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2015届高考调研文科4-6

时间:2014-05-16


高考调研

新课标版 · 高三数学(文)

第 6 课时

三角函数的性质

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1.了 解 周 期 函 数 与 最 小 正 周 期 的 意 义 , 会 求 一 些 简 单 三 角 函数的周期. 2.了解三角函数的奇偶性、单调性、对称性,并会运用这 些性质解决问题.

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请注意!

近两年的新课标高考对三角变换的考查要求有所降低, 而对 三角函数的图像与性质考查有所加强,但以选择填空为主.

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1.

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函数 对称 性

y=n i s x π 对称轴 x=2+kπ 对称中心(kπ,0)

y=c o s x x=kπ π (2+kπ,0)

y=a n t x 无 kπ ( 2 ,0)

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2 . y=An ( i s y=Aa n t ( ωx+φ)的 最 小 正 周 期 ωx+φ)的 最 小 正 周 期

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2 π T=|ω|. π T=|ω|.

3.(1 )求 三 角 函 数 的 最 小 正 周 期 , 应 先 化 简 为 只 含 一 个 三 角 函 数 一 次 式 的 形 式 . 2 ( ) 形 如 y=An ( i s 单 调 性 研 究 . 3 ( ) 注 意 各 性 质 应 从 图 像 上 去 认 识 , 充 分 利 用 数 形 结 合 解 决 问 题 .
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ωx+φ)形 式 的 函 数 单 调 性 , 应 利 用 复 合 函 数

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1. 若 函 数 ________.
答案 10

y=c o ( s

π ωx-6)(w> 0 ) 的 最 小 正 周 期 为

π 5,则 w=

2π π 解析 T= ω =5?ω=10.

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2. 比 较 下 列 两 数 的 大 小 . n 1 i s ( ) 2 5 ° _ _ _ _ _ _ n _ 1 i s 5 2 ° 2 c ( o ) ( s a n 3 t ( ) π -5_ ) _ _ _ _ _ _ _ c o s 3 π -5_ ) _ _ _ _ _ _ a _ n t ; 3 π 5; 2 π 5.

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答案 1 ( ) > 2 ( ) > 3 ( ) =

解析 1 9 ( ) 0 ° < 1 2 5 ° < 1 5 2 ° < 1 8 0 ° ∵y=n i s x 在9 ( 0 ° ,1 8 0 ° ) ∴n 1 i s 2 5 ° > n 1 i s 5 2 ° .
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, 上为减函数,

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2 ( ) ∵c o ( s

π π -5)=cos5, π 3 0<5<5π < π ,

又 y=c o s x 在(0,π)上 为 减 函 数 , ∴c o ( s a n 3 t ( ) π -5> ) c o s 3π 5. 3 2 -5π)=a n t 5π.

3 -5π)=a n π t (

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3.1 ( ) 函数 y=n ( i s 2 ( ) 函数 y=a n t ( 答案 2 1 [ ( ) 2 ( )

π x+4)的单调递增区间是________; 间是________.

1 π 单 调 递 增 区 2x-4)的

3π π kπ- 4 ,2kπ+4](k∈Z);

π 3 kπ-2,2kπ+2π ( ) k∈Z)

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解 析

π π π 1 ( ) 由 2kπ-2≤x+4≤2kπ+2(k∈Z),

3 π 得 2kπ-4π≤x≤2kπ+4,(k∈Z). π 1 π π 2 ( ) 由 kπ-2<2x-4<kπ+2, π 1 3 得 kπ-4<2x<kπ+4π . π 3 ∴2kπ-2<x<2kπ+2π ( k∈Z).

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4.若 y=c o s x 在区间[-π,α]上 为 增 函 数 , 则 是________.
答案 -π<α≤0

α 的取值范围

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5.2 ( 0 1 3 ·

3 浙江)函数 f(x)=n i s xc o s x+ 2 c o 2 s ) B.π,2 D.2π,2

x 的 最 小 正 周 期

和振幅分别是( A.π,1 C.2π,1

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答案

A

解析 n 2 ( i s

3 由 f(x) =n i s xc o s x+ 2 c o 2 s

1 x = 2n 2 i s

3 x+ 2 c o 2 s

x=

π x+3), 得 最 小 正 周 期 为

π,振幅为 1,故选 A.

