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极坐标系及简单的极坐标方程_图文

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极坐标系及简单 的极坐标方程

书山有路 学海无涯

能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,能进
行极坐标与直角坐标的互化,掌握直线与圆的 极坐标方程.

极坐标系及简单 的极坐标方程

课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 课前演练 风向标

1 . 已 知 点 M , , 则 M 点 关 于 极 点 对 称 的 点 N 的 极 坐 标 是 ( ? ? A )

? ? A . ( ? , ? ? ? ) B ( ., ? ? ? ) C ( ., ? ? ? ? ) D ( ., ? 2 ? ? ? )

2 . 已 知 点的 M直 角 坐 标 为 ( 2 ,? 2 ) , 则 其 极 坐 标 是 ( B ) A ( .2 2 , ) 4 5 ? C ( .2 2 , ) 4

?

B ( .2 2 ,? ) 4 3 ? D ( .2 2 , ) 4

?

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? 3 . 在 极 坐 标 系 中 , 过 点 M ( 2 , ) , 且 平 行 于 于 极 轴 的 直
2 ? sin ? ? 2 线 的 极 坐 标 方 程 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

解析

如 图 , 设 P ( , ) 为 直 线 上 任 意 一 点 ,

? 在 R t △ O M P 中 , ? c o s (? ? )2 ? , 即 ? s i n ? ? 2 . 2

? ?

极坐标系及简单 的极坐标方程

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1_ 4 . 极 坐 标 方 程 为 ? 2 c o s 的 圆 的 半 径 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

??

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5 . 极 坐 标 方 程 分 别 是 ? ? c o s ? 和 ? ? s i n ? 的 2 两 个 圆 的 圆 心 距 是 _ _ _ _ _ . 2 _
解析

1 1 ? ? cos?是圆心为( ,0),半径为 的圆; 2 2 1 ? 1 ? ? sin?是圆心为( , ),半径为 的圆, 2 2 2 2 故两圆的圆心距为 . 2

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课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 走进高考 风向标

1.坐标系的类型

(1)直 线 上 的 点 的 坐 标 ; (2)平 面 直 角 坐 标 系 ;

标 ( 3 ) _ _极 _ _坐 ___ ___系 ;
(4)柱 坐 标 系 ; (5)球 坐 标 系 .

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2.坐标之间互化

? ? __ __ _cos _ _ _? __ ?x ( 1 ) 极 坐 标 M ( ? ,? )化 为 平 面 直 角 坐 标 M ( x, y ) ? ? ? _ _? __ _sin ___ __ ?y ( 2 ) 空 间 点 P的 直 角 坐 标 ( x , y , z ) 与 柱 坐 标 ? ? , ? , z ? 之 间 的 ? x ? ? cos? ? 变换公式为: ? y ? ? s in ? ?z = z ? 柱坐标系又称半极坐标系,它是由平面极坐标系 及 空 间 直 角 坐 标 系 的 一 部 分 建 立 起 来 的. ( 3 ) 空 间 点 P的 直 角 坐 标 ? x , y , z ? 与 球 坐 标 ? r , ? , ? ? 之 间 的 变 ? x ? rs in ? c o s ? ? 换 关 系 为 ? y ? r s in ? s in ? ? z ? rcos? ?

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3.直线与圆的极坐标方程 曲线 位置
成 的 角 为 ?

极坐标方程 直角坐标方程

过 极 点 , 并 且 与 极 轴 所

? ??

y=x ta n ? ④ _________
xsin? ? ycos? ?p

直 线

不 过 极 点 , 和 极 轴 所 成 的⑤ ? s in( ? ? ? ) ? p 角 为 ? , 到 极 点 的 距 离 为 p _________
平 行 于 极 轴 , 到 极 轴 的 距 ⑥ _______ ?sin? ?b 离 为 b

y= b
⑦ _______ x=a

垂 直 于 极 轴 , 和 极 轴 的 距 离 为 a

?cos? ?a

?1 过 点 ( ? ,? ) , 和 极 轴 所 成 s in (? ? ? ) 1 1 ? ? 的 角 为 ? n _( _? _1 _ ? _ _s _i _ _ _?_ )


y ? ?1sin?1 ? tan?(x ? ?1cos?1)

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3.直线与圆的极坐标方程 曲线

曲线

位置

极坐标方程

直角坐标方程

? ? r_ 圆 心 在 极 点 , 半 径 为 r ⑨ _ _ _ _ _ _ _
圆 圆 ??? 2c ro s ? 心 为 ( ? r , 0 ) , 半 径 为 r

x ? y ?r
2 2

2

2 2 x ? 2 r x ? y ? 0 ⑩ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

圆 心 ( r ,? ) ,半 径 为 r 2

?

