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高三文科数学立体几何综合题训练

时间:2015-04-27

2015 届高三文科数学立体几何综合题训练
1.如图,四边形 ABCD 与 A' ABB ' 都是边长为 a 的正方形,点 E 是 A' A 的中点,

A ' A ⊥平面 ABCD.
(I)求证: A' C

A' B' E? A B C D

// 平面 BDE;

(II)求证:平面 A' AC ⊥平面 BDE.

2.如图,在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PD⊥底面 ABCD , PD ? DC , E 是 PC 的中点,作 EF ⊥ PB 交 PB 于点 F . (1)证明: PA ∥平面 EDB ; P (2)证明: PB ⊥平面 EFD .

E F

D A
3.在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别为 DD1 、DB 的中点。
1

C B

(1) 求证: EF//平面 ABC1 D1 ; (2) 求证: EF ? B1C ; (3)求三棱锥 B1 ? EFC 的体积 V。

4.在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,

AC=4,CB=2,AA1=2

A1

E

C1 B1

?ACB ? 60? ,E、F 分别是 A1C1 , BC 的中点。
(1)证明:平面 AEB ? 平面 BB1C1C ; P (2)证明: C1 F // 平面 ABE; (3)设 P 是 BE 的中点,求三棱锥 P ? B1C1 F 的体积。 A

C F B

5.如图,四边形 ABCD 为矩形, AD ? 平面 ABE

D

C G
2

AE ? EB ? BC ? 2, F 为 CE 上的点,且 BF ? 平面 ACE ,
BD AC ? G.
A

F

B

E

(1)求证: AE ? 平面 BCE ; (2)求证: AE // 平面 BFD ; (3)求三棱锥 E ? ADC 的体积.

6.如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC=3,AB=5,AA1=BC=4,点 D 是 AB 的中点。 (Ⅰ)求证: AC ? BC1 ; (Ⅱ)求证: AC1 / / 平面 CDB1; (Ⅲ)求三棱锥 A1—B1CD 的体积。

7.正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直, AD ? CD, AB // CD, CD ? 2 AB ? 2 AD . (Ⅰ)求证: BC ? BE ; (Ⅱ)在 EC 上找一点 M ,使得 BM // 平面 ADEF ,请确定 M 点的位置,并给出证明. F D C E

A 8.三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱与底面垂直, ?ABC ? 90 , AB ? BC ? BB1 ? 2 , M , N 分别是 AB , A1C 的中点.
3

B

A M B C

(Ⅰ)求证: MN ∥ 平面 BCC1 B1 ; (Ⅱ)求证: MN ? 平面 A1 B1C ; (Ⅲ)求三棱锥 M ? A1 B1C 的体积.
A1 B1 C1 N

9.如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AA 1 ? 1 , AD ? 2 , E 是 BC 的中点. (Ⅰ)求证:直线 BB1 // 平面 D1 DE ; (Ⅱ)求证:平面 A1 AE ? 平面 D1 DE ; (Ⅲ)求三棱锥 A ? A1 DE 的体积. A1 B1 A D1

C1 D

B

E

C

10.如图, PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面, AD ? PA ? 2 , CD ? 2 2 , E 、 F 分别 是 AB 、 PD 的中点。 (I)求证: AF // 平面 PCE ; (Ⅱ)求证:平面 PCE ? 平面 PCD ; (Ⅲ)求四面体 PEFC 的体积

4

11.如图(1) , ?ABC 是等腰直角三角形, AC ? BC ? 4 , E 、 F 分别为 AC 、 AB 的中点,将 ?AEF 沿 EF 折起, 使 A? 在平面 BCEF 上 的射影 O 恰为 EC 的中点,得到图(2) . (1)求证: EF ? A?C ; (2)求三棱锥 F ? A?BC 的体积.

12.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,PA⊥平面 ABCD,点 M、N 分别为 BC、PA 的中点,且 PA=AD=2,AB =1,AC= 3 . (Ⅰ)证明:CD⊥平面 PAC; (Ⅱ)在线段 PD 上是否存在一点 E,使得 NM∥平面 ACE;若存在,求出 PE 的长;若不存在,说明理由.

13.已 知四棱锥 P—A BCD 中,点 M 是 PC 的中点,点 E 是 AB 上的一个动点,且该四棱锥的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是直角三 角形。
5

(I)求证:PA//平面 BDM; (II)若点 E 是 AB 的中点,求证:CE ? 平面 P DE; (III)无论点 E 在何位置,是否均有三棱锥 C—PDE 的体积为 定值?若是,请求出定值;若不是,请说明理由。

14.一个简单多面体的直观图和三视图如图所示,它的主视图和侧视图都是腰长为 1 的等腰直角三角形,俯视图的轮廓为正方形,E 是 PD 的中 点. (1)求证: PB // 平面ACE ; (2)求证:PC ? BD; (3)求三棱锥 C-PAB 的体积。
主视图 侧视图

俯视图

6

15.已知矩形 ABCD 中,AB=6,BC= 6 2 ,E 为 AD 的中点(图一) 。沿 BE 将△ABE 折起,使平面 ABE⊥平面 BECD(图二) ,且 F 为 AC 的 中点。 (1)求证:FD//平面 ABE; (2)求证:AC⊥BE。

16、 如图甲, 在平面四边形 ABCD 中, 已知 ?A ? 45 , ?C ? 90 , ?ADC ? 105 , AB ? BD ,现将四边形 ABCD 沿 BD 折起, 使平面 ABD ? 平面 BDC (如图乙) ,设点 E、F 分别为棱 AC、AD 的中点. (1)求证:DC ? 平面 ABC; (2)设 CD ? a ,求三棱锥 A-BFE 的体积.

A

A

F E
D B

D
C 甲

B C 乙

7

17.如图,在体积为 1 的三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱 AA 1 ? 底面 ABC , AC ? AB ,

AC ? AA 1 ? 1, P 为线段 AB 上的动点. (Ⅰ)求证: CA1 ? C1 P ;
(Ⅱ)线段 AB 上是否存在一点 P ,使四面体 P ? AB1C1 的体积为 请确定点 P 的位置;若不存在,请说明理由.

1 ?若存在, 6

18.如图,已知四边形 ABCD 为直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=2,AB=BC=1.沿 AC 将△ABC 折起,使点 B 到点 P 的位置, 且 平面 PAC⊥平面 ACD. (Ⅰ)证明:DC⊥平面 APC; (Ⅱ)求棱锥 A-PBC 的体积.

8


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