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2017届高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 课时3 常用逻辑用语学案 文

时间:2016-07-25


课时 3

常用逻辑用语(课前导学案)

一、高考考纲要求 1、了解命题的概念,会判断命题的真假. 2、理解全称量词、存在量词,会用符号语言表示全称命题、特称命题,并能判断全称命题、特称命题的真假. 3、通过对全称命题、特称命题真假的判断,掌握这两类命题的判定方法. 4、了解逻辑联结词“且” 、 “或” 、 “非”的意义,能判断命题“ p且q ” 、 “ p或q ” 、 “ 非p ”的真假. 5、能够对含有一个量词的命题进行否定. 6、了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义;会分析四种命题的相互关系。 7、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义;会判断必要条件、充分条件与充要条件。 二、高考考点回顾 1.命题:可以判定_______的陈述句叫命题. 2.全称命题就是形如“对 M 中的所有 x , p ( x) ”的命题,用符号简记为:______________________. 3. 特称命题:就是形如“存在集合 M 中的元素 x , q( x) ”的命题, 用符号简记为:______________________. 4.命题中的 ,_____,_________叫做逻辑联结词。 ? p 的真假填入下表: 将命题 p ? q p?q p 真 真 假 q 真 假 真 p?q p?q

p
真 假

?p

假 假 注: (1)若命题 p ? q 是真命题,则 p, q 两个命题一定都___________________; (2)若命题 p ? q 是假命题,则 p, q 两个命题中_________________ (3)若命题 p ? q 是假命题,则 p, q 两个命题一定都是___________________; (4)若命题 p ? q 是真命题,则 p, q 两个命题中_________________. (5)命题 ? p 和 p 不能___________,其中一个为________,另一个必定为假. 5.存在性命题 p : ?x ? A, p( x) ,它的否定是:_____________ 全称命题 q : ?x ? A, q( x) ,它的否定是:____________________. 6.一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表 正面 词语 否定 词语 7.命题的四种形式有____________,__________,__________,___________. 原命题:若 p 则 q 否命题:______________________ 逆命题:________________________ 逆否命题:________________________ 其中原命题与 命题互为逆否命题,否命题与 互为逆否命题 注:互为逆否的两个命题是等价的,故原命题与其逆否命题同真同假.逆命题与否命题同真同假.;互逆和互否的 两个命题不是等价的。 8.如果 ,那么 p 是 q 的充分条件, 如果 ,那么 p 是 q 的必要条 件, 如果 ,那么 p 是 q 的充要条件 如果 ,那么 p 是 q 的既不充分也不必要条件 三、课前检测
1

等 于 (=)

大 于 (>)

小 于 (<)



都是

至多有 一个

至少有 一个

任意的

一定

1.

设命题 p:函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为

? ? ;命题 q:函数 y ? cos x 的图象关于直线 x ? 对称.则下列判断 2 2
(D) p ? q 为真

正确的是 (A)p 为真 (B) ?q 为假 (C) p ? q 为假

2.设 a ? 0 且 a ? 1 ,则“函数 f ( x) ? a x 在 R 上是减函数 ” ,是“函数 g ( x) ? (2 ? a) x3 在 R 上是增函数”的 (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

3.对于函数 y ? f ( x), x ? R ,“ y ?| f ( x) | 的图象关于 y 轴对称”是“ y = f ( x ) 是奇函数”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要

2 2 2 4. 已知 a,b,c∈R,命题“若 a ? b ? c =3,则 a ? b ? c ≥3”,的否命题是
2 2 2 (A)若 a+b+c≠3,则 a ? b ? c <3 2 2 2 (B)若 a+b+c=3,则 a ? b ? c <3

2 2 2 (C)若 a+b+c≠3,则 a ? b ? c ≥3

2 2 2 (D)若 a ? b ? c ≥3,则 a+b+c=3

课内探究案 考点一 对全称命题、存在性命题、命题真假的判断 【典例 1】试判断以下命题的真假: (1) ?x ? N , x 4 ? 1;__ (2) ?x ? Z , x ? 1 ; ___
3

__

(3) ?x ? Q, x 2 ? 3 ;________ (4) ?x ? R, x ? 3x ? 2 ? 0 ;________
2

(5) ?x ? R, x ? 1 ? 0 ________.
2

【变式 1】已知 a,b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题

p1 :| a ? b |? 1 ? ? ? [0,

2? ) 3

p2 :| a ? b |? 1 ? ? ? (

2? ,? ] 3

? π? p3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3?

p4 :| a ? b |? 1 ? ? ? ( , ? ] 3
2

?

其中真命题是 (A)

p1, p4

(B)

p1 , p3

(C)

p2 , p3

(D)

p2 , p4

考点二 复合命题真假的判断 【典例 2】写出由下列各组命题构成的“ p ? q ” 、 “ p?q” 、 “ ? p ”形式的命题,并判断其真假.
2 (1) p : 1 是质数; q : 1 是方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 的根;

(2) p : 平行四边形的对角线相等;

q : 平行四边形的对角线互相垂直;

(3) p : N ? Z ;

q : 0? N ;

【变式 2】 (2012 山东青岛市期末)关于命题 p : A ? ? ? ? ,命题 q : A ? ? ? A ,则下列说法正确的是 A. (?p) ? q 为假 C. (?p) ? (?q) 为假 B. (?p) ? (?q) 为真 D. (?p) ? q 为真

考点三 对含有一个量词的命题进行否定. 【典例 3】用符号“ ? ”与“ ? ”表示下面含有量词的命题,并对命题加以否定: (1)一切矩形都是平行四边形;

(2)至少有一个质数不是奇数;

(3)实数的绝对值是正数;

(4)有些锐角的正弦为零. 【变式 3】 (2012 高考安徽 4)命题“存在实数 x ,使 x > 1”的否定是 (A)对任意实数 x , 都有 x >1 (B)不存在实数 x ,使 x ? 1 (C)对任意实数 x , 都有 x ? 1 (D)存在实数 x ,使 x ? 1

3

考点四 命题的四种形式 【典例 4】写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题,并判断真假 (1)平行四边形的对边相等;

(2)菱形的对角线互相垂直平分.

