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高三数学复习教案集02导数及其应用

时间:2010-06-05


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高三复习教案集

导数及其应用
考纲导读 ;掌握函 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等) 数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念. 2. 熟记八个基本导数公式(+> x m (m 为有理数), sin x, cos x, e x , a x , ln x, log a x 的导数);掌握两个函 数和,差,积,商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数. 3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分 条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. 知识网

导数的概念

导数

导数的求法

和,差,积,商,复合函数的导数 函数的单调性

导数的应用

函数的极值 函数的最值

高考导航 导数的应用价值极高,主要涉及函数单调性,极大(小)值,以及最大(小)值等,遇到有 关问题要能自觉地运用导数.

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第 1 课时
基础过 1.导数的概念:函数 y= f (x) 的导数 增量 Δ x 的比 y 的
x

变化率与导数, 变化率与导数,导数的计算

f ′(x) ,就是当

Δx =

→0

时,函数的增量 Δy 与自变量的 .

,即

f ′( x) =

2.导函数:函数 y= f ( x) 在区间(a> +)内 内 的导函数

的导数都存在,就说 f ( x) 在区间( a> + ) , 记作
f ′( x) 或 y′ , 函数 f ( x ) x

, 其导数也是(a >+ )内的函数, 叫做 f ( x ) 的
f ′( x) 在 x = x0 时的函数值

,就是 f ( x ) 在 x0 处的导数.

3.导数的几何意义:设函数 y= f ( x) 在点 x0 处可导,那么它在该点的导数等于函数所表示曲 线在相应点 M ( x0 , y0 ) 处的 4.求导数的方法 (1) 八个基本求导公式 (C ) ′ = ; ( x n )′ = (sin x)′ = , (cos x)′ = x ′ (e ) = , (a x )′ =
(ln x)′ =

.

;(n∈Q)

,

(log a x)′ =

(2) 导数的四则运算 (u ± v )′ =
(uv)′ =

[Cf ( x)]′ =

, ( u )′ = v

( v ≠ 0)

(3) 复合函数的导数 设 u = θ (x) 在点 x 处可导, y = = 典型例 例 1.求函数 y= 解 .Δy=
x2 + 1 在

f (u ) 在点 u = θ (x) 处可导,则复合函数 f [θ ( x)] 在点

x 处可导, 且

f ′(x)

′ ,即 y ′x = y u u ′x .

x0 到 x0+Δx 之间的平均变化率.
2 ( x 0 + x ) 2 + 1 x 0 1 2 ( x 0 + x ) 2 + 1 + x 0 + 1

2 ( x0 + x) 2 + 1 x0 + 1 =

=

2 x0x + (x) 2 ( x0 + x) + 1 +
2 2 x0

+1

,∴

y = x

2 x0 + x
2 ( x0 + x)2 + 1 + x0 + 1

.

变式训练 1. 求 y=

x

在 x=x0 处的导数.>

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= lim

x→0

lim

x0 + x x0 ( x0 + x x0 )( x0 + x + x0 ) y = lim = lim x x→0 x x→0 x ( x 0 + x + x 0 )

1 x0 + x + x0

x → 0

=

1 2 x0

.

例 2. 求下列各函数的导数: (1) y =
x + x 5 + sin x x2
2

;

(2) y = ( x + 1)( x + 2)( x + 3);
4

(3) y = sin x 1 2 cos2 x ;
1

(4) y =
3 2

1 1 x

+

1 1+ x

.

解 (1). y = ∴y′ = ( x


x 2 + x5 + sin x x2

=x

+ x3 +
5

sin x x2

,

3 2 )′ + ( x 3 )′ + ( x 2 sin x )′ =

3 x 2 + 3 x 2 2 x 3 sin x + x 2 cos x. 2

(2)方法一 方法一 方法二

y=(x2+3x+2) (x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y′=3x2+12x+11.

