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2015年泰州市高三数学一模试题及答案讲评

时间:2015-02-14


泰州市 2015 届高三第一次模拟考试

数学试题与参考答案及评分标准
1 1 参考公式: S 2 ? [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ??? ? ( xn ? x)2 ] , x ? ( x1 ? x2 ? ??? ? xn ) . n n
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.已知 A ? {1, 3, 4} , B ? {3, 4, 5} ,则 A 答案: ?3, 4? ; 2.函数 f ( x) ? sin(3x ? ) 的最小正周期为 6 答案:
B?





?





2? ; 3
▲ .

3.复数 z 满足 iz ? 3 ? 4i ( i 是虚数单位) ,则 z ? 答案: 4 ? 3i ; 4.函数 f ( x) ? 2x ? 4 的定义域为 ▲ .

答案: [2, ? ?) ;注意:用不等式表示,错误,不给分. 5.执行如右图所示的流程图,则输出的 n 为 答案:4; 6.若数据 2, x ,2,2 的方差为 0,则 x ? 答案: 2 ; 7.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球,从中任取两个球,则这两个球颜色相同的概率为 答案:
2 1 2 ;注意:写成 1 算错,不给分;写成 也不给分. C6 3 6

▲ ▲

. . ▲ .

8.等比数列 {an } 中, a1 ? 32a6 ? 0 , a3 a4 a5 ? 1 ,则数列的前 6 项和为 答案: ?





21 ; 4
▲ .

2 ? x?0 ? x ? sin x, 9.已知函数 f ( x) ? ? 2 是奇函数,则 sin ? ? ? ?? x ? cos( x ? ? ), x ? 0

答案: ?1 ;
) ? ?(f ) ? , 提示: 特殊值法, 取 x ? ?? 且 ? ? 0 , 由 f (?? 得 ?(?? )2 ? cos(?? ? ? ) ? ?(? 2 ? sin ? ) ? sin ? ? ?1 .

平时强调的重点方法啊! 10.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半,则双曲线的离心率 a 2 b2
▲ .

e?
答案:

5 ; 3

提示:双曲线唯一的重要性质:焦点到渐近线的距离等于 b ;则有:

b?

a?c a?c 2 c 5 ? a2 ? ( ) ? c2 ? 3c2 ? 2ac ? 5a2 ? 0 ? (3c ? 5a)(c ? a) ? 0 ? e ? ? . 2 2 a 3

平时强调的重点内容啊!

1

11.若 ? 、? 是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为



. (写出所有真命题的序号)

①若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,一定不存在与直线 m 平行的直线; ②若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,一定存在无数条直线与直线 m 垂直; ③若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,不一定存在与直线 m 垂直的直线; ④若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,一定存在与直线 m 垂直的直线; 答案:②④; 提示:①注意到两平面是相交的, m ? ? ,若两个平面是互相垂直的,显然存在;故不一定存在; ②注意到是垂直, m 一定与两平面的交线垂直,有一条直线就有无数条直线; ③与④对立的,一定有一个是真命题; 立体几何最重要的一个定理是“三垂线定理” ;立柱、投影、作垂线即成.④是真命题. 平时强调的重点内容啊!

12.已知实数 a、 b、 c 满足 a 2 ? b 2 ? c 2 , c ? 0 ,则 答案: [ ?
3 , 3 3 ]; 3

b 的取值范围为 a ? 2c





提示:类比猜想: “直角三角形”型;于是三角换元;令 a ? c cos? , b ? c sin ? ,因 c ? 0 ,为了确保能 够一一对应,取 ? ? [0, 2? ] ,则 明眼人一看,构造斜率即可; 取点 P(cos ? , sin ? ) , A(2, 0) ,
A

b c sin ? sin ? ; ? ? a ? 2c c cos ? ? 2c cos ? ? 2

y

设直线的方程为: y ? k ( x ? 2) ? kx ? y ? 2k ? 0 ;

O P

x

d ?r?

?2k k ? (?1)
2 2

? 1 ? 4k 2 ? k 2 ? 1 ? k 2 ?
3 , 3

1 3 ; ?k ?? 3 3

让点 P 绕圆转一周,即可知: k ? [ ?