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例1

求 下 列 函 数 的 周 期 . π x-3)|;

1 ( ) y= n 4 ( i s 2 |

2 ( ) y=(an i s x+c o s x)2(a∈R); 3 ( ) y=2 c o s xn ( i s π x+3)- 3s n i
2

x+n i s xc o s x.

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【 解 析 】

1 ( ) y= n 4 ( i s 2 |

π x-3)|的 最 小 正 周 期 是 1 2 π π T=2× 4 =4.

y=n 2 4 ( i s

π x-3)

的 最 小 正 周 期 的 一 半 , 即 2 ( ) y=[ a2+1s n ( i =(a2+n 1 i s )
2 2

x+φ)]2

(x+φ) ),

1-c o s ?2x+2φ? =(a +1 · ) (φ 为 辅 助 角 2 所 以 此 函 数 的 最 小 正 周 期 为

2 π T= 2 =π .

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3 ( ) y=2 c o s 1 3 x(2n i s x+ 2 c o s x)- 3s n i
2 2

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x+n i s xc o s x

=n i s xc o s x+ 3c o s =n 2 i s =n 2 ( i s x+ 3c o 2 s π x+3), x

x- 3s n i

2

x+n i s xc o s x

该 函 数 的 最 小 正 周 期 为

2 π T= 2 =π .

π 【答案】 1 ( ) 4 2 π ( )

3 π ( )

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探究 1 求三角函数最小正周期的基本方法有两种:一是将 所 给 函 数 化 为 y=An ( i s ωx+φ)的 形 式 ; 二 是 利 用 图 像 的 根 本 特

征,作出图像,观察得出.

思考题 1 1 ( ) f(x)= n i s|
【答案】 T=π

x-c o s x|的 最 小 正 周 期 为

________.

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(2)若 f(x)=n i s ωx(ω> 0 ) 在1 0 ] [ , ω 的取值范围是________.

上 至 少 存 在

50 个 最 小 值 点 , 则

【解析】 由 f(x)=n i s ωx(ω> 0 ) 的 图 像 知

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在1 0 ] [ ,

上 至 少 存 在

5 0 个 最 小 值 点 ,

∵一 个 周 期 内 有 一 个 最 小 值 点 , 3T 1 9 9 T 1 9 9 2 π ∴1≥4 9 T+ 4 = 4 = 4 · ω. 1 9 9 ∴ω≥ 2 π .

199 【答案】 ω≥ 2 π
【讲评】 ω 的值与周期有关,熟练掌握一个周期内的单调 性、最值性、对称性等性质.
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例2

判 断 下 列 函 数 的 奇 偶 性 . π o ) π ( s 2+2xc -x). +x);

1 ( ) f(x)=c o ( s 2 ( ) f(x)=xn 5 ( i s π

【解析】 1 ( ) f(x)=c o ( s =(-n 2 i s

π o ) π ( s 2+2xc x.

+x)

x)(-c o s x)=c o s xn 2 i s -xn 2 i s ) (

∵f(-x)=c o ( s f ( x) 是 奇 函 数 .

-x)=-c o s xn 2 i s

x=-f(x), x∈R, ∴

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2 ( ) f(x)=xn π ( i s f(-x)=(-xn ( i s ) ∴f(x)为 偶 函 数 .

-x)=xn i s x, -x)=xn i s x=f(x).

【答案】 1 ( ) 奇 2 ( ) 偶

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探究 2 三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外,还可以 借助其图像的性质,对 y=An ( i s ωx+φ), 代 入 x=0,若 y=0 为

奇函数,若 y 为最大或最小则为偶函数.

