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集合与常用逻辑用语 函数 导数及其应用阶段检测一

时间:2013-08-05


集合与常用逻辑用语

函数

导数及其应用

(时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.设全集 U={1,2,3,4,5,7},集合 M={1,3,5,7},集合 N={3,5},则( ). A.U=M∪NB.U=M∪(?UN)C.U=(?UM)∪(?UN)D.U=(?UM)∪N 2.若函数 y=f(x)的定义域为 M={x|-2≤x≤2},值域为 N={y|0≤y≤2},则函数 y=f(x)的图象可能是 ( ).

3.设命题 p:若 a>b,则;q:若<0,则 ab<0.给出以下 3 个命题:①p∧q;②p∨q;③( p)∧( q).其中 真命题的个数为( ). A.0 B.1C.2 D.3 4.函数 y=+log2(x+2)的定义域为( ). A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.(-2,-1]D.(-2,-1]∪[3,+∞) 5.若函数 f(x)=ax+(a∈R),则下列结论正确的是( ). A.?a∈R,函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数 B.?a∈R,函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数 C.?a∈R,函数 f(x)为奇函数 D.?a∈R,函数 f(x)为偶函数 6.

已知函数 f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则 a,b 满足的关系是( ). -1 -1 -1 -1 -1 A.0<a <b<1B.0<b<a <1C.0<b <a<1D.0<a <b <1 7.设 p:f(x)=x3+2x2+mx+1 在(-∞,+∞)内单调递增,q:m≥,则 p 是 q 的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,2) 时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2012)+f(2013)的值为( ). A.-2 B.-1 C.2 D.1 9.已知直线 y=kx 与曲线 y=ln x 有公共点,则 k 的最大值为( ). A.1 B. 2 C.-1 D.-2 10.已知函数 f(x)=,命题 p:?x∈[0,+∞),f(x)≤1,则( ). A.p 是假命题, 0∈[0,+∞),f(x0)>1B.p 是假命题, p:?x p:?x∈[0,+∞),f(x)≥1 C.p 是真命题, 0∈[0,+∞),f(x0)>1D.p 是真命题, p:?x p:?x∈[0,+∞),f(x)≥1 2 11.已知函数 f(x)=aln x+x (a>0),若对任意两个不等的正实数 x1,x2 都有>2 恒成立,则 a 的取值 范围是( ). A.(0,1] B.(1,+∞)C.(0,1) D.[1,+∞) 12.已知函数 f(x)=-x3+ax2-4 在 x=2 处取得极值,若 m,n∈[-1,1],则 f(m)+f'(n)的最小值是( ).

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A.-13 B.-15C.10 D.15 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在题中横线上) 13.(2x-ex)dx= . 14.若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式 f(x)= . 15.“若 x=5 或 x=6,则(x-5)(x-6)=0”的逆否命题是 . 16.已知函数 f(x)=则不等式 x+1>的解集是 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=pn+q(p≠0,且 p≠1),求证:数列{an}是等比数列的充要条 件为 q=-1.

18.(12 分)已知集合 A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2)若 A??RB,求实数 m 的取值范围.

19.(12 分)某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆,出厂价为 1.2 万元/ 辆,年销售量为 1000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车 投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为 0.75x,同时预计年销售量增加的 比例为 0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (2)为使本年度利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例 x 应在什么范围内?

20.(12 分)已知函数 f(x)对任意实数 x 均有 f(x)=kf(x+2),其中常数 k 为负数,且 f(x)在区间[0,2] 上有表达式 f(x)=x(x-2). (1)求 f(-1),f(2.5)的值; (2)写出 f(x)在区间[-3,3]上的表达式,并讨论函数 f(x)在区间[-3,3]上的单调性; (3)求出 f(x)在[-3,3]上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值.

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21.(12 分)设 a∈R,函数 f(x)=ln x-ax. (1)讨论函数 f(x)的单调区间和极值; (2)已知 x1=(e 为自然对数的底数)和 x2 是函数 f(x)的两个不同的零点,求 a 的值并证明:x2>.

22.(12 分)已知函数 f(x)=x++ln x(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间与极值点; (2)若对?a∈,函数 f(x)满足对?x∈[1,e]都有 f(x)<m 成立,求实数 m 的取值范围(其中 e 是自然 对数的底数).