′ y′ = [( x + 1)( x + 2)] ( x + 3) + ( x + 1)( x + 2)( x + 3)′

=([ x + 1)′ ( x + 2) + ( x + 1)( x + 2)′] (x+3)+(x+1) (x+2) =(x+2+x+1) (x+3)+(x+1) (x+2)=(2x+3) (x+3)+(x+1) (x+2)=3x2+12x+11.> (3).y= sin x cos x = 1 sin x,
2 2 2

∴ y′ = 1 sin x
2



=

1 1 (sin x )′ = cos x. 2 2 1 1+ x = 1+ x +1 x (1 x )(1 + x ) = 2 1 x

(4) y = ∴ y′ =

1 1 x

+

,

′ 2 2(1 x)′ 2 = . = 1 x (1 x) 2 (1 x) 2

变式训练 2:求 y=tanx 的导数. 解 y′ = sin x
cos x
′ = (sin x)′ cos x sin x(cos x)′ cos x
2

=

cos 2 x + sin 2 x cos x
2

=

1 cos 2 x

.

例 3. 已知曲线 y= 1 x3 + 4 . >
3 3

(1)求曲线在 x=2 处的切线方程;> (2)求曲线过点(2,4)的切线方程. (1).y′=x2>∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k= y′ |x=2=4. 解 ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2)>即 4x-y-4=0.
3 3

>

3 (2)设曲线 y= 1 x3 + 4 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A x0 , 1 x0 + 4 ,



3

3

则切线的斜率 k= y′ |

x= x0

=x .
2 0

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2 ∴切线方程为 y 1 x0 + 4 = x0 ( x x0 ), 即 y = x 3
2 0

3

3

x

2 3 4 x0 + . 3 3

2 3 .点 P(2,4)在切线上,∴4= 2 x0 2 x0 + 4 ,

3

3

2 3 2 3 2 2 即 x0 3x0 + 4 = 0,∴ x0 + x0 4 x0 + 4 = 0, ∴ x0 ( x0 + 1) 4( x0 + 1)( x0 1) = 0,

∴(x0+1)(x0-2) =0>解得 x0=-1 或 x0=2> 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. 3 2 变式训练 3:若直线 y=kx 与曲线 y=x -3x +2x 相切,则 k= 答案 2 或 1
4 1 x+b

2

.

例 4. 设函数 f ( x) = ax +

(a>+∈Z),曲线 y = Z

f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为

y=3.

(1)求 f (x) 的解析式; (2)证明:曲线 y = f (x) 上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值,并 求出此定值. (1)解 解
f ′( x) = a 1 ( x + b) 2

,

1 9 2a + 2 + b = 3, a = 4 , a = 1, 于是 解得 或 1 b = 1, a b = 8 . = 0, 2 ( 2 + b) 3

因为 a>+ ∈ Z,故 f ( x) = x + (2)证明 证明 由 f ′( x ) = 1
0

1 . x 1

在曲线上任取一点 x , x

0



0

+

1 . x0 1

1 ( x0 1) 2

知,过此点的切线方程为

y

x02 x0 + 1 1 = 1 ( x x0 ) . x0 1 ( x0 1) 2 +1 0 ,切线与直线 x0 1
1 ,切线与直线

令 x=1,得 y = x

x=1 交点为 1, x 1

+1 0 . x0 1
1,2 x0 1) .

令 y=x,得 y = 2 x

0

y=x 的交点为 (2 x

0

直线 x=1 与直线 y=x 的交点为(1>1). 1 从而所围三角形的面积为 1
x0 + 1 1 2 1 2 x0 1 1 = 2 x0 2 = 2 . 2 x0 1 2 x0 1

所以,所围三角形的面积为定值 2. 变式训练 4:偶函数 f(x)=ax4++x3++x2+dx+e 的图象过点 P(0,1) ,且在 x=1 处的切线方程 为 y=x-2,求 y=f(x)的解析式.> .f(x)的图象过点 P(0,1) ,∴e=1. ①> 解 又.f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x).>
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故 ax ++x ++x +dx+e=ax -+x ++x -dx+e.> ∴+=0,d=0. ②> 4 2 ∴f(x)=ax ++x +1.> .函数 f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=x-2,∴可得切点为(1,-1).> ∴a+++1=-1. ③> 3 . f ′(1) =(4ax +2+x)|x=1=4a+2+,∴4a+2+=1. ④> 由③④得 a= 5 ,+= 9 .>∴函数 y=f(x)的解析式为 f ( x) = 5 x 4 9 x 2 + 1.
2 2 2 2

