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1.5 正弦函数的图像和性质

时间:2016-08-31


1.5正弦函数的图象与性质

5.1 正弦函数的图像

y 1.从单位圆看正弦函数的性质
-1 1

P

x

1

x 1.定义域是全体实数; y=sinx 2.最大值是1,最小值是-1,值域是[-1,1]; -1 3.它是周期函数,其周期是2π 4.在[0,2π ]上的单调性为:在[0,π /2]上是增加的; 在[π /2,π ]上是减少的;在[π ,3π /2]上是减少的; 在[3π /2,2π ]上是增加的; 5.是奇函数
M

O

2.正弦函数的图像
在画正弦函数图像时,我们可以先画出 ?0, 2? ? , 上的 正弦函数的图像,再利用周期性将其延拓到整个定义域上.

y ? sin x, x ??0, 2? ?
0
?
6 1 2

Ⅰ、用描点法作出函数图象
⑴.列表

x
y

?
3
3 2

?

0

2

2? 3
3 2

5? 6

1

1 2

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

3 3 0 ?1 2 ? 2 ?1 ?? 2

1 2

0

⑵.描点
⑶.连线

y 10

?

2

?

-

-

-

-

3? 2

2?

x

?1 -

Ⅱ、用正弦线作出函数图象
正弦线的概念: 设任意角 ? 的终边与单位圆交于点P,过点p做x轴的 垂线,垂足M,称线段MP为角 ? 的正弦线。

P( a , b ) r O
? h

M A

正弦线是有向线段,是由M指向P的,P称为正弦线的终点。

用单位圆中正弦线表示正弦的方法: ? 7? 7? 作出点:( ? , sin ), ( , sin ).
6 6 6 6
y

7? 6
P

P P
?
6

P , sin ) 1( 6 6
A o

?

?

7? 6

O1

M

?
6

?
2

?
H1 (

X

H

7? 7? , sin ) 6 6

y Ⅱ、用正弦线作出函数图象 函数y=sinx, x?[0,2? ] 单位圆分成12等份,每一份多少弧度? ?
1

6

. . .o . .A.
1

o
-1

.

?/2

. . . ?.

3?/2

2?

x

描图:用光滑曲线 将这些正弦线的终 点连结起来

y
1-

y ? sin x x ?[0,2? ]
? 6

-1

o
-1 -

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

在函数 y ? sin x, x ?[0, 2? ] 的图象上,起关键作用的点有: 最高点: (

-

?
2
2

,1)

最低点: ( 3?

,?1)

与x轴的交点: (0,0) (? ,0) (2? ,0) 在精度要求不高的情况下,我们可以利用这5个点画出函数 的简图,一般把这种画图方法叫“五点法画图”。

Ⅲ、五点作图法

五点法作函数 y ? sin x( x ?[0,2? ]) 的简图 y
1

-2?

· ·
-?

o
-1

. . · . · .
? 2?

.

3?

· ·
4?

x

坐标依次为:

3? (0,0)、( 2 ,1)、(? ,0)、( 2 ,-1)、( 2? ,0)

?

2.正弦函数的图像
y 1
? 2

?

o -1

? 2

?

3? 2

2?

x

y=sinx x?[0,2?] y=sinx x?R
-4? -3? -2? -?

y
1

正弦曲线

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

例题讲解

例1:用五点法画出函数的简图 y=1+sinx, x∈[0,2π]。 解:按关键五点列表 ? 3? ? 2 ? x 0 2 2
sin x 0 1 ? sin x 1

1 2

0 1
y

-1 0

0 1

2 1 o

?

2?

x

练习:画出函数 y ? ? sin x, x ?[0,2? ] 的简图。 解:按关键五点列表 x 0

?

sin x 0 ? sin x 0

2 1

?
0 0

3? 2

2?
0 0

-1 1

-1
y

2 1 o

?

2?

x

课堂小结
1.描点法 2.利用单位圆中的正弦线画出正弦函 数的图象——几何法 优、缺点:画图准确但较繁琐。 3.用五个关键点(与 x 轴的交点、曲线 最高点及最低点)画图——五点法 优、缺点:画图简捷但不够准确。

5.2 正弦函数的性质

复习引入
1.正弦函数y=sinx,x∈R的图象;
y=sinx x?[0,2?] sin(x+2k?)=sinx, k?Z
y
1 -4? -3? -2? -?

y=sinx x?R

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

正弦函数y=sinx的性质
1.定义域:R 2.值域:[-1,1]
π x ? ? ? 2kπ (k ? Z ; y)时,ymin ? ?1 2 1
?4?

π x ? ? 2kπ (k ? Z)时,ymax ? 1; 2

?3?

?2?

??
? 3? 2 ?

?
? 2

2?

3?

4?

7? ? 2

?

5? 2

0
-1

? 2

3? 2

5? 2

7? 2

x

T ? 2k? 3.周期性:
例:求下列函数的周期:

f(x ?

? f(x) T)

2? ( 1 )y ? sin 3x T ? y=sinu的周期为2π 3 x (2)y ? sin T ? 8? u →u+2π 4 2? 3 x? ) 3x →3x+2π ? ( (3)y ? A sin (?x ? ?),(A ? 0,? ? 0) 3

分析:令3x=u

x ? x??
2?

T?

2? x? x? 3

?

T ? 2k? 3.周期性:

正弦函数y ? sin x的周期2kπ(k ? Z , k ? 0) T ? 2?
y ? A sin (ω x ?φ )(A ? 0,ω ? 0, x ? R) 2 π 的周期为T ? ω

4.单调性:
增区间: [?

?

? 2k?, ? 2k? ] 2 2
y
1

?

(k ? Z)

?4?
? 7? 2

?3?

?2?

??
? 3? 2 ?

?
? 2

2?

3?

4?

?

5? 2

0
-1

? 2

3? 2

5? 2

7? 2

x

3? 减区间: [ ? 2k?, ? 2k? ] 2 2

?

(k ? Z)

5.奇偶性:奇函数

f ( x) ? sin x
y
1
?4?

?3?

?2?

??
? 3? 2 ?

?
? 2
-1

2?

3?

4?

?

7? 2

?

5? 2

? 2

3? 2

5? 2

7? 2

x

f(? x) ? sin (? x)? ? sin x ? ? f(x)

6.对称性:

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