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05-06工科数学分析B试卷A

时间:2017-07-18

哈尔滨工业大学(威海)2005/2006 学年秋季学期 工科数学分析(B 类)试题卷(A)
题 号 分 数 一 二 三 四 五 六 七 八 卷 面 总 分 平 时 成 绩 课 程 总 成 绩

一、选择题(请把答案写在括号内,每题 2 分,共 10 分) 1. 数列有界是数列收敛的( ) (A)必要条件 (B)充分条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 2.设 f ?(cos 2 x ) ? sin 2 x ,且 f (0) ? 0 ,则 f ( x) ? (
1 (A) cos x ? cos 2 x 2 1 (C) x ? x 2 2

得分

遵 守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范

)

1 (B) cos 2 x ? cos 4 x 2 1 (D) x ? x 2 2

3. lim(1 ? x)
x ?0

?

1 x

1 ? lim( x sin ) ? ( x ?? x

)

(A). e

(B). e ?1 ;

(C). e ? 1

(D). e ?1 ? 1 )

4. 对于不定积分

,在下列等式中正确的是( (B) (D)

(A) d [ ? f ( x )dx ] ? f ( x ) ; (C) ? f ?( x )dx ? f ( x ) ;

? df ( x) ? f ( x) ;

d f ( x)dx ? f ( x) . dx ?

1

5. 设 y ? f ( x ) 满足关系式 y?? ? 2 y? ? 4 y ? 0 ,若 f ( x0 ) ? 0 且 f ?( x0 ) ? 0 则 ,
y ? f ( x ) 在 x0 点(

). (B).取极小值; (D).在某邻域内单调减.

遵 守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范

(A).取极大值; (C).在某邻域内单调增; 二、填空题(每题 2 分,共 10 分) 1. 设 m, n 为正整数,且 m ? n ,则 lim

sin( x n ) = m x ? 0 (sin x)

.

2. 设 f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 2) ??? ( x ? 2002) ,则 f ?(0) ?

.

3. 定积分 ?

2

0

4 ? x 2 dx ?

.

4. 设 f ?( x ) ? g ( x ) ,则微分 d [ f (sin 2 x )] ?

.

5. 不定积分 ? 三、

(1 ? x) 2 x

dx ?

.

算题(每题 5 分,共 30 分) 1 x ? ). 1. 计算 lim( x ?1 ln x x ?1
2

2.计算. lim(1 ? 2 ? 3 ) .
n ??

n

n

1 n

x 1 3.已知 y ? ln cos x ? x 2 arcsin ? arctan x ,求 y? . 2 x ? x ? t ? sin t dy d 2 y 4.求由参数方程 ? 确定的函数的导数 , 2 . dx dx ? y ? 1 ? cos t e x (1 ? x ln x ) dx . x

5.计算积分 ? 遵 守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范

6.计算 I ? ? .

?

0

cos 2 x ? cos 4 xdx

四、解答下列各题(每题 10 分,共 50 分)
? ? ln(1 ? ax 3 ) , ? x ? arcsin x ? ? 1. 设函数 f ( x) ? ? 6 ? e ax ? x 2 ? ax ? 1 ? x ? x sin ? ? 4 x ? 0, x ? 0, 问(1) a 为何值时, x ? 0.

f ( x) 在 x ? 0 处连续;(2) a 为何值时, x ? 0 是 f ( x) 的可去间断点.

2. 当 a 为何值时,抛物线 y=x2 与三直线 x = a,x = a+1,y= 0 所 3. 围成的图形面积最小?
3

4. 已知 x1 ? 2 , x2 ? 2 ? 2 ,…, xn ?1 ? 2 ? xn ,证明数列 {xn } 收敛并求 其极限.

5. 设函数 f ( x) , g ( x ) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导,且 f (a ) ? f (b) ? 0 ,
g ( x ) ? 0 ,试 证:至少存在一个 ? ? (a, b) ,使 f ?(? ) g (? ) ? f (? ) g ?(? ) .

遵 守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范

5 设 严 格 单 调 递 增 函 数 f ( x) ? C[a, b] 且 f ??( x ) ? 0 , 证 明 :
(b ? a) f (a) ? ? f ( x)dx ? (b ? a)
a b

f (a ) ? f (b) 2

4


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