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安徽省望江中学2014届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

时间:2013-11-30


望江中学 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题

第Ⅰ卷(选择题
一、

共 50 分)

选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1? x <0 ,则 p 是 q 的 1. 设 p ∶ x 2 ? x ? 2<0, q ∶ ( ) x ?2 A 充分不必要条件 C 充要条件
1 1

B 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 ( )

2. 若 (2m ? 1) 2 ? ( m2 ? m ? 1) 2 ,则实数 m 的取值范围是

A.( ??,

? 5 ?1 ] 2

B.[

5 ?1 , ??) 2

C.( ?1, 2)

D.[

5 ?1 , 2) 2

3.若方程 x 2 ?

3 x ? k ? 0 在(-1,1)上有实根,则 k 的取值范围为 2 9 1 1 5 9 5 9 A. [? ,? ) B. [? , ) C. [? , ) D. [? ,?? ) 16 2 2 2 16 2 16





4. f (x)是偶函数, 若 且当 x∈[0, ? ?) 时, (x) = x-1, f (x-1) < 0 的解集是 f 则 ( A.{x |-1 < x < 0} C.{x | 0 < x < 2} B.{x | x < 0 或 1< x < 2} D.{x | 1 < x < 2}



5.函数 f (x) =Asin( (? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0), x ? ?1 和 x=1 是函数 f(x)图象相邻的两 条对称轴,且 x∈[-1,1]时 f (x)单调递增,则函数 y=f(x-1)的( ) A.周期为 2,图象关于 y 轴对称 B.周期为 2,图象关于原点对称 C.周期为 4,图象关于原点对称 D.周期为 4,图象关于 y 轴对称 6. 要得到函数 y ? s in ( 2 x ? A.向左平移 C.向右平移
π 个单位 6

π ) 的图象, 只需将函数 y ? —cos(2x — ?) 的图象( 3

)

B.向左平移 D.向右平移

5 π 个单位 1 2
π 个单位 3

5 π 个单位 1 2

? ? 7.已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ) 在 ( , ? ) 上单调递减,则 ? 的取值范围是 2 4 ( )

A、 (0, 2] 8. 把 函 数 A. ? ? C.
?

1 B、 (0, ] 2
?? 0 ,?|? | ? 2?

1 3 C、 [ , ] 2 4
3

1 5 D、 [ , ] 2 4

? y ? As i n? x? ? ?) ?? ( ?

的图象向左平移 ? 个单位得到 ) B. ? D.
6 ? 3

,则 ? ? ( y ? f ( x) 的图象(如图)
6

?
3

9. 定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (4) ? 1. f ?(x) 为 f (x) 的导函数,已知函数
y ? f ?(x) 的图象如图所示.若两正数 a, b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则

b?2 的取值 a?2

范围是 1 1 A. ( , ) 3 2 1 C. ( , 3) 2




1 B. (??, ) ? ? 3, ?? ? 2

y

D. (??, ?3)

O

x

10.定 义域为 R 的偶函 数 f (x) 满足对 ?x ? R ,有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) ,且当 若函数 y ? f ( x) ? log a (| x | ?1) 在 (0,??) 上至 x ? [2,3] 时, f ( x) ? ?2 x 2 ? 12 x ? 18 , 少有三个零点,则 a 的取值范围是 ( A. (0,
2 ) 2

) C. (0,
5 ) 5

B. (0,

3 ) 3

D. (0,

6 ) 6

二、

第 II 卷(非选择题 共 100 分) 填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
tan ? ? 1 sin ? ? cos ? ? 2 ,则 ? ________________ 5 ? tan ? sin ? ? 2 cos ?