? ___________

2 2 x ? y ? 2 r y ? 0 ??? 2s r in ?

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4 ? 5 ? 例 1 . 已 知 A 、 B 两 点 的 极 坐 标 分 别 为 ( ? 3 , ) 、 ( 5 , ? ) , 3 6 求和 A B △的 A O B 面 积 ( 其 中 点 O 为 极 点 ) .

极坐标系及简单 在 △中 A O B , 课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 走进高考 风向标 的极坐标方程 解析

4 ? 5 ? 因 为 A 、 B 两 点 的 坐 标 分 别 为 ( ? 3 , ) 、 ( 5 , ? ) , 3 6 ? 7 ? 则 A 、 B 两 点 的 坐 标 可 化 为 ( 3 ,) , ( 5 , ) , 3 6 7 ? ? 5 ? 因 而 O A 、 O B 两 边 长 分 别 为 3 、 5 , 夹 角 ? A O B ? ? ? , 6 3 6 2 2 2 所 以 A B ? O A ? O B ? 2 O A O B ? c o s ? A O B
? 3 41 ? 5 3 ,

所 以 A B? 3 4 ? 1 53 , 1 1 51 5 S ?A ? s i n ? A O B ? ? 3 ? 5 ? s i n? . △ A O B B 2 2 64

? ?

?

点评

有 关 在 极 坐 标 系 中 求 线 段 的 长 或 平 面 图 形 面 积 等 问 题 的 求 解 , 关 键 是 应 用 点 的 极 坐 标 的 几 何 意 义 , 同 时 应 注 意 : 若

? ? 0 , 则 ?? ?0 , 且 点 M ? , ? 与 P ? ? , ? 关 于 极 点 对 称 . ? ? ? ?

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变 式 . ( 1 ) 点 ( 5 , ) 在 条 件 : 3 ① ?? 0 , ? ? ( ? 2 ? ,0 ) 下 的 极 坐 标 是 _ _ _ _ _ _ _ ; ② ?? 0 , ? ? ( 2 ? ,4 ? ) 下 的 极 坐 标 是 _ _ _ _ _ _ .

?

极坐标系及简单 典例精讲 方法提炼 走进高考 风向标 课前演练 知识要点 ① 当 ? 0 时 , 点, A ( 5 ) 的 极 坐 标 的 一 般 形 式 为 的极坐标方程 解析 3

3 ? 由 ? 2 ?? ? ? 0 , 得 ? 2 ? ?? 2 k ? ? 0 , 3 ? 5 ? 解 得 k ? ? 1 , 所 以 ? ?? 2 ? ? ? , 3 35 ? 所 以 满 足 条 件 的 点 A 的 极 坐 标 为 ( 5 , ?) . 3 ? ② 当 ? ? 0 时 , 点, A ( 5 ) 的 极 坐 标 的 一 般 形 式 是 3 ? ( ? 5 , ? ( 2 k ? 1 ) ? )k Z . ?? ? 3 ? 由 2 ?? ?? 4 ? , 得 2 ? ?? 2 k ? ? 4 ? , 解得k ? 1, ? 1 0 ?3 所 以 ?? ? 3 ?? , 3 3 1 0 ? 故 满 足 条 件 的 点 A 的 极 坐 标 为 (5 ? , ) . 3

? ? ( 5 , ? 2 k ? ) ( k ? Z ) .

?

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1 4 ( 2 ) 点 P ( ? , ) 与 曲 线 C :? s i n 的 关 系 是 _ _ _ _ _ . 2 3 2

?

? ?

解析

14 ? 1? 因 为 点 P (? , )与 点 P ?( , )是 同 一 点 , 2 3 2 3

? 1 3 且 sin ?sin ? , 2 6 2

?

? 所 以 点 P ? 在 曲 线 C : ? ? s i n上 ,
2

1 4 ? ? 故 点 P ( ? , ) 在 曲 线 C : ? ? s i n上 . 23 2

极坐标系及简单 的极坐标方程

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例 2 . 化 下 列 直 角 坐 标 方 程 为 极 坐 标 方 程 . ( 1 ) x2 ? y2 ?2 a x ?0 ; ( 2 ) x+y ?0 ; ( 3 ) x ? y ?2 x .
2 2

解析

2 2 2 ( 1 ) 将 ? xy ? , x ? c o s 代 入 ,

?

