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2016高考数学理科二轮复习习题:专题9第四讲 化归与转化思想

时间:2016-01-12


专题九

思想方法专题

第四讲

化归与转化思想

解决数学问题时, 常遇到一些直接求解较为困难的问题, 通过观 察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变 换, 将原问题转化为一个新问题(相对来说,是自己较熟悉的问题), 通过新问题的求解, 达到解决原问题的目的, 这一思想方法我们称之 为“化归与转化的思想方法” .

化归与转化思想的实质是揭示联系, 实现转化. 除极简单的数学 问题外, 每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的. 从 这个意义上讲, 解决数学问题就是从未知向已知转化的过程. 化归与 转化思想是解决数学问题的根本思想, 解题的过程实际上就是一步步 转化的过程.数学中的转化比比皆是,如未知向已知转化,复杂问题 向简单问题转化,新知识向旧知识的转化,命题之间的转化,数与形 的转化, 空间向平面的转化, 高维向低维的转化, 多元向一元的转化, 高次向低次的转化,超越式向代数式的转化,函数与方程的转化等, 都是转化思想的体现.
1

转化有等价转化和非等价转化之分.等价转化前后是充要条件, 所以尽可能使转化具有等价性; 在不得已的情况下, 进行不等价转化, 应附加限制条件,以保持等价性,或对所得结论进行必要的验证.

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). 1 (1)函数 y=x+ 的最小值是 2.(×) x
?a+b?2 ? 成立的条件是 ab>0.(×) (2)ab≤? ? 2 ?

(3)函数 f(x)=cos x+

? π? 4 ,x∈?0, ?的最小值等于 4.(×) cos x 2? ?

(4)目标函数 z=ax+by(b≠0)中,z 的几何意义是直线 ax+by- z=0 在 y 轴上的截距.(×)

1.若动直线 x=a 与函数 f(x)=sin x 和 g(x)=cos x 的图象分别

2

交于 M,N 两点,则|MN|的最大值为(B) A.1 B. 2 C. 3
? ? ? ?

D.2 π?? ??,最大值为 2. 4 ??

解析: |MN|=|sin x-cos x|= 2?sin?x-

2.下图所示的韦恩图中,A,B 是非空集合,定义集合 A#B 为 阴影部分表示的集合.若 x,y∈R,A={x|y= 2x-x2},B={y|y= 3x(x>0)},则 A#B 为(D)

A.{x|0<x<2} C.{x|0≤x≤1 或 x≥2}

B.{x|1<x≤2} D.{x|0≤x≤1 或 x>2}

解析: A={x|y= 2x-x2}= {x|2x- x2≥0}= {x|0≤x≤2}, B= {y|y = 3x(x> 0)}= {y|y> 1},则 A∪B= {x|x ≥ 0}, A∩ B= {x|1< x≤ 2}.根据新运算,得 A#B=?A∪B(A∩B)={x|0≤x≤1 或 x>2}.

? ?a,a≤b, 5 3.定义一种运算 a?b=? 令 f(x)=(cos2x+sin x)? ,且 4 ?b,a>b, ?

x∈?0,
?

?

? π? π? ?,则函数 f?x- ?的最大值是(A) 2? 2? ?

5 5 A. B.1 C.-1 D.- 4 4
? 1? 5 解析: 设 y=cos2x+sin x=-sin2x+sin x+1=-?sin x-2?2+ , 4 ? ?

3

? π? 5 ∵x∈?0,2?,∴0≤sin x≤1,∴1≤y≤ , 4 ? ?

5 即 1≤cos2x+sin x≤ . 4 根据新定义的运算可知 f(x)=cos2x+sin x,x∈?0,
? ?

π? ?, 2?

∴ f ?x-
? ?π ? ? ,π?. ?2 ?

?

? ? π? π? 1? 2 5 ? 1? 2 5 ? = - ?sin?x- ?- ? + = - ?cos x+ ? + , x ∈ 2? 4 4 ? 2? 2 ? 2? ? ?

∴函数 f?x-
?

?

π? 5 ?的最大值是 . 4 2?