## 1.B 2.B 解析:(筛选法)根据函数的定义,观察得出答案为选项 B. 3.B 解析:p:若 a>b,则,是假命题;q:若<0,则 ab<0,是真命题.所以 是真命题, 是假命题.所 p q 以①p∧q 是假命题,②p∨q 是真命题,③( p)∧( q)是假命题.故选 B. 4.D 解析:易知,x 应满足 ∴ ∴x∈(-2,-1]∪[3,+∞). 5.C 解析:当 a=1 时,函数 f(x)在(0,1)上为减函数,A 错;当 a=1 时,函数 f(x)在(1,+∞)上为增函 数,B 错;D 选项中的 a 不存在,故选 C. 6.A 解析:由于函数 φ(x)=2x+b-1 单调递增,所以 a>1.又-1<f(0)<0,即-1<logab<0, 所以 a-1<b<1,故 0<a-1<b<1. 7.C 解析:∵f(x)=x3+2x2+mx+1, ∴f'(x)=3x2+4x+m.由 f(x)为增函数得 f'(x)≥0 在 R 上恒成立,则 Δ≤0,即 16-12m≤0,解得 m≥.即 p?q.反之,q?p.故 p 是 q 的充要条件.

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8.D 解析:易得 f(0)=0,f(1)=1, 则 f(-2 012)+f(2 013)=f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1. 9.B 解析:从函数图象知,在直线 y=kx 与曲线 y=ln x 相切时,k 取最大值,y'=(ln x)'==k,x=(k≠0),切线方程为 y-ln =k.又切线过原点(0,0),代入方程解得 ln k=-1,k=. 10.C 解析:∵f(x)=是 R 上的减函数,∴当 x∈[0,+∞)时,f(x)≤f(0)=1. ∴p 为真命题, 为:?x0∈[0,+∞),f(x0)>1,故选 C. p 11.D 解析:由题意得 f'(x)=+x≥2,当且仅当=x,即 x=时取等号, 所以>f'(x) =2≥2, ∴a≥1. 12.A 解析:求导得 f'(x)=-3x2+2ax.由 f(x)在 x=2 处取得极值知 f'(2)=0,即-3× 4+2a× 2=0,∴a=3. 3 2 2 由此可得 f(x)=-x +3x -4,f'(x)=-3x +6x.由此可得 f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增, ∴对 m∈[-1,1]时,f(m) =f(0)=-4. 又 f'(x)=-3x2+6x 的图象开口向下,且对称轴为 x=1,∴对 n∈[-1,1]时,f'(n) =f'(-1)=-9.于 是,f(m)+f'(n)的最小值为-13. 13.5-e2 解析:(2x-ex)dx=x2-ex=(22-e2)-(02-e0)=4-e2+1=5-e2. 14.-2x2+4 解析:∵函数 f(x)是偶函数, ∴f(-x)=f(x)且 f(x)=bx2+(2a+ab)x+2a2, ∴b(-x)2+(2a+ab)(-x)+2a2=bx2+(2a+ab)x+2a2. ∴-(2a+ab)=2a+ab,即 2a+ab=0. ∴a=0 或 b=-2.当 a=0 时,f(x)=bx2. ∵f(x)的值域为(-∞,4], 而 y=bx2 的值域不可能为(-∞,4], ∴a≠0. 当 b=-2 时,f(x)=-2x2+2a2,其值域为(-∞,2a2]. ∴2a2=4,即 a2=2.∴f(x)=-2x2+4. 15.若(x-5)(x-6)≠0,则 x≠5 且 x≠6 16.(0,1) 解析:原不等式可转化为三个不等式组 后两个不等式组的解集为空集,解第一个不等式组得 0<x<1.所以,原不等式的解集为(0,1). 17.证明:充分性:当 q=-1 时,a1=S1=p+q=p-1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).当 n=1 时也成立, ∴an=pn-1(p-1)(n∈N*). 于是=p(n∈N*),即数列{an}为等比数列. 必要性:当 n=1 时,a1=S1=p+q.当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1). ∵p≠0,且 p≠1, ∴=p. ∵{an}为等比数列, ∴=p,=p, 即 p-1=p+q.∴q=-1. 综上所述,数列{an}是等比数列的充要条件为 q=-1. 18.解:由已知得:A={x|-1≤x≤3}, B={x|m-2≤x≤m+2}. (1)∵A∩B=[0,3],∴ ∴∴m=2,即实数 m 的值为 2. (2)?RB={x|x<m-2,或 x>m+2}. ∵A??RB,∴m-2>3 或 m+2<-1. ∴m>5,或 m<-3. ∴实数 m 的取值范围是(-∞,-3)∪(5,+∞).