3 ]. 3

13.在 ?ABC 中,角 A 、B、C 所对的边分别为 a、 b、 c ,若 ?B ? ?C 且 7a 2 ? b2 ? c 2 ? 4 3 ,则 ?ABC 面积的 最大值为 答案:
5 ; 5





1 1 提示:考虑到是等腰三角形的对称性,选面积公式为: S?ABC ? bc sin A ? b2 sin A ; 2 2
由已知 7a 2 ? b2 ? c 2 ? 4 3 ? 7a 2 ? 2b 2 ? 4 3 ; 再由余弦定理: b2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc cos A ? 2b2 ? a 2 ? 2b2 cos A ? a 2 ? 2b2 (1 ? cos A) ; 消去 a ,得: 14b 2 (1 ? cos A) ? 2b 2 ? 4 3 ? b 2 ?
2 3 2 3 ? ; 7(1 ? cos A) ? 1 8 ? 7 cos A

2

则有: S?ABC ?

1 2 3 3 sin A 3 sin A ; ? ? sin A ? ?? ? 2 8 ? 7 cos A 8 ? 7 cos A 7 cos A ? 8 7
sin A 8 cos A ? 7
A ? (0, ? ) 的最小值:

下求: f ( A) ?

8 仍然用构造斜率法,取点 P(cos A, sin A) , Q( , 0) ; 7
由 A ? (0, ? ) 知:点 P 的轨迹是 x 轴上方的半圆; f ( A) 取最小值时,刚好是相切;

8 设直线方程为 y ? k ( x ? ) ? 7kx ? 7 y ? 8k ? 0 ; 7
d ?r? ?8k (7k ) ? (?7)
2
max

2

? 1 ? 64k 2 ? 49k 2 ? 49 ? k 2 ?

49 7 7 ,则 f ( A)min ? ? ; ?k ?? 15 15 15

故 S?ABC

??

3 7 5 ? (? )? . 7 5 15

14.在梯形 ABCD 中, AB ? 2DC , BC ? 6 , P 为梯形所在平面上一点,且满足 AP ? BP ? 4DP ? 0 ,

DA ? CB ? DA ? DP , Q 为边 AD 上的一个动点,则 PQ 的最小值为
答案:
4 2 ; 3





提示:显然是坐标法;由于是填空题,可以再加上特殊值法; 将梯形特殊化为直角梯形, ?B ? 90? ;取 M 为 AB 的中点; 则四边形 BMCD 为平行四边形; 由 DA ? CB ? DA ? DP ? DA ? DM ? DA ? DP

y

D θ P A

C

? DA ? DM ? cos ?ADM ? DA ? DP ? DM ? cos? ? DP ? DP ? AD ;
故点 P 的轨迹是以 D 为圆心 DA 为半径的圆在梯形内部的弧;

M

B

x

易知: M (6sin ? , 0) 、 B(12sin ? , 0) 、 D(0, 6cos ? ) 、 C (6sin ? , 6cos ? ) ; 再设 P( x, y ) ,则 AP ? ( x, y) 、 BP ? ( x ? 12sin ? , y) 、 DP ? ( x, y ? 6cos ? ) ; 由 AP ? BP ? 4DP ? 0 ? ( x ? x ? 12sin ? ? 4 x, y ? y ? 4 y ? 24cos ? ) ? (0, 0) ; 而 PQ 的最小值就是点 P 的横坐标;即 6 x ? 12 sin ? 即 x ? 2 sin ? ; 又∵ 6 y ? 24 cos ? ? 0 即 y ? 4 cos ? ,∴有

x2 y 2 ? ? 1 ( x ? 0, y ? 0) ; 4 16

可见点 P 是椭圆与圆 x 2 ? ( y ? 6cos ? )2 ? (6cos ? ) 2 的交点(在第一象限内) ; 先求 y :代入 (2sin ? )2 ? (4cos? ? 6cos? )2 ? (6cos? )2 ? cos2 ? ? 从而 x ? 2sin ? ? 2 sin 2 ? ? 2
8 4 2 ? . 9 3

1 ; 9

3

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (本题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,角 ? 的终边经过点 P(3, 4) ; (1)求 sin(? ? ) 的值; (2)若 P 关于 x 轴的对称点为 Q ,求 OP ? OQ 的值. 4

?