11.已知

12.已知函数 f ? x ? 在 ?0,??? 上是增函数, g ? x ? ? ? f ? x ?,若 g ?lg x ? ? g ?1? ,则 x 的 取值范围是________________

?sin πx (0 ? x ? 1) 13.已知函数 f ( x) ? ? ,若 a,b,c 互不相等,且 f(a) ? f(b) ? f(c) , ? log 2013 x ( x ? 1)
则 a ? b ? c 的取值范围是________________

?ax 2 ? bx ? c, ( x ? -1) 14.已知函数 f ( x) ? ? ,在其图象上点( 1 ,f (1) )处的切线方程为 ? f (-x-2), ( x ? -1)
y ? 2 x ? 1,则图象上点(- 3 , f (-3) )处的切线方程为________________

?? ? 15.设 f ? x ?=asin2x+bcos2x , 其中 a, b ? R, ab ? 0 . 若 f ? x ? ? f ? ? 对一切 x ? R ?6?
? 11? 恒成立,则 ① f ? ? 12 ? ??0; ② ?

? 7? ? ?? ? f? ?? f? ?; ? 12 ? ?5?

③ f ? x ? 既不是奇函数也不是偶函数;

? 2? ? ? ④ f ? x ? 的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? ?k ? Z ? ; 6 3 ? ? ?
⑤ 存在经过点 ? a, b ? 的直线与函数 f ? x ? 的图象不相交. 以上结论正确的是__________________(写出所有正确结论的编号) . 三、解答题(解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12 分) 已知 sin θ、cos θ 是关于 x 的方程 x -ax+a=0(a∈R)的两个根.
2

? 3? (1)求 cos( ? ? ) ? sin( ? ? ) 的值; 2 2
(2)求 tan(π-θ)- 1 的值. tan θ
2 2

17.(12 分) 命题 p:实数 x 满足 x - 4ax ? 3a ? 0 (其中 a>0) ,

? x-1 ? 2 ? 命题 q:实数 x 满足 ? x ? 3 ? x-2 ? 0 ?

18. (12 分) 在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c ,已知 C ?

?
3

.

(Ⅰ)若 a ? 2 , b ? 3 ,求 ?ABC 的外接圆的面积; (Ⅱ)若 c ? 2 , sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 ?ABC 的面积.
19.(13 分) 设函数 f ( x) ? a ln x , g ( x) ?

1 2 x . 2

(1) g’ ) 为 g ( x) 的导函数, 记 (x 若不等式 f ( x) ? 2 g’ ) ? (a ? 3) x ? g ( x) 在 x ? [1, e] (x

上有解,求实数 a 的取值范围; (2)若 a =1,对任意的 x1 ? x2 ? 0 ,不等式 m[ g ( x1 ) ? g ( x2 )] ? x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) 恒 成立,求 m(m∈Z,m ? 1)的值.
20. (13 分) 设函数 f n ( x) ? x n ? bx ? c

? n ? N , b, c ? R ?
*

(Ⅰ)设 n ? 2 , b ? 1 , c ? ?1,证明: f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在唯一的零点; ? ? 2
1

(Ⅱ)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ? ? ?1,1? ,均有 f 2 ? x1 ? ? f 2 ? x2 ? ? 4 ,求 b 的取值范围.
21. (13 分) 已知 f ( x) ? ax ? ? 3ln x ,其中 a 为常数.
?2 2 ? (Ⅰ)当函数 f ( x) 的图象在点 ? , f ? ? ? 处的切线的斜率为 1 时,求函数 f ( x) 在 ? ? 3 3 ? ? ??

?

?

2 x

?3 ? ? 2 ,3? 上的最小值; ? ?

(Ⅱ)若函数 f ( x) 在 (0, ??) 上既有极大值又有极小值,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,过点 P ?1, ?4 ? 作函数 F ( x) ? x2 ? f ( x) ? 3ln x ? 3? 图象的切 线,试问这样的切线有几条?并求这些切线的方程.

高三理数参考答案

三解答题(共 75 分) 16.(12 分)解: 由已知原方程判别式 Δ≥0,即(-a)2 -4a≥0, ? ?sin θ+cos θ=a, ∴a≥4 或 a≤0.又? ? ? sin θcos θ=a, ∴(sin θ+cos θ)2 =1+2sin θcos θ,即 a2 -2a-1=0. ∴a=1- 2或 a=1+ 2(舍去).∴sin θ+cos θ=sin θcos θ=1- 2. (1) cos(

?
2

? ? ) ? sin(

3? ? ? ) =-(sin θ+cos θ)= 2-1 2

1 1 (2)tan(π-θ)- =-tan θ- tan θ tan θ =-?tan θ+ ? 1 ? 1 1 ? sin θ cos θ? ?=-?cos θ+ sin θ ?=-sin θcos θ=-1- 2= 2+1. tan θ

18. (12 分)

【解析】 (Ⅰ)由已知及余弦定理得 c2 ? 22 ? 32 ? 2 ? 2 ? 3 ? cos 设外接圆的半径为 R ,由正弦定理知 2 R ?
7 sin ? 7 3 2 ?