2 得 ? 2 a c o s ? 0 , 即 ? 2 a c o s 或 ? 0 .

而 ? 0 恒 表 示 极 点 , 曲 线 ? 2 a c o s 过 极 点 ,
故 所 求 极 坐 标 方 程 为 ? 2 a c o s .

?

??? ? ? ?
? ?

??

??

极坐标系及简单 典例精讲 方法提炼 走进高考 风向标 课前演练 知识要点 解析 ( 2 ) 将 x ? c o s , y ? s i n 代 入 , 的极坐标方程

得 c o s ? s i n ? 0 , 即 ? 0 或 t a n1 ? ? . 3 ? 由 t a n ??? 1 ,得 ?? . 4 3 而 ? 0 表 示 极 点 , 直 线 ??? R 过 极 点 , ? 4 3 ? 故 所 求 极 坐 标 方 程 为 ? ? ? ? ? R . ? 4 ( 3 ) 将 x ? c o s , y ? s i n 代 入 ,

? ? ? ?? ?
? ? ?

?? ? ?

?

2 2 2 2 得 ? c o s ?? ? s i n ? ? 2 ?? c o s , 2 c o s ? 即 ??0 或 ?? . c o s 2 ? 2 c o s ? 而表 ? ? 0示 极 点 , ? ? 过 极 点 , c o s 2 ? 2 c o s ? 故 所 求 极 坐 标 方 程 为 ? ? . c o s 2 ?

? ?? ?

极坐标系及简单 的极坐标方程

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变 式 . ( 1 ) 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 ? c o s ? s i n ,

? ? ?

则 其 直 角 坐 标 方 程 为 _ _ _ _ _ _ _ _ . 轨 迹 为 _ _ _ _ _ _ .

11 2 应 填 x ? yx ? ? y ? 0 ; 圆 心 ( , ) , 半 径 为 的 圆 . 22 2
2 2

解析

2 ( 2 ) 已 知 直 线 的 极 坐 标 方 程 为 ? s i n ( ?? )? , 4 2 则 极 点 到 该 直 线 的 距 离 是 _ _ _ _ _ _ .

?

解析

应 填

2 2

.

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例 3 . 过 极 点 O 的 直 线 和 直 线 ? c o s ? 4 交 于 点 M , 在 O M 说 明 轨 迹 是 什 么 曲 线 .

上 取 一 点 P , 使 O M ? O P = 1 2 , 求 点 P 的 轨 迹 的 方 程 , 并

解析

设 点 M 的 极 坐 标 为 ( ,, ) 点 P 的 坐 标 为 ( ,, ) 1 1 ? ?1? ? 12 1 2 则? . 又 因 为 ? c o s ? ? 4 , 则 ? c o s ? ? 4 , 1 1 ? ?? ? ? 1 即 ? ?3 c o s?.

? ?

? ?

点评

故 轨 迹 是 以 1 . 5 , 0 为 圆 心 , 1 . 5 为 半 径 的 圆 . ? ?

求 动 点 的 极 坐 标 轨 迹 方 程 的 步 骤 与 在 直 角 坐 标 系 中 求 轨 迹 方 程 类

似 , 用 “ 五 点 法 ” 且 关 键 是 从 几 何 的 角 度 获 得 动 点的 P ,?关 系 式 . ?

? ?

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备 选 例 题 . 已 知 圆 的 极 坐 标 方 程 为

? ?2?(cos? ? 3 sin ?) ?5 ? 0, 2 ? 求 直 线 ?? 截 圆 所 得 弦 A B 的 长 度 .
2

3

极坐标系及简单 风向标 课前演练 知识要点 典例精讲 2 方法提炼 走进高考 2 ( 方法一 ) 圆 的 直 角 坐 标 为 ( x ? 1 ) ? ( y ?3 )? 9 , 解析 的极坐标方程

直 线 的 直 角 坐 标 方 程 为 y ? ?3, x 即 3x? y ?0.
又 圆 心 ( ? 1 ,? 3 ) 到 直 线 3 x?y? 0 的 距 离 为 d? ?3 ?3
2 2 (3 ) ? 1

则 弦 长 为 29 ?3? 26 . ? 3 ,

2

? ? 2 ?? ? 2 解 得 ? ? 2 ? ? 5 ? 0 , , 3 (方法二 ) 由 ? ??2 ?2 ? ( co s? ?3 sin ?) ?5 ?
解 得 ? ? 1 ?6 , ? ? 1 ? 6 , 1 2

从 而 弦 长 为 ? ? ? 26 . 1 2?