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思 考 题 ①f(x)=n 2 ( i s

2 1 ( ) 判 断 下 列 函 数 的 奇 偶 性 . x-3 ) +n 2 ( i s x+3 );

c o s x?1-n i s x? ②f ( x) = ; 1-n i s x ③y=n 2 ( i s ④y=a n t ( π x+2); x-3 π ) .

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【 解 析 】 ∴f(-x)=n 2 ( i s ∴f ( x) 为 奇 函 数 . ① ∵ f(x)=n 2 i s -2xc o ) 3 s xc o 3 s = -n 2 i s ,

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xc o 3 s

= - f(x).

π ②1-n i s x≠0,∴n i s x≠1,∴{x|x≠2+2kπ,k∈Z} ∴f ( x) 定 义 域 不 关 于 原 点 对 称 . ∴f ( x) 为 非 奇 非 偶 函 数 . ③偶 函 数 ④奇 函 数
【答案】 ①奇 ②非奇非偶
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③偶 ④奇
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2 ( ) 2 ( 0 1 3 · 山东)将 函 数 y=n 2 ( i s

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x+φ)的 图 像 沿

x轴 向 左 平 移 (

π 8 )

个 单 位 后 , 得 到 一 个 偶 函 数 的 图 像 , 则 3 π A. 4 C.0 π B.4 π D.-4

φ的 一 个 可 能 取 值 为

【解析】 由题得平移后的解析式为 y=n 2 ( i s π 当 φ=4时,y=c o 2 s
【答案】 B
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π x+4+φ).

x为 偶 函 数 , 故 选

B 项.

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例3 1 ( ) 求 函 数 2 ( ) 设函数 y=n 2 i s 求 a 的值. 3 ( ) 函数 y=a n t (

f(x)=n 2 ( i s x+ac o 2 s

π x-6)的对称中心和对称轴方程. x 的 图 像 关 于 直 线 π x=-6对称,

x π 2+3)的图像的对称中心为__________.

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【 解 析 】

1 ( ) 分 析 : 利 用 三 角 函 数 的 图 像 , 把

π 2x-6看 做 一 y

个 变 量 , 用 换 元 的 方 法 求 对 称 中 心 或 对 称 轴 方 程 , 也 可 以 考 虑 =n i s x 与 y=n 2 ( i s 中 心 . π x-6)的 关 系 , 利 用 变 换 的 思 想 求 对 称 轴 与 对 称

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π A=2x-6, 则 函 数

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方 法 一 : 设

y=n i s A对 称 中 心 为

(kπ,0 ),

π kπ π 即 2x-6=kπ, x= 2 +1 2 ,(k∈Z). 对 称 轴 方 程 为 所 以 y=n 2 ( i s 对 称 轴 为 π π π k 2x-6=2+kπ,x=3+2π,(k∈Z). π x-6)的 对 称 中 心 为 π k x=3+2π ( k∈Z). kπ π ( 2 +1 ). 2 ,0

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方 法 二 : 由 =n 2 i s x图 像 向 右

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π π 2x-6=2 ( x-1 知 y=n 2 ( i s 2 ), π 平 移 了 1 单 位 . 2个

π x-6)图 像 是 由

y

所 以 对 称 轴 与 对 称 中 心 也 相 应 地 向 右 平 移 而 y=n i s x的 对 称 中 心 以 y=n 2 ( i s π x -6 ) 的 周 期 为 (kπ,0 ), 对 称 轴 方 程 为 π, 对 称 中 心 为

π 单 位 . 1 2个 π x=kπ+2,所

kπ π ( 2 +1 ), 对 称 轴 方 2 ,0

π kπ 程 为 x=3+ 2 (k∈Z).
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2 ( ) 分 析 : 利 用 对 称 的 定 义 或 利 用 对 称 轴 的 位 置 特 征 求 解 . 方 法 一 : 因 为 y=n 2 i s x+ac o 2 s x= 1+a2n 2 ( i s x+θ), 其 中 θ

由a n t θ=a 确 定 . 又 图 像 关 于

π x= - 6对 称 ,

π 故 在 x= - 6处 , 函 数 应 取 得 最 大 或 最 小 值 . π 所 以 x= - 6时 , y=n i s
? π? ?- ?+ac o s 3 ? ? ? π? ?- ? ? 3?