?
3

? 7 ,则 c ? 7 .

?
2

2 21 21 ,从而 R ? ,故外接圆的面积为 3 3

? R2 ? ?

7 3

??????????????????????????????????5 分 ,

(Ⅱ)∵ A ? B ? C ? ? ,及 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A

∴ 2sin 2 A ? sin ?? ? ? A ? B ?? ? sin( B ? A) ? sin ? A ? B ? ? sin( B ? A) ? 2sin B cos A ,即 ? ?
2sin A cos A ? sin B cos A ,亦即 ? 2sin A ? sin B ? ? cos A ? 0 ,∴ cos A ? 0 或 2sin A ? sin B ? 0 。???8 分

当 cos A ? 0 时, A ?

?
2

,又 c ? 2 且 C ?

?
3

,∴ tan

?
3

?

2 2 3 1 2 3 2 3 ,即 b ? ,此时 S?ABC ? ? 2 ? ; ? 3 2 3 3 b

当 2sin A ? sin B ? 0 时,由正弦定理得 b ? 2a ,又 c ? 2 且 C ?
B?

?
3

1 ,∴ 4 ? a 2 ? 4a 2 ? 2 ? a ? 2a ? (或得到 2

?
2

求解) ,解得 a 2 ?

4 1 ? 3 2 3 ,此时 S?ABC ? ab sin ? a 2 ? 。 ? 2 3 2 3 3

综上知 S?ABC ?

2 3 。????????12 分 3

(2)当 a=1,f(x)=lnx. 由 m[g(x1 )﹣g(x2 )]>x1 f(x1 )﹣x2 f(x2 )恒成立,得 mg(x1 )﹣x1 f(x1 )> mg(x2 )﹣x2 f(x2 )恒成立, 设 .

由题意知 x1 >x2 >0,故当 x∈(0,+∞)时函数 t(x)单调递增, ∴t′(x)=mx﹣lnx﹣1≥0 恒成立,即 恒成立,

因此,记

,得



∵函数在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, ∴函数 h(x)在 x=1 时取得极大值,并且这个极大值就是函数 h(x)的最大值.由此可 得 h(x)max =h(1)=1,故 m≥1,结合已知条件 m∈Z,m≤1,可得 m=1.

20(13 分)

【解析】 (Ⅰ) n ? 2 , b ? 1 , c ? ?1时, f n ( x) ? x n ? x ? 1 .
?1? ? 1 1? ?1 ? ∵ f n ? ? ? f n (1) ? ? n ? ? ?1 ? 0 ,∴ f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在零点.?????????2 分 ?2? ? 2 2? ?2 ?

?1 ? f n? ( x) ? nx n ?1 ? 1 ? 0 ,∴ f n ( x) 在区间 ? ,1? 是单调递增函数,???????????3 分 ?2 ? ?1 ? 所以 f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在唯一的零点. ?2 ?

?????????????4 分

(Ⅱ)当 a ? 2 时, f 2 ( x) ? x2 ? bx ? c ,∵对任意的 x1, x2 ? ??1,1? 都有 f 2 ? x1 ? ? f 2 ? x2 ? ? 4 等价于 f 2 ( x) 在

? ?1,1? 上的最大值与最小值之差 M ? f ( x)max ? f ( x)min ? 4 ,据此分类讨论如下:?????6 分
⑴当
b ? 1 ,即 b ? 2 时, M ? f 2 (1) ? f 2 (?1) ? 2 b ? 4 与题设矛盾; 2
2

?????8 分 ?????10 分

b b b ⑵当 ?1 ? ? ? 0 ,即 0 ? b ? 2 时, M ? f 2 (?1) ? f 2 ? ? ? ? ? ? 1? ? 4 恒成立; ? ? ? ? 2 2 2 ? ? ? ? b b b ⑶当 0 ? ? ? 1 ,即 ?2 ? b ? 0 时, M ? f 2 (?1) ? f 2 ? ? ? ? ? ? 1? ? 4 恒成立. ? ? ? ?
2

2

? 2? ? 2

?