4 3 解析: (1)∵角 ? 的终边经过点 P(3, 4) ,∴ sin ? ? , cos ? ? ;????????????? 4 分 5 5

? ? ? 4 2 3 2 7 ? ? ? 2 .????????? 7 分 ∴ sin(? ? ) ? sin ? cos ? cos ? sin ? ? 4 4 4 5 2 5 2 10
(2)∵ P(3, 4) 关于 x 轴的对称点为 Q ,∴ Q(3, ? 4) ;???????????????? 9 分 ∴ OP ? (3, 4), OQ ? (3, ? 4) ,∴ OP ? OQ ? 3 ? 3 ? 4 ? (?4) ? ?7 .■ ???????? 14 分

16. (本题满分 14 分) 如图在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是菱形, AC、BD 相交于点 O , EF // AB , AB ? 2EF , 平面 BCF ? 平面 ABCD , BF ? CF ,点 G 为 BC 的中点; (1)求证:直线 OG // 平面 EFCD ; (2)求证:直线 AC ? 平面 ODE . 证明: (1)∵四边形 ABCD 是菱形, AC ∴点 O 是 BD 的中点; ∵点 G 为 BC 的中点, ∴ OG // CD ,??????????? 3 分 又∵ OG ? 平面 EFCD , (此条件少写扣 1 分) (不写扣 1 分) CD ? 平面 EFCD , ∴直线 OG // 平面 EFCD .????????????????????????? 7 分 (2)∵ BF ? CF ,点 G 为 BC 的中点,∴ FG ? BC ; ∵平面 BCF ? 平面 ABCD ,平面 BCF ∵ AC ? 平面 ABCD ,∴ FG ? AC ; 平面 ABCD ? BC , FG ? 平面 BCF , FG ? BC , ∴ FG ? 平面 ABCD ;??????????????????????????? 9 分
BD ? O ,

1 1 AB , EF // AB, EF ? AB ,∴ OG // EF , OG ? EF ; 2 2 ∴四边形 EFGO 为平行四边形,∴ FG // EO ;????????????????? 11 分
∵ OG // AB, OG ? ∵ FG ? AC , FG // EO ,∴ AC ? EO ; ∵四边形 ABCD 是菱形,∴ AC ? DO ; ∵ AC ? EO , AC ? DO , (少一个垂直条件扣 3 分)
4

EO

DO ? O , EO、DO 在平面 ODE 内, (少一个条件扣 1 分)

∴ AC ? 平面 ODE .■ ?????????????????????????? 14 分

17. (本题满分 14 分) 如图,我市有一个健身公园,由一个直径为 2 km 的半圆和一个以 PQ 为斜边的等腰直角 ?PRQ 构成, 其中 O 为 PQ 的中点;现准备在公园里建设一条四边形健康跑道 ABCD ,按实际需要,四边形 ABCD 的两 个顶点 C、D 分别在线段 QR、PR 上,另外两个顶点 A 、B 在半圆上, AB // CD // PQ ,且 AB、CD 间的距离 为 1 km ;设四边形 ABCD 的周长为 c km ; (1)若 C、D 分别为 QR、PR 的中点,求 AB 的长; (2)求周长 c 的最大值. 解析: (1)连结 RO 并延长分别交 AB、CD 于 M、N ,连结 OB ; ∵ C、D 分别为 QR、PR 的中点, PQ ? 2 ,
C Q B

1 ∴ CD ? PQ ? 1; 2 ∵ ?PRQ 为等腰直角三角形, PQ 为斜边,
∴ RO ?

R

N

M O

1 1 1 PQ ? 1, NO ? RO ? ; 2 2 2

1 1 ∵ MN ? 1 ,∴ MO ? ;?? 3 分(有 MO ? 就得 3 分) 2 2
在 Rt?BMO 中, BO ? 1 ,∴ BM ? BO2 ? OM 2 ? ∴ AB ? 2 BM ? 3 .???

D A P

3 ; 2

6 分(有 AB ? 2 BM ? 3 就得 3 分)

(2)解法 1:设 ?BOM ? ? , 0 ? ? ?

;在 Rt?BMO 中, BO ? 1 ,∴ BM ? sin ? , OM ? cos? ; 2 ∵ MN ? 1 ,∴ CN ? RN ? 1? ON ? OM ? cos? , ∴ BC ? AD ? 1 ? (sin ? ? cos? )2 ,???????????????????? 8 分 ∴ c ? AB ? CD ? BC ? AD ? 2(sin ? ? cos? ? 1 ? (sin ? ? cos? )2 ) ,
? 2 2 (sin ? ? cos ? ) 2 ? ( 1 ? (sin ? ? cos ? ) 2 ) 2 ? 2 6 , (当 ? ?

?

??????

10 分

?
12



5? 时取等号) ; 12

∴当 ? ?

