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2014届高考数学一轮复习 第8章《平面解析几何》(第1课时)知识过关检测 理 新人教A版

时间:2014-01-07


2014 届高考数学(理)一轮复习知识过关检测:第 8 章《平面解析 几何》 (第 1 课时) (新人教 A 版)

一、选择题 1.(2013?聊城质检)关于直线的倾斜角与 斜率,下列说法正确的是( ) A.所有的直线都有倾斜角和斜率 B.所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率 C.直线的倾斜角和斜率有时都不存在 D.所有的直线都有斜率,但不一定有倾斜角 解析:选 B.所有的直线都一定 有倾斜角,而倾斜角为 90°的直线不存在斜率. 2.直线 5x-2y-10=0 在 x 轴上的截距为 a,在 y 轴上的截距为 b,则( ) A.a=2,b=5 B.a=2,b=-5 C.a=-2,b=5 D.a=-2,b=-5 解析:选 B.直线 5x-2y=10 可化为 + =1, 2 -5 ∴a=2,b=-5. 2 3.(2013?东营质检)直线经过 A(2,1),B(1,m )(m∈R)两点,那么直线 l 的倾斜角 α 的取 值范围是( ) π π A.0≤α <π B.0≤α ≤ 或 <α <π 4 2 π π π π C.0≤α ≤ D. ≤α < 或 <α <π 4 4 2 2 2 m -1 2 解析: B.直线 l 的斜率 k= 选 =1-m ≤1, 又直线 l 的倾斜角为 α , 则有 tanα ≤1, 1-2 即 tanα <0 或 0≤tanα ≤1, π π 所以 <α <π 或 0≤α ≤ ,故选 B. 2 4 4.已知 ab<0,bc<0,则直线 ax+by=c 通过( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 解析:选 C.原直线可化为 y=- x+ ,则 k=- >0, <0.故直线通过第一、三、四 象限. 2 5.直线 x+a y-a=0(a>0,a 是常数),当此直线在 x,y 轴上的截距和最小时,a 的 值是( ) A.1 B.2 C. 2 D.0 x y 1 解析:选 A.方程可化为 + =1,因为 a>0,所以截距之和 t=a+ ≥2,当且仅当 a a 1 a

x

y

a b

c b

a b

c b

a
1 = ,即 a=1 时取等号.

a

二、填空题 6.已知直线的倾斜角是 60°,在 y 轴上的截距是 5,则该直线的方程为_______ _. 解析:因为直线的 倾斜角是 60°,所以直线的斜率为 k=tan60°= 3,又因为直线在
1

y 轴上的截距是 5,由斜截式,得直线的方程为 y= 3x+5. 答案:y= 3x+5 7.若经过点 P(1-a,1+a)和 Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数 a 的取值范围是
____ ____. 解析:∵直线的斜率 k= ∴

a-1 ,且直线的倾斜角 为钝角, a+2

a-1 <0,解得-2<a<1. a+2

答案:(-2,1) 8.(2013?日照质检)若点 A(a,0),B(0,b),C(1,-1)(a>0,b<0)三点共线,则 a -b 的最小值等于________. b-0 -1-0 解析:因为 A(a,0),B(0,b),C(1,-1)三点共线,所以 kAB=kAC,即 = , 0-a 1-a 1 1 b a ?1 1? 整理得 - =1,于是 a-b=(a-b)?? - ?=2- -

a b

?a b?

a b

?? b? ? a?? =2+??- ?+?- ??≥ 2+2=4, ?? a? ? b?? 即 a-b 的最小值等于 4.
答案:4 三、解答题 9.求下列直线 l 的方程: (1)过点 A(2,1),它的倾斜角是直线 l1:3x+4y+5=0 的倾斜角的一半; (2)过点 A(2,1)和直线 x-2y-3=0 与 2x-3y-2=0 的交点. β 3 3 解:(1)设直线 l 与 l1 的倾斜角分别为 α 、β ,则 α = , 又 tanβ =- ,则- = 2 4 4 2tanα 1 ,解得 tanα =3,或 tanα =- (舍去). 2 1-tan α 3 由点斜式得 y-1=3(x-2),即 3x-y-5=0. ? ? ?x-2y-3=0, ?x=-5, (2)解方程组? 得? 即两条直线的交点坐标为(-5, -4). ? ? ?2x-3y-2=0, ?y=-4, y-1 x-2 由两点式得 = ,即 5x-7y-3=0. -4-1 -5-2 10.已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,分别求满足下列条件的直线 l 的 1 方程:(1)过定点 A(-3,4);(2)斜率为 . 6 解:(1)设直线 l 的方程是 y=k(x+3)+4, 4 它在 x 轴、y 轴上的截距分别是- -3,3k+4,

k

4 由已知,得|(3k+4)(- -3)|=6,

k

2 8 解得 k1=- 或 k2=- . 3 3 所以直线 l 的方程为 2x+3y-6=0 或 8x+3y+12=0. (2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b, 1 则直线 l 的方程是 y= x+b,它在 x 轴上的截距是-6b, 6 由已知,得|-6b?b|=6,∴b=±1. ∴直线 l 的方程为 x-6y+6=0 或 x-6y-6=0.