4

3

2

4

3

2

小结归纳 1.理解平均变化率的实际意义和数学意义. 2.要熟记求导公式,对于复合函数的导数要层层求导. 3.搞清导数的几何意义,为解决实际问题,如切线,加速度等问题打下理论基础.

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第 2 课时
基础过 1. 函数的单调性 ⑴ 函数 y= f (x) 在某个区间内可导,若

导数的概念及性质

f ′(x) >0,则 f ( x ) 为

;若 f ′(x ) <0,则 f ( x )

为 .(逆命题不成立) (2) 如果在某个区间内恒有 f ′( x) = 0 ,则 f (x) . 注:连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法: ① 确定函数 f (x) 的 ; ② 求 f ′(x) ,令 ,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根; ③ 把函数 f (x) 的间断点(即 f (x) 的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序 排列起来,然后用这些点把函数 f (x) 的定义区间分成若干个小区间; ④ 确定 f ′(x) 在各小开区间内的 ,根据 f ′(x) 的符号判定函数 f (x) 在各个相应小开区间 内的增减性. 2.可导函数的极值 ⑴ 极值的概念 设函数 f (x) 在点 x0 附近有定义,且对 x0 附近的所有点都有 为函数的一个极大(小)值.称 x0 为极大(小)值点. ⑵ 求可导函数极值的步骤: ① 求导数 f ′(x) ; ② 求方程 f ′( x ) =0 的 ; ③ 检验 f ′(x) 在方程 f ′( x ) =0 的根左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那 么函数 y= f (x) 在这个根处取得 ;如果在根的左侧附近为负,右侧为正,那么函数 y = f (x) 在这个根处取得 . 3.函数的最大值与最小值: ⑴ 设 y= f ( x ) 是定义在区间[a >+ ]上的函数,y= f (x) 在(a >+ )内有导数,则函数 y= f (x) 在 [a >+ ]上 有最大值与最小值;但在开区间内 有最大值与最小值. (2) 求最值可分两步进行: ① 求 y= f (x) 在(a >+ )内的 值; ② 将 y= f (x) 的各 值与 f (a) , f (b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最 小值. (3) 若函数 y= f (x) 在[a >+ ]上单调递增,则 f (a) 为函数的 , f (b) 为函数的 ; 若函数 y= f ( x ) 在[a >+ ]上单调递减,则 f (a ) 为函数的 典型例题
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(或

) ,则称 f ( x 0 )

, f (b) 为函数的

.