1 4.若 f(x)=- x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则 b 的 2 取值范围是(C) A.[-1,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,-1) 1 解析: ∵f(x)=- x2+bln(x+2)在(-1, +∞)上是减函数, ∴f′ 2 (x)=-x+ b <0 在(-1,+∞)上恒成立,即 b<x(x+2)在(-1, x+2

+∞)上恒成立.设 g(x)=x(x+2)=(x+1)2-1 在(-1,+∞)上单调 递增,∴g(x)>-1, ∴当 b≤-1 时,b<x(x+2)在(-1,+∞)上恒成立,即 f(x)= 1 - x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数. 2
4

一、选择题 1.若集合 M 是函数 y=lg x 的定义域,N 是函数 y= 1-x的定 义域,则 M∩N 等于(A) A.(0,1] C.? 2.在复平面内,复数 A.第一象限 C.第三象限 B.(0,+∞) D.[1,+∞) 1 +i3 对应的点位于(D) 1-i

B.第二象限 D.第四象限

3.下列命题正确的是(C)
2 A.?x0∈R,x0 +2x0+3=0

B.?x∈N,x3>x2 C.x>1 是 x2>1 的充分不必要条件 D.若 a>b,则 a2>b2 4.为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩 A,B(如图),要测算 A,B 两点的距离,测量人员在岸边定出基线 BC,测得 BC=50 m,∠ABC=105°,∠BCA=45°,就可以计算 出 A,B 两点的距离为(A)

5

A.50 2 m C.25 2 m

B.50 3 m D. 25 2 m 2

1 5.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, a3,2a2 成等差 2 数列,则 a8+a9 等于(C) a6+a7 B.1- 2 D.3-2 2

A.1+ 2 C.3+2 2 二、填空题

6.已知函数 f(x)=2x,等差数列{ax}的公差为 2.若 f(a2+a4+a6 +a8+a10)=4,则 log2 [f(a1)f(a2)f(a3)?f(a10)]=-6. 解析:由 f(x)=2x 和 f(a2+a4+a6+a8+a10)=4 知 a2+a4+a6+a8 + a10 = 2 , log2[f(a1)f(a2)f(a3)?f(a10)] = log2f(a1) + log2f(a2) + ? + log2f(a10)= a1+ a2+a3+ ?+ a10= 2(a2+ a4+ a6+ a8+ a10)- 5×2=- 6. 7.已知 f(3x)=4xlog23+233,则 f(2)+f(4)+f(8)+?+f(28)的值 等于 2_008. 解析:∵f(3x)=4xlog23+233=4log23x+233, ∴f(t)=4log2t+233, 则 f(2)+f(4)+f(8)+?+f(28)=(4log22+233)+(4log24+233)+ (4log28+233)+?+(4log228+233)=4(1+2+3+?+8)+8×233=2
6

008. 1 1 8.若数列{an}满足 - =d(n∈N*,d 为常数),则称数列{an} an-1 an
?1? 为调和数列.已知数列?x ?为调和数列,且 x1+x2+?+x20=200, ? n?

则 x5+x16=20. 解析: 根据调和数列的定义知: 数列{an}为调和数列, 则 1 an-1 - 1 an

?1? ?1? =d(n∈N*,d 为常数),也就是数列?a ?为等差数列.现在数列?x ?为 ? n? ? n?

调和数列,则数列{xn}为等差数列,那么由 x1+x2+?+x20=200, 得 x1+x2+?+x20=10(x5+x16)=200,x5+x16=20. 9.如图,有一圆柱形的开口容器(下表面密封),其轴截面是边 长为 2 的正方形,P 是 BC 中点,现有一只蚂蚁位于外壁 A 处,内壁 P 处有一米粒, 则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为 π 2+9.

解析:把圆柱侧面展开,并把里面也展开,如图所示,则这只蚂 蚁取得米粒所需经过的最短路程为展开图中的线段 AP,

7

则 AB=π,BP=3,AP= π2+9. 三、解答题 10.已知函数 f(x)=x2e-x. (1)求 f(x)的极小值和极大值; (2)当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时, 求 l 在 x 轴上截距的 取值范围. 解析:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f′(x)=-e-xx(x-2).① 当 x∈(-∞,0)或 x∈(2,+∞)时,f′(x)<0; 当 x∈(0,2)时,f′(x)>0. 所以 f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减,在(0,2)上单调递 增. 故当 x=0 时,f(x)取得极小值,极小值为 f(0)=0;当 x=2 时, f(x)取得极大值,极大值为 f(2)=4e-2. (2)设切点为(t,f(t)),则 l 的方程为 y=f′(t)(x-t)+f(t). 所以 l 在 x 轴上的截距为 m(t)=t- f(t) t 2 =t+ =t-2+ +3. f′(t) t-2 t-2

由已知和①得 t∈(-∞,0)∪(2,+∞).
8

2 令 h(x)=x+ (x≠0),则当 x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围为 x [2 2,+∞);当 x∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3). 所以当 t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m(t)的取值范围是(-∞, 0)∪[2 2+3,+∞). 综上,l 在 x 轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[2 2+3,+ ∞).

9


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