3 1 3 2 = - 2 +2a=± 1+a , 解 得 a= - 3.

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方 法 二 : 因 为 函 数 π -6对 称 . 所 以 到 f(x)=n 2 i s π x= - 6距 离 相 等 的 x+ac o 2 s

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x的 图 像 关 于 直 线

x= f( -

x值 对 应 函 数 值 相 等 . 即

π π 定 义 域 内 任 何 值 都 成 立 . 6+x)=f(-6-x)对 π π 令 x=6, 得 f0 ( ) =f(-3). 所 以 0+a=n ( i s 3 解 得 a= - 3.
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2 π - 3 )+ac o ( s

2 π - 3 ).

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π x= - 6对 称 ,

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方 法 三 :

∵函 数 关 于

π ∴x= - 6为 函 数 的 极 值 点 , 即2 ( c o 2 s ∴c o ( s x-2an 2 i s π -3)-an ( i s

π ∴f′(-6)=0 .

π x)|x=-6=0 . π -3)=0 .

3 ∴a= - 3.

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2 x π kπ 3 ( ) 由2+3= 2 (k∈Z),得 x=kπ-3π,即其对称中心为(kπ- 2 3π,0),(k∈Z).
【 答 案 】 kπ 2 (k∈Z) 3 2 ( ) a= - 3 3 ( ) 2 π kπ- 3 ,0 ) ,k∈Z 1 ( ) 对 称 中 心 为 kπ π ( 2 +1 0 ), 对 称 轴 方 程 为 2, π x =3 +

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探 究 3 求 函 数 y=An ( i s

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ωx+φ)的 对 称 中 心 、 对 称 轴 问 题 往

往 转 化 为 解 方 程 问 题 . 1 ( ) ∵y=n i s x的 对 称 中 心 是 ∴y=An ( i s (kπ,0 ), ωx+φ=kπ 解 出 x即 可 .

ωx+φ)的 中 心 , 由 方 程

2 ( ) ∵y=n i s x的 对 称 轴 是

π x=kπ+2,k∈Z, y=An ( i s ωx+φ)的 对 称 轴 .

π ∴ωx+φ=kπ+2解 出 x, 即 为 函 数 3 ( ) 注 意 y=a n t x的 对 称 中 心 为

1 (2kπ,0 ) ,(k∈Z).

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思考题 3 1 ( ) 函数 y=n 2 ( i s 是( ) π A.x=-6 π C.x=6

π x+3)的图像的对称轴方程可能

π B.x=-12 π D.x=12

π π π kπ 【解析】 由 2x+3=2+kπ,解得 x=12+ 2 ,k∈Z.所以 π 对称轴可能是 x=12.
【答案】 D
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2 ( ) 函数 y=2 c o s 是( ) 3 π A.( 8 ,0 ) π C.(8,1 )

xn i s (

x+c o s x) 的 图 像 的 一 个 对 称 中 心 的 坐 标

3 π B.( 8 ,1 ) π D.(-8, -1 )

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【 解 析 】 =n 2 i s x+c o 2 s

y=2 c o s

xn i s (

x+c o s x) π x+4)+1, π 2x+4=kπ, 解 得 π kπ x= - 8 + 2 ,k

x+1= 2s n 2 ( i

则 对 称 中 心 的 横 坐 标 满 足 ∈Z. 3 当 k=1 时 , x=8π,y=1 .
【答案】 B

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例4 1 ( ) 求 函 数 2 ( ) 求函数 y=n ( i s 3 ( ) 求 y=a 3 n t (

y=c o ( s

π -2x+3)的单调递减区间;

π 3-2x)的单调递减区间;

π x 最 小 正 周 期 及 单 调 递 减 区 间 ; 6-4)的 π x+4)|的 单 调 递 减 区 间 .

4 ( ) 求函数 y=- n ( i s|

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【解析】 1 ( ) ∵y=c o s

? π? ?-2x+ ?=c s 3? o ?