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例 1. 已知 f(x)=e -ax-1.> (1)求 f(x)的单调增区间;> (2)若 f(x)在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围;> (3)是否存在 a>使 f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增?若存在,求 出 a 的值;若不存在,说明理由. x 解: f ′(x) =e -a.> x (1)若 a≤0, f ′(x) =e -a≥0 恒成立,即 f(x)在 R 上递增.> 若 a>0>ex-a≥0>∴ex≥a>x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna>+∞).> (2).f(x)在 R 内单调递增,∴ f ′(x) ≥0 在 R 上恒成立.> ∴ex-a≥0,即 a≤ex 在 R 上恒成立.> x x ∴a≤(e )min,又.e >0,∴a≤0.> x (3)方法一 由题意知 e -a≤0 在(-∞,0]上恒成立.> 方法一 ∴a≥ex 在(-∞,0]上恒成立..ex 在(-∞,0]上为增函数.> ∴x=0 时,ex 最大为 1.∴a≥1.同理可知 ex-a≥0 在[0,+∞)上恒成立.> ∴a≤ex 在[0,+∞)上恒成立.∴a≤1,∴a=1.> 0 由题意知,x=0 为 f(x)的极小值点.∴ f ′(0) =0>即 e -a=0>∴a=1. 方法二 3 变式训练 1. 已知函数 f(x)=x -ax-1.> (1)若 f(x)在实数集 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围;> (2)是否存在实数 a>使 f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出 a 的取值范围;若不存 在,说明理由;> 3 (3)证明:f(x)=x -ax-1 的图象不可能总在直线 y=a 的上方.> (1)解 由已知 f ′(x) =3x2-a>.f(x)在(-∞>+∞)上是单调增函数,> 解 2 2 ∴ f ′(x) =3x -a≥0 在(-∞>+∞)上恒成立,即 a≤3x 对 x∈R 恒成立.> R 2 2 .3x ≥0>∴只需 a≤0>又 a=0 时, f ′(x) =3x ≥0>> 故 f(x)=x3-1 在 R 上是增函数,则 a≤0.> (2)解 由 f ′(x) =3x2-a≤0 在(-1>1)上恒成立,得 a≥3x2>x∈(-1>1)恒成立.> 解 2 2 .-1<x<1>∴3x <3>∴只需 a≥3.当 a=3 时, f ′(x) =3(x -1)>> 在 x∈(-1>1)上, f ′(x) <0>即 f(x)在(-1,1)上为减函数,∴a≥3.> 故存在实数 a≥3>使 f(x)在(-1,1)上单调递减.> (3)证明 .f(-1)=a-2<a>∴f(x)的图象不可能总在直线 y=a 的上方. 证明 例 2. 已知函数 f(x)=x3+ax2++x++>曲线 y=f(x) 在点 x=1 处的切线为 l:3x-y+1=0, x= 2 时, 若
3

x

y=f(x)有极值. (1)求 a>+>+ 的值;> (2)求 y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值. 3 2 2 解 (1)由 f(x)=x +ax ++x++>得 f ′( x) =3x +2ax++>> 当 x=1 时,切线 l 的斜率为 3,可得 2a++=0 当 x= 2 时,y=f(x)有极值,则 f ′ 2 =0>可得 4a+3++4=0
3

①> ②>

3

由①②解得 a=2>+=-4.由于切点的横坐标为 x=1>∴f(1)=4.> ∴1+a++++=4.∴+=5.> 3 2 2 (2)由(1)可得 f(x)=x +2x -4x+5>∴ f ′(x) =3x +4x-4>>
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f ′(x ) =0>得

x=-2>x= 2 .>
3

当 x 变化时,y>y′的取值及变化如下表: x y′ y 8 ↗ -3 (-3>-2) + 单调递增 -2 0 13 ↘
27 2 2, 3 2 3 2 ,1 3

1

单调递减

0
95 27

+ 单调递增 4 ↗

∴y=f(x)在[-3,1]上的最大值为 13,最小值为 95 . 变式训练 2. 函数 y=x -2x +5 在区间[-2>2]上的最大值与最小值. 3 3 解 先求导数>得 y′=4x -4x>令 y′=0>即 4x -4x=0.解得 x1=-1>x2=0>x3=1.> 导数 y′的正负以及 f(-2)>f(2)如下表:> x -2 (-2>-1) -1 (-1>0) 0 (0>1) 1 (1>2) 2 y′ 0 + 0 0 + y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 从上表知>当 x=±2 时>函数有最大值 13>当 x=±1 时>函数有最小值 4. 2 -ax 例 3. 已知函数 f(x)=x e (a>0)>求函数在[1,2]上的最大值. 2 -ax -ax 2 -ax -ax 2 .f(x)=x e (a>0)>∴ f ′( x) =2xe +x (-a)e =e (-ax +2x). 解 令
f ′( x ) >0>即
4 2