?
12



5? 时,周长 c 的最大值为 2 6 km .■???????????? 14 分 12

(也可以设 t ? sin ? ? cos ? ,换元变为函数求导来做)不写答扣 2 分 法二:设 ?BRO ? ? ,解题中转化为 ? ? 2? ,回归为 ? 的问题加以解决. 解法 2:以 O 为原点, PQ 为 y 轴建立平面直角坐标系. 设 B (m, n) , m、n ? 0 , m2 ? n 2 ? 1 , C (m ? 1, m) , ∴ AB ? 2n , CD ? 2m , BC ? AD ? 1 ? (m ? n)2 ; ????????????? 8 分
5

∴ c ? AB ? CD ? BC ? AD ? 2(m ? n ? 1 ? (m ? n)2 ) ,????????????? 10 分
? 2 2 ( m ? n) 2 ? ( 1 ? ( m ? n) 2 ) 2 ? 2 6 ;

(当 m ? ∴当 m ?

6? 2 6? 2 6? 2 6? 2 ,n? 或m? ,n? 时取等号) 4 4 4 4 6? 2 6? 2 6? 2 6? 2 ,n? 或m? ,n? 时,周长 c 的最大值为 2 6 km .■?14 分 4 4 4 4

18. (本题满分 16 分)

2 x2 y 2 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左顶点为 A ,过原点 2 a b O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆 C 交于 P、 Q 两点,直线 PA、QA 分别与 y 轴交于 M、N 两点;若直线
如图,在平面直角坐标系 xOy 中,离心率为

2 时, PQ ? 2 3 ; 2 (1)求椭圆 C 的标准方程;
PQ 斜率为

(2)试问以 MN 为直径的圆是否经过定点(与直线 PQ 的斜率无关)?请证明你的结论. 解析: (1)设 P( x0 , ∴ x02 ? (

2 2 时, PQ ? 2 3 , x0 ) ,∵直线 PQ 斜率为 2 2 2 2 2 ? 2 ;???? 3 分 x0 ) ? 3 ,∴ x0 2

(得到 a ? 2b 也给 3 分) ∴
c a 2 ? b2 2 2 1 ? , ? 2 ? 1 ,∵ e ? ? 2 a a 2 a b

∴ a 2 ? 4, b 2 ? 2 . (直线方程与圆的方程联立方程组,表示出弦长也给 3 分) ∴椭圆 C 的标准方程为:

x2 y 2 ? ? 1 .???????????? 6 分 4 2

(2)以 MN 为直径的圆过定点 F (? 2, 0) .
2 x0 y2 2 2 ? 2 y0 ? 4, ? 0 ? 1 ,即 x0 4 2 y0 2 y0 ( x ? 2) ,∴ M (0, ); ∵ A(?2, 0) ,∴直线 PA 方程为: y ? x0 ? 2 x0 ? 2

设 P( x0 , y0 ) ,则 Q(? x0 , ? y0 ) ,且

∴直线 QA 方程为: y ?

y0 2 y0 ( x ? 2) ,∴ N (0, ) ; ?????? 9 分 x0 ? 2 x0 ? 2

( M、N 两点坐标全对也给 3 分,对一个给 2 分) 以 MN 为直径的圆为: ( x ? 0)( x ? 0) ? ( y ?
2 y0 2 y0 )( y ? )?0, x0 ? 2 x0 ? 2

6

即 x2 ? y 2 ?

4 x0 y0 4 y0 2 y ? ? 0 , ??????????????? 12 分 x0 2 ? 4 x0 2 ? 4
2 x0 y?2? 0 , y0

2 2 ? 4 ? ?2 y0 ∵ x0 ,∴ x 2 ? y 2 ?

令 y ? 0 , x 2 ? y 2 ? 2 ? 0 ,解得: x ? ? 2 , ∴以 MN 为直径的圆过定点: F (? 2, 0) .■ ?????????? 16 分

1 法二:设直线 PQ : y ? kx ,利用 k AP ? k AQ ? ? ,要证明,不好直接使用. 2
法三:设直线 AP 的斜率为 k ,直线 AQ 的斜率为 ?

1 ,求解. 2k

19. (本题满分 16 分) 数列 {an } 、 {bn } 、 {cn } 满足: bn ? an ? 2an ?1 , cn ? an ?1 ? 2an ? 2 ? 2 , n ? N * ; (1)若数列 {an } 是等差数列,求证:数列 {bn } 是等差数列; (2)若数列 {bn } 、 {cn } 都是等差数列,求证:数列 {an } 从第二项起为等差数列; (3)若数列 {bn } 是等差数列,试判断当 b1 ? a3 ? 0 时,数列 {an } 是否成等差数列?证明你的结论. 证明: (1)设数列 {an } 的公差为 d ;∵ bn ? an ? 2an ?1 , ∴ bn ?1 ? bn ? (an ?1 ? 2an ? 2 ) ? (an ? 2an ?1 ) ? (an ?1 ? an ) ? 2(an ? 2 ? an ?1 ) ? d ? 2d ? ?d ; ∴数列 {bn } 是公差为 ? d 的等差数列. ?????????????????????? 4 分 (法二:用通项公式直接代入硬算; bn 用 n 的一次式表示,不作差要扣 1 分,要补证. ) (2)当 n ? 2 时, cn ?1 ? an ? 2an ?1 ? 2 ,