? π? ?2x- ?, 3? ?

π ∴由 2kπ≤2x-3≤2kπ+π(k∈Z), π 2π 得 kπ+6≤x≤kπ+ 3 (k∈Z).
? π 2π? 即所求单调减区间为?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z). ? ?

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2 ( ) y=n ( i s

π 2 ( i s 3-2x)=-n

π x-3),

π π π 故由 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2, π 5 解得 kπ-12≤x≤kπ+12π(k∈Z). π 5 ∴函数的单调递减区间为[kπ-12,kπ+12π ( ] k∈Z).

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3 ( ) y=a 3 n t ( π x -a 3 n t ( 6-4)= x π 4-6),

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π π T=|ω|=1=4 π . 4 π x π π 由 kπ-2<4-6<kπ+2, 解 得 ∴函 数 的 单 调 递 减 区 间 为 4 ( ) 画 图 知 单 调 递 减 区 间 为 4 8 4kπ-3π < x<4kπ+3π ( k∈Z).

4 8 (4kπ-3π,4kπ+3π ( ) k∈Z). π π [kπ-4,kπ+4](k∈Z).

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【答案】 1 ( ) 2 [ ( ) 4 3 ( ) 4 [ ( )

? π 2π? ?kπ+ ,kπ+ ?(k∈Z) 6 3? ?

π 5 kπ-12,kπ+12π ( ] k∈Z) 4 8 kπ-3π,4kπ+3π ( ) k∈Z) π π kπ-4,kπ+4](k∈Z)

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探 究 4

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由 三 角 函 数 单 调 性 问 题 , 应 遵 循 简 单 化 原 则 , 将 解 1 ( ) 易 出 现 以

析 式 先 化 简 , 并 注 意 复 合 函 数 单 调 性 的 规 律 . 本 例 下 错 解 : ∵y=c o s x的 单 调 减 区 间 为 π ∴2kπ≤-2x+3≤2kπ+π . π π ∴-kπ-3≤x≤-kπ+6. ∴单 调 减 区 间 为
? π π? ?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z). 3 6? ?

[2kπ,2kπ+π ] ,k∈Z,

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为 了 避 免 上 述 错 误 的 出 现 , 我 们 通 常 要 用 诱 导 公 式 把 An ( i s

y=

ωx+φ)式中的 ω 化成大于 0 的形式,然后再求单调区间,

利用了整体代换思想设 ωx+φ=X.

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思考题 4 1 ( ) 求函数 f(x)=n 2 i s 间.

xc o s x-2 c o s

2

x+2 的单调区

【解析】 2s n 2 ( i

f(x)=n 2 i s

x-(1+c o 2 s

x)+2=n 2 i s

x-c o 2 s

x+1=

π x-4)+1. π π 3π 3π 7π 由2+2kπ≤2x-4≤ 2 +2kπ,得 8 +kπ≤x≤ 8 +kπ. 3π 7π ∴递减区间[ 8 +kπ, 8 +kπ],k∈Z.

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π π π 由 - 2+2kπ≤2x-4≤2+2kπ, π 3 π 得 - 8+kπ≤x≤ 8 +kπ . ∴f ( x) 的 递 增 区 间 为 π 3 π [-8+kπ, 8 +kπ ] ,k∈Z.

π 3π 【答案】 增区间[-8+kπ, 8 +kπ],k∈Z, 3 7 减区间[8π+kπ,8π+kπ ( ] k∈Z)

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2 ( ) 2 ( 0 1 2 ·

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)已知 ω>0, 函 数 )

f(x)=n ( i s

π π ωx+4)在(2,π)

上单调递减,则 ω 的取值范围是( 1 5 A.[2,4] 1 C.(0,2]

1 3 B.[2,4] D.2 0 ] ( ,

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【 解 析 】

π ωπ π π π 由2<x<π, 得 2 +4<ωx+4<ωπ+4.