e-ax(-ax2+2x)>0>得 0<x< 2 .>
a

∴f(x)在(-∞>0)> 2 ,+∞ 上是减函数,在 0, 2 上是增函数.>
a a

①当 0< 2 <1>即 a>2 时>f(x)在(1,2)上是减函数>>
a

∴f(x)max=f(1)=e-a. ②当 1≤ 2 ≤2>即 1≤a≤2 时,>
a

f(x)在 1, 2 上是增函数,在 2 ,2 上是减函数,>
a a

∴f(x)max=f 2 =4a-2e-2.
a

③当 2 >2 时,即 0<a<1 时,f(x)在(1,2)上是增函数,>
a

∴f(x)max=f(2)=4e-2a.> 综上所述,当 0<a<1 时,f(x)的最大值为 4e-2a>> 当 1≤a≤2 时,f(x)的最大值为 4a-2e-2>> 当 a>2 时,f(x)的最大值为 e-a. 2 变式训练 3. 设函数 f(x)=-x(x-a) (x∈R)>其中 a∈R.> R R (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)当 a≠0 时,求函数 f(x)的极大值和极小值.>
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(1)当 a=1 时,f(x)=-x(x-1) =-x +2x -x>> 解: f(2)=-2> f ′(x) =-3x2+4x-1>> f ′(2) = -12+8-1=-5>> ∴当 a=1 时,曲线 y=f(x)在点(2>f(2))处的切线方程为> 5x+y-8=0.> (2)f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x>> 2 2 f ′(x ) =-3x +4ax-a =-(3x-a)(x-a)>> 令
f ′(x ) =0>解得

2

3

2

x= a 或 x=a.>
3

由于 a≠0,以下分两种情况讨论.> ①若 a>0,当 x 变化时, f ′(x) 的正负如下表:> x
f ′(x )

(-∞> a )
3

a 3

( a >a)
3

a 0 0

(a>+∞) ↘



0
4 3 a 27

+ ↗

f(x)

因此,函数 f(x)在 x= a 处取得极小值 f( a ) ,>
3 3

且 f( a )=3

4 3 a ;> 27

函数 f(x)在 x=a 处取得极大值 f(a)>且 f(a)=0.> ②若 a<0,当 x 变化时, f ′(x) 的正负如下表:> x
f ′(x )

(-∞>a) ↘

a 0 0

(a> a )
3

a 3

( a >+∞)
3

+ ↗

0 4 3 a 27



f(x)

因此,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 f(a)>且 f(a)=0;> 函数 f(x)在 x= a 处取得极大值 f( a )>>
3 3

且 f( a )=3

4 3 a . 27

例 4. 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元 (3≤a≤5) 的管理费, 预计当每件产品的售价为 x 元 (9≤x≤11) 一年的销售量为(12-x)2 时, 万件.>(1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式;> (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a). 2 解 (1)分公司一年的利润 L(万元)与售价 x 的函数关系式为:L=(x-3-a)(12-x) >x∈ [9>11].> (2) L′(x) =(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).> 令 L′ =0 得 x=6+ 2 a 或 x=12(不合题意,舍去).>
3

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.3≤a≤5>∴8≤6+ 2 a≤ 28 .>
3 3

在 x=6+ 2 a 两侧 L′的值由正变负.>
3

所以①当 8≤6+ 2 a<9 即 3≤a< 9 时,Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).>
3 2

②当 9≤6+ 2 a≤ 28 ,即 9 ≤a≤5 时,>
3 3 2

Lmax=L(6+ 2 a)=(6+ 2 a-3-a)[12-(6+ 2 a)] =4(3- 1 a) .>
2 3

3

3

3

3

9(6 a ), 所以 Q(a) = 3 4 3 1 a , 3

3≤ a <

9 , 2

9 ≤ a ≤ 5. 2

答 若 3≤a< 9 ,则当每件售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a)=9(6-a)
2

(万元) ;若 9 ≤a≤5,则当每件售价为(6+ 2 a)元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值
2
3