2

一、选择题 1.已知点 A(1,3),B(-2,-1).若直线 l:y=k(x-2)+1 与线段 AB 相交,则 k 的 取值范围是( ) 1 A.k≥ B.k≤-2 2 1 1 C.k≥ 或 k≤-2 D.-2≤k≤ 2 2 解析:选 D.由已知直线 l 恒过定点 P(2,1),若 l 与线段 AB 相交,则 kPA≤k≤kPB,∵kPA 1 1 =-2,kPB= ,∴-2≤k≤ . 2 2 2.(2013?东营质检)过点(1,3)作直线 l,若 l 经过点(a,0)和(0,b),且 a、b∈N+, 则可作出这样的直线 l 的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.多于 3 x y 1 3 解析:选 B.由题意可知直线 l: + =1,∴ + =1,

a b

a b

3a 3? a-1? 3 3 = + =3+ (a≥2,且 a∈N+). a-1 a-1 a-1 a-1 ∴a-1 为 3 的正约数,当 a-1=1 时,b=6,当 a-1=3 时,b=4,所以这样的直线 ∴b= 有 2 条,故选 B. 二、填空题 3. 已知 A(3,0), (0,4), B 动点 P(x, )在线段 AB 上移动, xy 的最大值等于________. y 则 解析:AB 所在直线方程为 + =1, 3 4 x y 1 x y 2 1 ∴ ? ≤ ( + )= , 3 4 4 3 4 4 ∴xy≤3,当且仅当 = 时取等号. 3 4 答案:3 4.(2011?高考安徽卷)在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点(x,y)为 整点.下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y=kx+b 不经过任何整点; ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点; ④直线 y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是:k 与 b 都是有理数; ⑤存在恰经过一个整点的直线. 1 解析:①正确.设 y= 2x+ ,当 x 是整数时,y 是无理数,(x,y)必不是整点. 2 ②不正确.设 k= 2,b=- 2,则 y= 2(x-1),过整点(1,0). ③正确.直线 l 经过无穷多个整点,则直线 l 必然经过两个不同的整点,显然成立;反 之亦成立,设直线 l 经过两个整点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),则 l 的方程为(x2-x1)(y-y1)= (y2-y1)(x-x1 ),令 x=x1+k(x2-x1)(k∈Z),则 x∈Z,且 y=k(y2-y1)+y1 也是整数,故 直线 l 经过无穷多个整点. ④不正确.由③知直线 l 经过无穷多个整点的充要条件是直线 l 经过两个不同的整点, 设为 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),则直线 l 的方程为(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1), 又∵直线方程为 y=kx+b 的形 式,∴x2≠x1, y2-y1 y1x2-y2x1 1 1 ∵ y= x+ ,∴k,b∈Q;反之不成立,若 k,b∈Q,设 y= x+ ,则 x x2-x1 x2-x1 3 4
3

x y

x y

3 =3y- , 4 3? ? 若 y∈Z, ?3y- ?∈/Z, x∈/Z, 则 即 即由 k, ∈Q 得不到 y=kx+b 经过无穷多个整点. b 4? ? ⑤正确.直线 y= 2(x-1)只经过整点(1,0). 答案:①③⑤ 三、解答题 5.直线 l 过点 P(-2,1)且斜率为 k(k>1),将直线 l 绕 P 点按逆时针方向旋转 45°得 到直线 m,若直线 l 和 m 分别和 y 轴交于 Q、R 两点. (1)用 k 表示直线 m 的斜率; (2)当 k 为何值时,△PQR 的面积最小,并求面积最小时直线 l 的方程. 解:(1)设直线 l 的倾斜角为 α ,则直线 m 的倾斜角为 α +45°, 1+tanα 1+k 故 km=tan(45°+α )= = . 1-tanα 1-k 1+k (2)由题意及(1)可知直线 l:y-1=k(x+2),直线 m:y-1= (x+2),故 Q(0,2k 1-k ? k+3?. +1),R?0, ? ? 1-k? k+3 4 ∴|RQ|=|2k+1- |=2k+ +2 1-k k-1 4 =2(k-1)+ +4. k-1 4 1 ? +4? ∴S△PQR= ?2??2? k-1? + k-1 ? 2 ? ? 4 =2(k-1)+ +4. k-1 ∵k>1,∴k-1>0, ∴S△PQR≥4 2+4. 4 当且仅当 2(k-1)= ,即 k= 2+1 时等号成立, k-1 此时直线 l 方程为( 2+1)x-y+2 2+3=0.

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