bn ? cn ?1 b ?c ? 1 ,∴ an ?1 ? n ?1 n ? 1 , 2 2 b ?c b ?c b ?b c ?c ∴ an ?1 ? an ? n ?1 n ? n n ?1 ? n ?1 n ? n n ?1 ; 2 2 2 2 b ?b c ?c ∵数列 {bn } , {cn } 都是等差数列,∴ n ?1 n ? n n ?1 为常数, 2 2 ∴数列 {an } 从第二项起为等差数列. ?????????????????????? 10 分
∵ bn ? an ? 2an ?1 ,∴ an ? (3)数列 {an } 成等差数列. (可用数学归纳法) 解法 1:设数列 {bn } 的公差为 d ? ,∵ bn ? an ? 2an ?1 ,∴ 2n bn ? 2n an ? 2n ?1 an ?1 , ∴ 2n ?1 bn ?1 ? 2n ?1 an ?1 ? 2n an ,?, 2b1 ? 2a1 ? 22 a2 ,∴ 2n bn ? 2n ?1 bn ?1 ? ??? ? 2b1 ? 2a1 ? 2n ?1 an ?1 ; 设 Tn ? 2b1 ? 22 b2 ? ??? ? 2n ?1 bn ?1 ? 2n bn ,∴ 2Tn ? 22 b1 ? ??? ? 2n bn ?1 ? 2n ?1 bn , 两式相减得: ?Tn ? 2b1 ? (22 ? ??? ? 2n ?1 ? 2n )d ? ? 2n ?1 bn , 即 Tn ? ?2b1 ? 4(2n ?1 ? 1)d ? ? 2n ?1 bn ,∴ ?2b1 ? 4(2n ?1 ? 1)d ? ? 2n ?1 bn ? 2a1 ? 2n ?1 an ?1 , ∴ 2n ?1 an ?1 ? 2a1 ? 2b1 ? 4(2n ?1 ? 1)d ? ? 2n ?1 bn ? 2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? 2n ?1 (bn ? d ?) ,

7

2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? (bn ? d ?) ;???????????????????????? 12 分 2n ?1 2a ? 2b1 ? 4d ? 2a ? 2b1 ? 4d ? 令 n ? 2 ,得 a3 ? 1 ? (b2 ? d ?) ? 1 ? b1 , 23 23 2a ? 2b1 ? 4d ? ∵ b1 ? a3 ? 0 ,∴ 1 ? b1 ? a3 ? 0 ,∴ 2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? 0 ;∴ an ?1 ? ?(bn ? d ?) ; 23 ∴ an ? 2 ? an ?1 ? ?(bn ?1 ? d ?) ? (bn ? d ?) ? ?d ? ,∴数列 {an } ( n ? 2 )是公差为 ? d ? 的等差数列, ? 14 分
∴ an ?1 ? ∵ bn ? an ? 2an ?1 ,令 n ? 1 , a1 ? 2a2 ? ?a3 ,即 a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 ; ∴数列 {an } 是公差为 ? d ? 的等差数列. ?????????????????????? 16 分 解法 2 :∵ bn ? an ? 2an ?1 , b1 ? a3 ? 0 ,令 n ? 1 , a1 ? 2a2 ? ?a3 ,即 a1 ? 2a2 ? a 3 ? 0 ,??? 12 分 ∴ bn ?1 ? an ?1 ? 2an ? 2 , bn ? 2 ? an ? 2 ? 2an ?3 , ∴2bn ?1 ? bn ? bn ? 2 ? (2an ?1 ? an ? an ? 2 ) ? 2(2an ? 2 ? an ?1 ? an ?3 ) , ∵ 数列 {bn } 是等差数列,∴2bn ?1 ? bn ? bn ? 2 ? 0 ,∴2an ?1 ? an ? an ? 2 ? 2(2an ? 2 ? an ?1 ? an ?3 ) ,?14 分 ∵a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 ,∴2an ?1 ? an ? an ? 2 ? 0 , ∴ 数列 {an } 是等差数列.■???????????????????????????? 16 分

20. (本题满分 16 分)

1 已知函数 f ( x) ? ln x ? , g ( x) ? ax ? b ; (取 e 为 2.8 ,取 ln 2 为 0.7 ,取 2 ? 1.4 ) x (1)若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递增,求实数 a 的取值范围; 1 (2)若直线 g ( x) ? ax ? b 是函数 f ( x) ? ln x ? 图象的切线,求 a ? b 的最小值; x b ? 0 g ( x ) (3)当 时,若 f ( x) 与 的图象有两个交点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,求证: x1 x2 ? 2e2 .