3

Q(a)= 4 3 1 a (万元).
3

某造船公司年造船量是 20 艘, 已知造船 x 艘的产值函数为 R(x)=3 700x+45x2-10x3 变式训练 4: (单位:万元) ,成本函数为 C(x)=460x+5 000(单位:万元) ,又在经济学中,函数 f(x)的 边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x). (1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x); (提示:利润=产值-成本)> (2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?> (3)求边际利润函数 MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么? 3 2 * (1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x +45x +3 240x-5 000(x∈N ,且 1≤x≤20)1> 解: N MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3 275 (x∈N*>且 1≤x≤19).> N 2 (2) P′(x) =-30x +90x+3 240=-30(x-12)(x+9)>> .x>0>∴ P′(x) =0 时>x=12,> ∴当 0<x<12 时, P′(x) >0>当 x>12 时, P′(x) <0>> ∴x=12 时,P(x)有最大值.> 即年造船量安排 12 艘时,可使公司造船的年利润最大.> (3)MP(x)=-30x2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305.> 所以,当 x≥1 时,MP(x)单调递减,> 所以单调减区间为[1,19] ,且 x∈N*.> N MP(x)是减函数的实际意义是:随着产量的增加,每艘利润与前一艘比较,利润在减少. 小结归纳 研究可导函数 f (x) 的单调性,极值(最值)时,应先求出函数 f (x) 的导函数 =0 的 x 取值或 f ' ( x) >0( f ' ( x) <0)的 x 的取值范围.
f ' ( x) ,再找出 f ' ( x)

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导数及其应用单元检测题 导数及其应用单元检测题 单元检测
一,选择题 x 2 1.曲线 y=e 在点(2,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( >. 9 e2>
4

)
2

.2e2

C.e2

. e >
2
f ′(x ) 的图象可能是

2.如果函数 y=f(x)的图象如图所示,那么导函数 y=

(

)

3.设 f(x)=x2(2-x)>则 f(x)的单调增区间是 >.(0> 4 )
3

(

)>
3

.( 4 , +∞)
3
x

C.(-∞>0)>

.(-∞>0)∪( 4 >+∞)> (
e

4.设 a∈R>若函数 y=e +ax>x∈R 有大于零的极值点,则 R R >.a<-1> .a>-1

)> .a>- 1 >
e

>C.a<- 1 >

5.已知函数 y=f(x)=x3+px2+qx 的图象与 x 轴切于非原点的一点,且 y 极小值=-4,那么 p,q 的值 分别为 ( )> >.6>9 .9>6 C.4>2 .8>6> 2 6.已知 x≥0>y≥0,x+3y=9>则 x y 的最大值为 ( )> .36 .18 C.25 .42> 2 x 7.下列关于函数 f(x)=(2x-x )e 的判断正确的是 ( )> ①f(x)>0 的解集是{x|0<x<2}1> ②f(- 2 )是极小值,f( 2 )是极大值;> ③f(x)没有最小值,也没有最大值.> > .①③ .①②③ C.② .①②> 8.函数 f(x)的图象如图所示,下列数值排序正确的是 ( )> >.0< f ′(2) < f ′(3) <f(3)-f(2)> >.0< f ′(3) <f(3)-f(2) < f ′(2) > >C.0<f(3)< f ′(2) <f(3)-f(2)> >.0<f(3)-f(2)< f ′(2) < f ′(3) > 9.若函数 f(x)=x3-ax2+1 在(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围为 ( )> >.a≥3 >.a=3 > C.a≤3 .0<a<3> 3 2 2 10.函数 f(x)=x -ax -+x+a >在 x=1 时有极值 10,则 a,+ 的值为 ( )> >.a=3>+=-3,或 a=-4>+=11> .a=-4>+=11> >C.a=3>+=-3> .以上都不正确>

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11.使函数 f(x)=x+2+osx 在[0, π ]上取最大值的 x 为
2