综上知 ?2 ? b ? 2 . 注意:⑵⑶也可合并证明如下:用 max ?a, b? 表示 a, b 中的较大者,

?????12 分

? b ? f (?1) ? f 2 ?1? f 2 (?1) ? f 2 ?1? b ? b? ? ? f2 ? ? ? 当 ?1 ? ? ? 1 ,即 ?2 ? b ? 2 时, M ? max ? f 2 (1), f 2 (?1) ? f 2 ? ? ?? ? 2 ? ? 2 2 2 ? 2 ?? ? 2? ?
b? ? b2 ? ? ? 1 ? c ? b ? ? ? ? c ? ? ?1 ? ? ? 4 恒成立. 2? ? 4 ? ?
2

21.(13 分)

2 3 【解析】 (Ⅰ) f ? ( x) ? a ? 2 ? ? 0 x x

由题可知 f ? ? ? ? 1 ,解得 a ? 1 ???1 分 ?3? 2 ( x ? 1)( x ? 2) 故 f ( x) ? x ? ? 3ln x , f ?( x) ? ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 2 x2 x f ?( x) 、 f ( x ) 随 x 的变化关系如下表:
x
f ?( x)

?2?

???2 分

3 2

?3 ? ? , 2? ?2 ?
?

2
0

? 2,3?
?

3

于是可得: f ( x)min (Ⅱ) f ?( x) ? a ?

↘ ↗ 1 ? 3ln 2 ?????????????????????3 分 ? f (2) ? 1 ? 3ln 2 ????????????????????4 分
f ( x)

2 3 ax 2 ? 3x ? 2 ? ? ( x ? 0) ???5 分 x2 x x2 由 题 可 得 方 程 ax2 ? 3x ? 2 ? 0 有 两 个 不 等 的 正 实 根 , 不 妨 设 这 两 个 根 为 x1、x2 , 并 令

? ? ? ? 9 ? 8a ? 0 ?? ? 9 ? 8a ? 0 ? ? ?3 3 9 ? ? ,解得 0 ? a ? ???8 分 h( x) ? ax 2 ? 3x ? 2 ,则 ? x1 ? x2 ? ? 0 (也可以 ?? ?0?a ?0) a 8 ? ? 2a 2 ? ?h(0) ? 0 ? ? x1 x2 ? a ? 0 ? 2 (Ⅲ)由(Ⅰ) f ( x) ? x ? ? 3ln x ,故 F ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 2 x( x ? 0) , F ?( x) ? 3x2 ? 6 x ? 2( x ? 0) ??9 分 x 设切点为 T ( x0 , y0 ) ,由于点 P 在函数 F ( x) 的图像上,

(1)当切点 T 不与点 P(1, ?4) 重合,即当 x0 ? 1 时. 由于切线过点 P(1, ?4) ,则
y0 ? 4 2 ? 3x0 ? 6 x0 ? 2 x0 ? 1

3 2 2 所以 x0 ? 3x0 ? 2 x0 ? 4 ? ( x0 ? 1)(3x0 ? 6 x0 ? 2) , 3 2 化简得 x0 ? 3x0 ? 3x0 ? 1 ? 0 ,即 ( x0 ? 1)3 ? 0 ,解得 x0 ? 1 (舍去)??12 分

(2)当切点 T 与点 P(1, ?4) 重合,即 x0 ? 1 时. 则切线的斜率 k ? F ?(1) ? ?5 ,于是切线方程为 5x ? y ? 1 ? 0 ?????13 分 综上所述,满足条件的切线只有一条,其方程为 5x ? y ? 1 ? 0 ?????14 分 (注:若没有分“点 T 是否与点 P 重合”讨论,只要过程合理结论正确,本小题只扣 1 分)


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