极坐标系及简单 的极坐标方程

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1.极坐标系和坐标系的理解
极 坐 标 系 和 直 角 坐 标 系 的 最 大 区 别 在 于 : 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 平 面 上 的 点 与 有 序 数 对 之 间 的 对 应 关 系 是 一 一 对 应 的 ; 而 极 坐 标 系 中 , 对 于 给 定 的 有 序 数 对 ? , ? , 可 以 确 定 平 面 上 ? ? 的 一 点 , 但 是 平 面 内 的 一 点 的 极 坐 标 , 却 不 是 唯 一 的 .

( ? ? , ?? ?? 2 k ? ) ( k ? Z ) 也 都 是 点 M 的 极 坐 标 . 总 之 , 点 M ? , ? 的 极 坐 标 可 以 是 ? , ? ? 2 k ? ( k ? Z ) . ? ? ? ?

一 般 地 , 若 ? , ? 是 点 M 的 极 坐 标 , 则 ( ? , ? ? 2 k ? ) ( k ? Z ) , ? ?

当 规 定 ? 0 , 0 ? ? 2 以 后 , 平 面 内 的 点 ( 除 极 点 外 ) 与 有 序 数 对 就 可 以 一 一 对 应 了 .

? ??

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2.极坐标与直角坐标的互化注意事项

? x ? ? co s ? (1)极 坐 标 和 直 角 坐 标 的 互 化 公 式 是 ? 或 ? y ? ? sin ? ?? 2 ? x2 ? y2 ? .这 两 组 公 式 必 须 满 足 下 面 的 “ 三 ? y ? tan ? ? ? x ? 0 ? x ? 个 条 件 ” 才 能 使 用 : ( i ) 原 点 与 极 点 重 合 ; ( i i ) x轴 正 半 轴 与 极 轴 重 合 ; ( i i i ) 长 度 单 位 相 同 .极 坐 标 和 直 角 坐 标 的 互 化 中 ,需 注 意 等 价 性 ,特 别 是 两 边 同 乘 以 ? n时 , 方 程 增 了 一 个 n 重 解 ? ? 0, 要 判 断 它 是 否 是 方 程 的 解 ,若 不 是 要 去 掉 该 解 .

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2.极坐标与直角坐标的互化注意事项

( 2 ) 由 极 坐 标 方 程 给 出 的 问 题 , 若 不 好 处 理 , 就 直 角 坐 标 化 ; 由 直 角 坐 标 方 程 给 出 的 问 题 , 若 用 极 坐 标 方 法 处 理 较 为 简 便 , 就 极 坐 标 化 .
y ( 3 ) 慎 用 t a n ?? ,如 点的 M直 角 坐 标 为 ( ? 1 , 1 ) ,化 为 极 坐 标 x 时 , 由 t a n ?? ? 1 不 能 确 定 ? 的 取 值 , 必 须 结 合 ( ? 1 , 1 ) 所 表 3 ? 示 的 点 所 在 象 限 的 情 况 确 定 其 极 坐 标 为 (2 , ) . 4

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3.极坐标方程的应用及求法

( 1 ) 合 理 建 立 极 坐 标 系 , 使 所 求 曲 线 方 程 简 单 .

( 2 ) 巧 妙 利 用 直 角 坐 标 系 与 极 坐 标 系 中 坐 标 之 间 的 互 化 公 式 , 把 问 题 转 化 为 熟 悉 的 知 识 解 决 问 题 .
( 3 ) 利 用 解 三 角 形 方 法 中 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理 列 出 两 极 坐 标 ? 、 ? 是 求 极 坐 标 系 曲 线 方 程 的 法 宝 .

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4.常用结论 极坐标系内点的对称关系:

(1). 点 P ( , ) 关 于 极 点 的 对 称 点 为 P ? ( , ? ) ;

? ?

P ( , ) 关 于 极 轴 所 在 直 线 的 对 称 点 为 P ?? ( ,) ; (2). 点
(3). (4). (5).

? 点 P () ? , ? 关 于 直 线 ? ? 的 对 称 点 为 P ? ( ? , ? ? ? ) ; 2 ? ? 点 P () ? , ? 关 于 直 线 ? ? 的 对 称 点 为 P ? ( ? ,? ? ) .
4 2
2 2 ? ? ? ? 2 ? ? c o s ? ? ? . ? ? 1 2 1 2 1 2

? ?