( . π

)>

>.0
3

. π >
6

C. π

3

2

12.若函数 f(x)=x -3+x+3+ 在(0,1)内有极小值,则 >.0<+<1 >.+<1 >C.+>0

( > .+< 1
2

)>

二,填空题 3 2 13.若 f(x)=x +3ax +3(a+2)x+1 没有极值,则 a 的取值范围为 .> 14.如图是 y=f(x)导数的图象,对于下列四个判断:> ①f(x)在[-2,-1]上是增函数;> ②x=-1 是 f(x)的极小值点;> ③f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数;> ④x=3 是 f(x)的极小值点.> 其中判断正确的是 .> 15.函数 f(x)的导函数 y= f ′(x) 的图象如右图,则函数 f(x)的单调递增区间为 16.已知函数 f(x)的导函数为 f ′(x) >且满足 f(x)=3x2+2x f ′(2) >则 f ′(5) = 三,解答题 17.已知函数 f(x)=x3- 1 x2++x++.>
2

.> .>

(1)若 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求 + 的取值范围1> 2 (2)若 f(x)在 x=1 处取得极值,且 x∈[-1>2]时,f(x)<+ 恒成立,求 + 的取值范围.>

18.设 p:f(x)=(x2-4)(x-a)在(-∞>-2)和(2>+∞)上是单调增函数;q:不等式 x2-2x>a 的解 集为 R. 如果 p 与 q 有且只有一个正确,求 a 的取值范围.>

19.已知函数 f(x)=x(x-1)(x-a)在(2,+∞)上是增函数,试确定实数 a 的取值范围.>

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3 2 2 20.已知定义在 R 上的函数 f(x)=-2x ++x ++x(+>+∈R),函数 F(x)=f(x)-3x 是奇函数,函数 R f(x)在 x=-1 处取极值.> (1)求 f(x)的解析式;> (2)讨论 f(x)在区间[-3,3]上的单调性.>

21.如图所示,P 是抛物线 C:y= 1 x2 上一点,直线 l 过点 P 并与抛物线
2

C 在点 P 的切线垂直,l 与抛物线 C 相交于另一点 Q,当点 P 在抛物线 C 上移动时, 求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程,并求点 M 到 x 轴的最短距离. >

22.已知某质点的运动方程为 s(t)=t ++t ++t+d,下图是其运动轨迹的一部分,若 t∈[ 1 ,4]
3 2

2

时,s(t)<3d 恒成立,求 d 的取值范围.>

2

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导数及其应用单元检测题答案 导数及其应用单元检测题答案 单元检测
一,选择题 1.答案>>> 2.答案>>> 3.答案> >> 4.答案>>> 5.答案>>> 6.答案>>> 7.答案 8.答案>>> 9.答案>>> 10.答案>>> 11.答案>>> 12.答案>>> 二,填空题 13.答案 [-1,2]> 14.答案 ②③ 15.答案 [-1,0]和[2,+∞)> 16.答案 6> 三,解答题 17.解 (1) f ′(x) =3x2-x++>因 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,则 解 ∴+≥x-3x2 在(-∞,+∞)恒成立.设 g(x)=x-3x2.> 当 x= 1 时,g(x)max=
6 1 12

f ′(x ) ≥0.即

3x2-x++≥0>>

>∴+≥

1 12

.>
2

(2)由题意知 f ′(1) =0,即 3-1++=0,∴+=-2.> 2 2 x∈ [-1>2] f(x)<+ 恒成立, 时, 只需 f(x)在 [-1, 上的最大值小于 + 即可.因 2] 令
f ′( x ) =0>得

f ′( x ) =3x

-x-2>

x=1 或 x=- 2 ..f(1)=- 3 ++>>
3 2

f(- 2 ) = 22 + c, f (1) = 1 + c, f(2)=2++.>
3 27 2

∴f(x)max=f(2)=2++>∴2++<+2.解得 +>2 或 +<-1, 所以 + 的取值范围为 (-∞, ∪ -1) (2, +∞) . 3 2 18.解 命题 p:由原式得 f(x)=x -ax -4x+4a>> 解 ∴ f ′(x) =3x2-2ax-4>y′的图象为开口向上且过点(0,-4)的抛物线.> 由条件得 f ′(2) ≥0 且 f ′(2) ≥0>> 即
4a + 8 ≥ 0 ∴-2≤a≤2.> 8 4a ≥ 0.