π 3 又 y=n i s α 在(2,2π )上 递 减 , ?ωπ π π ? 2 +4≥2, 所 以? ?ωπ+π≤3π, 4 2 ?
【答案】 A

1 5 解 得 2≤ω≤4, 故 选

A.

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1.三角函数的最小正周期的求法有: 由定义出发去探求; 根据图形去判断; 化成 y=An ( i s 或 y=Aa n t ( 定等. ωx+φ)等 类 型 后 , 用 基 本 结 论 ωx+φ),

2π π T=|ω|,或 T=|ω|来确

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2. 判 断 函 数 的 奇 偶 性 , 应 先 判 定 函 数 定 义 域 的 对 称 性 . 注 意 偶 函 数 的 和 、 差 、 积 、 商 仍 为 偶 函 数 ; 复 合 函 数 在 复 合 过 程 中 , 对每个函数而言,“同奇才奇,一偶则偶”. 3. 三 角 函 数 单 调 区 间 的 确 定 , 一 般 先 将 函 数 转 化 为 基 本 三 角 函 数 标 准 式 , 即 y=An ( i s ωx+φ)形 式 , 一 定 借 助 诱 导 公 式 把 A 的符号.

ω>0,把 ωx+φ 作 为 一 整 体 , 考 虑

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4.函数 y=An ( i s

ωx+φ)的 图 像 与

x轴 的 每 一 个 交 点 均 为 其

对称中心,经过该图像上坐标为(x,± A)的点与 x 轴 垂 直 的 每 一 条直线均为其图像的对称轴, 这样的最近两点间横坐标的差的绝 对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离).

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1.函数 f(x)=(1+ 3t a n xc o ) s A.2π C.π
答案 A

x的 最 小 正 周 期 为

(

)

3π B. 2 π D.2

解析

f(x)=(1+ 3t a n xc o ) s

c o s x+ 3s n i x x= c o · s x=2 c o ( s c o s x

x-

π 3),则 T=2π.
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x +φ y=n i s 0 π [ ) ,] 3 (φ∈2 2 B.3π 5 D.3π
C

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2. 若 函 数 π A.2 3 C.2π
答案

是 偶 函 数 , 则

φ=(

)

解析 n ( i s 恒成立.

x φ -3+3)=n ( i s

x φ 察 选 项 . 当 3+3)观

3 φ=2π 时 , 等 式

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π π 3.设 f(x)=xn i s x,若 x1、x2∈[-2,2],且 f(x1)>f(x2), 则 下 列结论中,必成立的是( A.x1>x2 C.x1<x2
答案 D

) B.x1+x2>0
2 D.x2 1 >x2

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4. 函 数

f(x)=Mn ( i s

ωx+φ)(ω> 0 ) 在 区 间 [a,b]上 是 增 函 数 , g(x)=Mc o ( s ωx+φ)在[a,b]上 ( )

且 f(a)= - M,f(b)=M, 则 函 数

A. 是 增 函 数 B. 是 减 函 数 C. 可 以 取 得 最 D. 可 以 取 得 最 小 值 - 大 值 M M

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答案

C

解 析 答 案 .

方 法 一 (特 值 法 ):取 M=2,w=1,φ=0 画 图 像 即 得

2 π 方法二: T = w , g(x) = Mc o ( s π M n [ i s · w(x+2w)+φ], ∴g(x)的 图 像 是 由

π wx + φ) = M n ( i s · wx + φ + 2 ) =

f(x)的 图 像 向 左 平 移

π T 到 的 . 2w(即4 )得
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T 由 b-a=2 , 可 知 , g(x)的 图 像 由 到 的 . ∴得 到 g(x)图 像 如 图 所 示 . 选 C.

f(x)的 图 像 向 左 平 移

b-a 2 得

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5.设函数 y=n 2 ( i s

π x+3)的图像关于点 P(x0,0)成中心对称,

π 若 x0∈[-2,0],则 x0=______.

π 答案 -6
解析 因为图像的对称中心是其与 x 轴的交点,所以由 y= n 2 ( i s π π π x+3)=0,x0∈[-2,0],得 x0=-6.

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课时作业(二十四)

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