1 1 1 解析: (1)由 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? ? ax ? b ,得 h?( x) ? ? 2 ? a ; x x x
∵ h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 上递增,∴对 ?x ? 0 ,都有 h?( x) ? 即对 ?x ? 0 ,都有 a ?

1 1 (求出导数给 2 分) ? ?a ? 0 , x x2

1 1 1 1 ? 2 ,∵ ? 2 ? 0 ,∴a ? 0 ; x x x x

故实数 a 的取值范围是 (??, 0] .?????????????????? 4 分(无等号的扣 1 分) (2)设切点 ( x0 , ln x0 ? 即y?( 令
1 1 1 1 ) ,则切线方程为: y ? (ln x0 ? ) ? ( ? 2 )( x ? x0 ) , x0 x0 x0 x0

1 1 1 1 1 1 1 2 ? 2 ) x ? ( ? 2 ) x0 ? (ln x0 ? ) ,亦即 y ? ( ? 2 ) x ? (ln x0 ? ? 1) , x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0

1 1 2 1 ? t ? 0 ,由题意得 a ? ? 2 ? t ? t 2 , b ? ln x0 ? ? 1 ? ? ln t ? 2t ? 1 ;????? 7 分 x0 x0 x0 x0

1 (2t ? 1)(t ? 1) 令 a ? b ? ? (t ) ? ? ln t ? t 2 ? t ? 1 ,则 ? ?(t ) ? ? ? 2t ? 1 ? , t t 当 t ? (0,1) 时 ? ?(t ) ? 0 , ? (t ) 在 (0, 1) 上递减;当 t ? (1, ??) 时 ? ?(t ) ? 0 , ? (t ) 在 (1, ??) 上递增, ∴ a ? b ? ? (t ) ? ? (1) ? ?1 ,故 a ? b 的最小值为 ?1 .??????????????? 10 分

8

(3)由题意知: ln x1 ?

x ?x 1 1 ? ax1 , ln x2 ? ? ax2 ,两式相加得: ln x1 x2 ? 1 2 ? a ( x1 ? x2 ) , x1 x2 x1 x2

x ln 2 x2 x1 ? x2 x1 1 ? a ( x2 ? x1 ) ,即 两式相减得: ln ? ? ?a, x1 x1 x2 x2 ? x1 x1 x2 x ln 2 2( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x2 x1 ? x2 x1 1 ? ln ,??? 12 分 ∴ ln x1 x2 ? ?( ? )( x1 ? x2 ) ,即 ln x1 x2 ? x1 x2 x2 ? x1 x1 x1 x2 x2 ? x1 x1 x2
不妨令 0 ? x1 ? x2 ,记 t ? ∴ F (t ) ? ln t ?
x2 (t ? 1) 2 2(t ? 1) ? 1 ,令 F (t ) ? ln t ? ? 0, (t ? 1) ,则 F ?(t ) ? x1 t (t ? 1) t ?1

2(t ? 1) 2(t ? 1) 在 (1, ??) 上递增,则 F (t ) ? ln t ? ? F (1) ? 0 , t ?1 t ?1 x 2( x2 ? x1 ) 2( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x2 2(t ?1) ? ln ?2, ∴ ln t ? ,则 ln 2 ? ,∴ ln x1 x2 ? x1 x1 ? x2 x1 x2 x2 ? x1 x1 t ?1
又 ln x1 x2 ?

4 x1 x2 2( x1 ? x2 ) 4 4 , ? ln x1 x2 ? ? ln x1 x2 ? ? 2ln x1 x2 ? x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2
4 x1 x2 ? 2 ,即 ln x1 x2 ? 2 x1 x2 ?1,

∴ 2 ln x1 x2 ? 令 G( x) ? ln x ? 又 ln 2e ?
2 2e

2 1 2 ,则 x ? 0 时, G?( x) ? ? 2 ? 0 ,∴G ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, x x x
? 1 2 2 2 ln 2 ? 1 ? ? 0.85 ? 1 ,∴ G ( x1 x2 ) ? ln x1 x2 ? ? 1 ? ln 2e ? , 2 e x1 x2 2e

∴ x1 x2 ? 2e ,即 x1 x2 ? 2e2 .■????????????????????? 16 分

附加题与参考答案
21. (本题满分 20 分) B. (本小题满分 10 分,矩阵与变换)
?1 0 ? ?1 已知矩阵 A ? ? ? , B ? ?0 0 2 ? ? ? l 的方程. ?1 2 ? ?1 ?1 解析:∵ B ? ? ? ,∴ B ? ? 0 0 1 ? ? ? 2? ,若矩阵 AB ?1 对应的变换把直线 l 变为直线 l ' : x ? y ? 2 ? 0 ,求直线 1? ?