命题 q: x 2 2 x = ( x 1) 2 1 > a > .该不等式的解集为 R,∴a<-1.> 当 p 正确 q 不正确时>-1≤a≤21> 当 p 不正确 q 正确时,a<-2.> ∴a 的取值范围是(-∞,-2)∪[-1,2].>
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19.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x -(a+1)x +ax> ∴ f ′(x) =3x2-2(a+1)x+a> 要使函数 f(x)=x(x-1)(x-a)在(2>+∞)上是增函数,只需 上满足
f ′(x) ≥0

3

2

f ′(x) =3x

2

-2(a+1)x+a 在(2,+∞)

即可.> .

f ′(x) =3x

2

-2(a+1)x+a 的对称轴是 x= a + 1 >>
3

∴a

a +1 a +1 >2 ≤2 的取值应满足: 3 或 3 f ′(2) ≥ 0 f ′( a + 1 ) ≥ 0 3

解得:a≤ 8 .∴a 的取值范围是 a≤ 8 .
3 3

20.解 (1).函数 F(x)=f(x)-3x 是奇函数>> ∴F(-x)=-F(x),化简计算得 +=3.> .函数 f(x)在 x=-1 处取极值,∴ f ′(1) =0.> 3 2 2 f(x)=-2x +3x ++x> f ′( x) =-6x +6x++> ∴ f ′(1) =-6-6++=0>+=12. ∴f(x)=-2x3+3x2+12x>> 2 2 (2) f ′( x) =-6x +6x+12=-6(x -x-2).> 令 f ′( x) =0>得 x1=-1>x2=2>> x
f ′( x)

2

-3

(-3>-1) -1 0 -7

(-1>2) + ↗

2 0 20

(2, 3) ↘

3

f(x)

45



9

∴函数 f(x)在[-3,-1]和[2,3]上是减函数,> 函数 f(x)在[-1,2]上是增函数. 21. 解 设 P(x0,y0) ,则 y0= 1 x , >>
2

2

0

∴过点 P 的切线斜率 k=x0>> 当 x0=0 时不合题意,∴x0≠0.> ∴直线 l 的斜率 kl=- 1 = 1 >>
k x0

∴直线 l 的方程为 y- 1 x
2
2

2 0

=

1 ( x x0 ) .> x0

此式与 y= 1 x 联立消去 y 得>
2

x 2+

2 x x02 2 = 0. x0

设 Q(x1>y1)>M(x>y)..M 是 PQ 的中点,>

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x0 + x1 1 x = 2 = x 0 ∴ 2 1 1 y = ( x ) + 1 x 2 = 1 + x0 + 1 0 0 2 x0 x0 2 x0 2

消去 x0,得 y=x2+ ∴y=x +
2

1 2x2

+1 (x≠0)就是所求的轨迹方程.由 x≠0 知 x >0>>
1 + 1 = 2 + 1. 2x2

2

1 2x2

+1≥2
2

x2 1 2x2

上式等号仅当 x =

>即 x=± 4 1 时成立,>
2

所以点 M 到 x 轴的最短距离是 2 +1. 2 22. 解 s′(t ) =3t +2+t++.> 由图象可知,s(t)在 t=1 和 t=3 处取得极值.> 则 s′(1) =0> s′(3) =0.> 即
3 + 2b + c = 0 b = 6 , 解得 27 + 6b + c = 0 c = 9

∴ s′(t ) =3t2-12t+9=3(t-1)(t-3).> 当 t∈[ 1 ,1)时, s′(t ) >0.>
2

当 t∈(1>3)时, s′(t ) <0.> 当 t∈(3>4)时, s′(t ) >0.> 则当 t=1 时,s(t)取得极大值为 4+d.> 又 s(4)=4+d,> 故 t∈[ 1 ,4]时,s(t)的最大值为 4+d.>
2

已知 s(t)<3d2 在[ 1 ,4]上恒成立,>
2

∴s(t)max<3d .即 4+d<3d2.> 解得 d> 4 或 d<-1.∴d 的取值范围是{d|d> 4 或 d<-1}.
3 3

2

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