? ? ?

? ?

在 极 坐 标 下 , A ( ? , ? ) 、 B ( ? , ? ) 间 的 距 离 A B ? 1 1 2 2

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学 例 1 . ( 2 0 0 8 · 广 东 卷 ) 已 知 曲 线 C 与的 C 坐 标 方 程 分 1 2 极

? c o s ? ? 3 ? ? 立 方 程 组 ( ? ? 0 , 0 ?? ? ) , 解析 联 ? ? ? 4 c o s ? 2 ? ?? ? 2 3 ? 解得 ? , ? ?? ? 6 ? ? 即 两 曲 线 的 交 点 为 ( 23 , ) . 6 命题立意 本 题 考 查 极 坐 标 的 知 识 及 运 算 能 力 .

别 为 ? c o s ?? 3 , ? ? 4 c o s ?? (? 0 , 0 ? ?? ) , 则 曲 线 ? 2 ( 2 3, ) C 与的 C 点 的 极 坐 标 为 _ _ _ _ _ _ _ . 6_ 1 2 交

?

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学 例 2 . ( 2 0 0 7 · 海 南 / 宁 夏 卷 ) ?O 和 ?O 的 极 坐 标 方 程 1 2 分 别 为 ? ? 4 c o s ?? , ? ? 4 s i n. ?

( 1 ) 把 ?O 和 ?O 的 极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 ; 1 2 ( 2 ) 求 经 过 ?O 和 ?O 交 点 的 直 线 的 直 角 坐 标 方 程 . 1 2

极坐标系及简单 走进高考 风向标 课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 ( 1 ) 以 极 点 为 原 点 , 极 轴 为 x 轴 正 半 轴 , 建 立 的极坐标方程 解析

直 角 坐 标 系 , 且 两 坐 标 轴 取 相 同 单 位 长 . 因 为 x ? ?? c o s , y ? ?? s i n ,

2 2 2 由 ? ? 4 c o s ? , 得 ? ? 4 ?? c o s , 所 以 x ? y ? 4, x 22 即 x ? y ? 4 x ? 0 为 ? O 的 直 角 坐 标 方 程 . 1

22 同 理 x ? y ? 4 y ? 0 为 ? O 的 直 角 坐 标 方 程 . 2 2 2 ? x ? y ?4x ? 0 ? ?x 1 ?0 ?x 2 ?2 (2)由 , ?2 解 得 ,? . 2 ? x ? y ? 4 y ? 0 ? 2 ? ?y 1 ?0 ?y 2 ?? 即 ? O , ? O 的 交 点 为 ( 0 , 0 ) 和 ( 2 , ? 2 ) 点 , 1 2

故 过 交 点 的 直 线 的 直 角 坐 标 方 程 为 x + y ? 0 .

命题立意

本 题 主 要 考 查 坐 标 系 的 有 关 知 识 .

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高 考 中 关 于 极 坐 标 及 直 角 与 圆 的 极 坐 标 方 程 的 考 查 多 以 客 观 题 形 式 进 行 , 主 要 考 查 基 础 知 识 的 掌 握 与 简 单 应 用 .

极坐标系及简单 的极坐标方程

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2 预 测 题 1 . 圆 ? ? 43s ? i n ? ? 2 ? 0 的 圆 心 的 极 坐 标 为

? (2 3, ) 1_ 0_ _ _ _ _ _ _ _ , 半 径 为 _ _ _ 2_
解析
2 2 圆 的 直 角 坐 标 方 程 为 xy ? ? 4 3 y ? 2 ? 0 , 2 2 即 x ? ( y ? 23 ) ? 1 0 ,

故 圆 心 的 直 角 坐 标 为 ( 0 , 2 3 ) ,
半径为 10. 则 其 极 坐 标 为 ( 23 , ) , 2

?

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预 测 题 2 . 若 极 坐 标 方 程 ???? () 满 足 ?? () ??? ( ? ? ) , 则 ?? () 表 示 的 图 形 ( A . 关 于 极 轴 对 称 C . 关 于 射 线 ?? 对 称 2

C

) B . 关 于 极 点 对 称 D . 不 确 定

?

解析

? ? ? ? ? ? 由 对 称 知 识 知 ? ( ? ) 的 对 称 轴 为 ? ? ? . 2 2


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