?2 ? ?1 0 ? ?1 ?2 ? ?1 ?2 ? ,∴ AB ?1 ? ? ?? ??? ? ;?????? 5 分 1? ? ?0 2 ? ?0 1 ? ?0 2 ? 设直线 l 上任意一点 ( x, y ) 在矩阵 AB ?1 对应的变换下为点 ( x?, y ?) ; ?x ' ? x ? 2 y ?1 ?2? ? x ? ? x? ? ; ?0 2 ? ? y ? ? ? y ?? ,∴ ? y ' ? 2 y ? ? ?? ? ? ? 代入 l ' , l ? : ( x ? 2 y) ? (2 y) ? 2 ? 0 ,化简后得: l : x ? 2 .■??????????? 10 分

C. (本小题满分 10 分,极坐标系与参数方程)
? x ? 2 cos ? 已知在平面直角坐标系 xOy 中,圆 O 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ;以原点 O 为极点,以 x ? y ? 2 sin ? 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? (sin ? ? cos ? ) ? 1 ,直线 l 与圆 O 相交于 A 、B

两点,求弦 AB 的长. 解析:圆 O : x2 ? y 2 ? 4 ,直线 l : x ? y ? 1 ? 0 , ?????????????????? 5 分
9

圆心 O 到直线 l 的距离: d ?

1 2

?

2 2 ,弦长 AB ? 2 22 ? ( ) 2 ? 14 .■???? 10 分 2 2

22. (本题满分 10 分) 如图,在长方体 ABCD ? A' B ' C ' D' 中, DA ? DC ? 2 , DD ' ? 1 , A' C ' 与 B ' D ' 相交于 O' ,点 P 在线段 上(点 ; BD P 与点 B 不重合) 55 (1)若异面直线 O' P 与 BC ' 所成的余弦值为 ,求 DP 的长度; 55

3 2 ,求平面 PA' C ' 与平面 DC ' B 所成角的正弦值. 2 解析: (1)以 DA, DC , DD? 为一组正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz , 由题意,可知 D(0, 0, 0) 、 A?(2, 0, 1) ; B (2, 2, 0) , C ?(0, 2, 1) , O?(1, 1, 1) ;
(2)若 DP ? 设 P(t , t , 0) ,∴ O?P ? (t ? 1, t ? 1, ?1) , BC ? ? (?2, 0, 1) ; 设异面直线 O ?P 与 BC ? 所成角为 ? , 则 cos ? ?
O ?P ? BC ? O ?P ? BC ? ? ?2(t ? 1) ? 1 2(t ? 1) ? 1 ? 5
2

?

55 , 55

化简得: 21t 2 ? 20t ? 4 ? 0 ,解得: t ? ∴ DP ? (2)∵ DP ?

2 2 或t ? ; 3 7

2 2 2 或 DP ? 2 .?????? 5 分 3 7

3 2 , 2 3 3 1 3 3 1 ∴ P( , , 0) , DC ? ? (0, 2, 1) , DB ? (2, 2, 0) , PA? ? ( , ? , 1) , PC ? ? (? , , 1) ; 2 2 2 2 2 2 设平面 DC ?B 的一个法向量为: n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ;
? ? 2 y1 ? z1 ? 0 ? z1 ? ?2 y1 ?n ? DC ? ? 0 ∴? 1 ,∴ ? 即? ,取 y1 ? ?1 , n1 ? (1, ? 1, 2) ; 2 x ? 2 y ? 0 x1 ? ? y1 n ? DB ? 0 ? 1 1 ? ? ? 1 设平面 PA?C ? 的一个法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,

3 ? 1 x2 ? y2 ? z2 ? 0 ? ? ? n ? PA ? 0 ? z 2 ? y2 ? ? 2 ∴? 2 ,∴ ? 2 即? ,取 y2 ? 1 , n2 ? (1, 1, 1) ; (求对一个法向量得 2 分) ? ?? 3 x ? 1 y ? z ? 0 ? x2 ? y2 ?n2 ? PC ? ? 0 2 2 2 ? ? 2 2 n1 ? n2 2 2 ? ? 设平面 PA?C ? 与平面 DC ?B 所成角为 ? ,∴ cos ? ? ; 3 6? 3 n1 ? n2
∴ sin ? ?
7 .■??????????????????????????10 分 3