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19.解:(1)依题意,本年度每辆摩托车的成本为(1+x)(万元),出厂价为 1.2× (1+0.75x)(万元),销 售量为 1 000× (1+0.6x)(辆). 故利润 y=[1.2× (1+0.75x)-(1+x)]× 000× 1 (1+0.6x),整理得 y=-60x2+20x+200(0<x<1). (2)要保证本年度利润比上一年有所增加,则 y-(1.2-1)× 000>0, 1 2 即-60x +20x+200-200>0, 即 3x2-x<0.解得 0<x<. 适合 0<x<1. 故为保证本年度利润比上年有所增加,投入成本增加的比例 x 的取值范围是. 20.解:(1)f(-1)=kf(1)=-k, ∵f(0.5)=kf(2.5), ∴f(2.5)=f(0.5)=(0.5-2)× 0.5=-. (2)∵对任意实数 x,f(x)=kf(x+2), ∴f(x-2)=kf(x).∴f(x)=f(x-2). 当-3≤x<0 时,0≤x+2<2, f(x)=kf(x+2)=kx(x+2); 当-3≤x<-2 时,-1≤x+2<0, f(x)=kf(x+2)=k2(x-2)(x+4); 当 2≤x≤3 时,0≤x-2≤1, f(x)=f(x-2)=(x-2)(x-4). 故 f(x)= ∵k<0,∴f(x)在[-3,-1]与[1,3]上为增函数,在[-1,1]上为减函数. (3)由函数 f(x)在[-3,3]上的单调性可知,f(x)在 x=-3 或 x=1 处取得最小值 f(-3)=-k2 或 f(1)=-1, 而在 x=-1 或 x=3 处取得最大值 f(-1)=-k 或 f(3)=-. 故有①k<-1 时,f(x)在 x=-3 处取得最小值 f(-3)=-k2,在 x=-1 处取得最大值 f(-1)=-k. ②k=-1 时,f(x)在 x=-3 与 x=1 处取得最小值 f(-3)=f(1)=-1,在 x=-1 与 x=3 处取得最大值 f(1)=f(3)=1. ③-1<k<0 时,f(x)在 x=1 处取得最小值 f(1)=-1,在 x=3 处取得最大值 f(3)=-. 21.解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞).求导数,得 f'(x)=-a=. ①若 a≤0,则 f'(x)>0,f(x)是(0,+∞)上的增函数,无极值; ②若 a>0,令 f'(x)=0,得 x=. 当 x∈时,f'(x)>0,f(x)是增函数; 当 x∈时,f'(x)<0,f(x)是减函数. 所以当 x=时,f(x)有极大值,极大值为 f=ln-1=-ln a-1,无极小值. 综上所述,当 a≤0 时,f(x)的递增区间为(0,+∞),无极值;当 a>0 时,f(x)的递增区间为,递减区间 为,极大值为-ln a-1,无极小值. (2)因为 x1=是函数 f(x)的零点, 所以 f()=0,即-a=0,解得 a=.所以 f(x)=ln x-x. 因为 f()=>0,f()=<0,所以 f()f()<0. 由(1)知,函数 f(x)在(2,+∞)上单调递减, 所以函数 f(x)在区间()上有唯一零点, 因此 x2>. 22.解:(1)f'(x)=1=(x>0). ①a≤0 时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时函数 f(x)无极值点; ②a>0 时,令 f'(x)=0?x1=(x2=<0 舍去), 当 0<x<x1 时,f'(x)<0, ∴f(x)在(0,x1)上单调递减; 当 x>x1 时,f'(x)>0, ∴f(x)在(x1,+∞)上单调递增;

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即 f(x)在上单调递减, 在上单调递增, 此时函数 f(x)仅有极小值点 x1=. (2)?a∈,函数 f(x)满足对?x∈[1,e]都有 f(x)<m 成立,即 f(x)在[1,e]上的最大值小于 m. 由(1)知,?a∈,f(x)在上单调递减,在上单调递增, 所以对?a∈恒成立? 又因为 1+2e2-(3e+1)=(2e-3)e>0?1+2e2>3e+1, 所以实数 m 的取值范围是(1+2e2,+∞).

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