4

2

2

基本不等式的应用学案
课前热身 1、如果 xy 是定值 p ,那么当 x ? y 时,和 x ? y 有最 2、如果和 x ? y 是定值 s ,那么当 x ? y 时,积有最 3、若 x ? ?1 ,则 x =_____时, x ?
a

变式训练:建造一个容积为 18m , 深为 2m 的长方形无盖水池,如果池底和池壁每 m 的造价为 200 元和 150 元,那么池的最低造价为 当堂检测:1、若 x, y 是正数,且 A.最大值 16 元. ) D.最大值

3

2

1 4 ? ? 1 ,则 xy 有( x y

1 有最小值,最小值为_____. x ?1
b

B.最小值

1 16

C.最小值 16

1 16

4、若实数 a、b 满足 a+b=2,则 3 +3 的最小值是_____. 学习目标 用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题. 引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心. 教学重点: 正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题 教学难点: 注意运用不等式求最大(小)值的条件 二、学习过程 例题分析: 例 1、 (1)用篱笆围一个面积为 100 m 2 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用的篱 笆最短,最短的篱笆是多少? (2)一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的 面积最大。最大面积是多少? 分析: (1)当长和宽的乘积确定时,问周长最短就是求长和宽和的最小值 (2)当长和宽的和确定时,求长与宽取何值时两者乘积最大 解:

2、已知 x ? 0, y ? 0 且满足

2 8 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值.4 x y
) B. y ? sin x ? D.

A.16 B20. C.14 D.18 3、 下列函数中,最小值为 4 的是: ( A. y ? x ?

4 x

4 (0 ? x ? ? ) sin x

C. y ? ex ? 4e? x

y ? log3 x ? 4log x 3

4、 设 x, y ? R, 且x ? y ? 5, 则3x ? 3y 的最小值是( A. 10 B. 6 3 . C. 4 6

) D. 18 3

5、函数 y ? x 1 ? x2 的最大值为
3

6、建造一个容积为 18m , 深为 2m 的长方形无盖水池,如果池底和池壁每 m 的造价为 200 元和 150 元,那么池的最低造价为 元.

2

7、某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需要面粉 6 吨,每吨面粉的价格为 1800 元,面粉 的保管等其它费用为平均每吨每天 3 元,购面粉每次需支付运费 900 元.求该厂多少天购买一次 面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少? 变式训练:用长为 4 a 的铁丝围成矩形,怎样才能使所围的矩形面积最大?

能力提升: 例 2、某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m ,深为 3m,如果池底每 1m 的造价为 2 150 元,池壁每 1m 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元? 分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的最 值,其中用到了均值不等式定理。
3 2

1、已知 x>0,y>0,且 3x+4y=12,求 lgx+lgy 的最大值及此时 x、y 的值.

2、某种汽车的购车费用是 10 万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为 0.9 万元,年 维修费用第一年是 0.2 万元,以后逐年递增 0.2 万元。问这种汽车使用多少年时,它的年平均费 用最小?最小值是多少?
3


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