23. (本题满分 10 分)

1 记 Cir 为从 i 个不同的元素中取出 r 个元素的所有组合的个数;随机变量 ? 表示满足 Cir ? i 2 的二元数组 2 (r , i ) 中的 r ,其中 i ? {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ,每一个 Cir ( r ? 0, 1, 2, ??? , i )都等可能出现,求 E? . 1 解析:∵ Cir ? i 2 , 2 1 1 i(i ? 1) 1 2 52 3 当 i ? 2 时, Ci0 ? Cii ? 1 ? i 2 , Ci1 ? Cii ?1 ? i ? i 2 , Ci2 ? Cii ? 2 ? ? i , C5 ? , 2 2 2 2 2

10

1 ∴当 2 ? i ? 5, i ? N * 时, Cir ? i 2 的解为 r ? 0, 1, 2, ??? , i ;????????????? 3 分 2 i ?1 当 6 ? i ? 10, i ? N * , Cir ?1 ? Cir ? r ? , 2 i(i ?1)(i ? 2) 1 2 由 Ci3 ? ? i ? i ? 3, 4, 5 可知: 6 2 1 当 r ? 0, 1, 2, i ? 2, i ? 1, i 时, Cir ? i 2 成立, 2 1 2 1 r 3 当 r ? 3, ???, i ? 3 时, Ci ? Ci ? i (等号不同时成立) ,即 Cir ? i 2 .……………6 分 2 2

?
P (? )





2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 1 1 48 16 24 3 1 1 1 77 ∴ E? ? (0 ? 1 ? 2) ? ? (3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8) ? ? 9 ? ? 10 ? ? .■????? 10 分 16 16 24 48 24

3 16

3 16

3 16

1 16

1 16

1 16

1 16

1 16

评:这道题实在是故弄玄虚,很简单的问题,弄得如此复杂!且看下页另解吧!

解析:下列“无尖金字塔”表示意思是:上面的是组合数形式,下面的是其值形式;红数字是不适合的.
0 C2 1 C2 2 C2 -----------------------------------------------------------------3 C3 ---------------------------------------------------------------

1 2
1 2

? 22 ? 2
? 32 ? 4.5

C30
0 C4 1 C4
1 C5 1 C6

1 C3

C32
2 C4 3 C4
3 C5 3 C6

4 C4 -----------------------------------------------------------

1 2 1 2
1 2

? 42 ? 8 ? 52 ? 12.5

C50
0 C6

C52 C62
3 C7

C54 C64
5 C7

5 C5 ------------------------------------------------------5 C6 6 C6 --------------------------------------------------

? 62 ? 18

0 C7

1 C7
1 C8

C72
C82
3 C9

C74
C84
5 C9

6 C7

7 C7 ----------------------------------------------

1 2 1 2
1 2

? 72 ? 24.5 ? 82 ? 32
? 92 ? 40.5

C80 C90
0 C10
1 C9

C83
4 C10

C85
6 C10

C86 C96
7 C10

C87 C97
8 C9

8 C8 -----------------------------------------9 C9 --------------------------------------

C92
2 C10

C94

1 C10

3 C10

5 C10

8 C10

9 C10

10 C10 --------------------------------

1 2

?102 ? 50

1 1 1 1 1 1 7 6 21 5 15 35 4 10 3 6

2 3 4 10 20 35

1-----------------------------------------------------------------1---------------------------------------------------------------1-------------------------------------------------------------5 15 21 1----------------------------------------------------------6 1-------------------------------------------------------7 1----------------------------------------------------1 2 1 2
1 2

1 2
1 2

? 22 ? 2
? 32 ? 4.5

? 42 ? 8 ? 52 ? 12.5
? 62 ? 18

1 2

? 72 ? 24.5
11

1 1 1 10 9

8 36 45

28 120

56 84 210

70 126

56 126

28 84 210

8 36 120

1-------------------------------------------------9 45 1---------------------------------------------10 1--------------------------------------

1 2 1 2 1 2

? 82 ? 32 ? 92 ? 40.5 ?102 ? 50

252

以上两塔相结合起来看,适合的数字总数是 概率分布表,显然可列;以下省略.

(3 ? 11) ? 9 (1 ? 5) ? 5 ? ? 48 ; 2 2

12


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