(3)设 a, b, c, d ? R ,若 a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d 【变式 4】命题“若 p 则 q”的逆命题是 (A)若 q 则 p (B)若 ? p 则 ? q (C)若 ? q 则 ? p (D)若 p 则 ? q 【变式 5】写出下列命题的等价命题 (1)奇数不能被 2 整除 (2)若 x ? 1或x ? ?1, 则x2 ?1 ? 0

? ,则 tanα =1”的逆否命题是 4 ? ? A.若α ≠ ,则 tanα ≠1 B. 若α = ,则 tanα ≠1 4 4 ? ? C. 若 tanα ≠1,则α ≠ D. 若 tanα ≠1,则α = 4 4
【变式 6】命题“若α =

考点五:否命题和命题的否定 【典例 5】写出下列命题的否命题和命题的否定形式。 (1)若 a ? 0, 则关于的方程 x ? x ? a ? 0 有实根
2

(2)若 x, y 都是奇数,则 x ? y 是奇数

(2)若 abc ? 0 ,则 a, b, c 中至少有一个为 0

【变式 7】 (2012 高考辽宁 5)已知命题 p: ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)≥0,则 ? p 是 (A) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)≤0 (B) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)≤0 (C) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)<0 (D) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)<0
4

考点六:充分必要条件的判断 【典例 6】若集合 P ? ?1, 2,3, 4? , Q ? x 0 ? x ? 5, x ? R ,则: x ? P是x ? Q 的_________条件。

?

?

【变式 8】 (2012 高考天津 5)设 x ? R,则“x> ”是“2x +x-1>0”的
2

1

2

(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件

【当堂检测】 1.下列命题是真命题的为( A.若 ) B.若 x ? 1 ,则 x ? 1
2

1 1 ? ,则 x ? y x y

C.若 x ? y ,则 x ?

y

2 2 D.若 x ? y ,则 x ? y

2.若命题 p : x ? A ? B ,则“非 p ”是( A. x ? A 或 x ? B

) C. x ? A 且 x ? B D. x ? A ? B

B. x ? A 或 x ? B )

3.命题“若 a ? A, 则b ? B ”的否命题是( A.若 a ? A, 则b ? B C.若 b ? B, 则a ? A

B.若 a ? A, 则b ? B D.若 b ? B, 则a ? A

x 2 4.已知命题 p : 函数 y ? log 1 ( x ? 3x ? a) 的定义域为 R ;命题 q : 函数 y ? (2a ? 1) 是减函数.若命题 ? p 和

2

“ p 或 q ”为真,则实数 a 的取值范围是

( )
5

A. a ?

3 4

B.

1 ? a ?1 2


C.

1 3 ?a? 2 4

D.

3 ? a ?1 4

5.设 x ? R, 则“x ? 1 的( ”是“x 3 ? x”

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.命题 p : 0 不是自然数;命题 q : 2 是无理数,则在命题“ p 或 q ” 、 “ p 且q ” 、 “非 p ” 、 “非 q ”中,真命题是 ;假命题是 .

课后巩固案 班级:

姓名:

完成时间:30 分钟

1. “ p :1 是最小的自然数, q : ? ? 3 ”构成的复合命题,下列判断正确的是(



A. p 或 q 为真, p 且 q 为假,非 p 为真 B. p 或 q 为假, p 且 q 为假,非 p 为真 C. p 或 q 为真, p 且 q 为假,非 p 为假 D. p 或 q 为假, p 且 q 为真,非 p 为真 2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( A. “若一个数是负数,则它的平方不是正数” B. “若一个数的平方是正数,则它是负数” C. “若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D. “若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 3.已知条件 p : x ? 1 ? 2 ,条件 q : 5x ? 6 ? x ,则 ? p 是 ? q 的
2







A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6

4. 已知不等式 | x ? m |? 1 成立的充分不必要条件是 A. {m | ?

4 1 ?m? } 3 2

1 1 ? x ? ,则 m 的取值范围是( ) 3 2 1 1 4 4 B. {m | m ? } C. {m | ? ? m ? } D. {m | m ? } 2 2 3 3

2 5.已知命题 p :关于 x 的方程 x ? ax ? 4 ? 0 有实根; 命题 q :关于 x 的函数 y ? 2x 2 ? ax ? 4 在 [3,??) 上

是增函数.若 p 或 q 是真命题, p 且 q 是假命题,则实数 a 的取值范围是 A. (?12, ?4] ? [4, ??) C. (??, ?12) ? (?4, 4) 6.有下列四个命题: ①命题“若 xy ? 1 ,则 x , y 互为倒数”的逆命题; ②命题“面积相等的三角形全等”的否命题; ③命题“若 m ? 1 ,则 x ? 2 x ? m ? 0 有实根”的逆否命题;
2

(

)

B. [?12, ?4] ? [4, ??) D. [?12,??)

④命题“若 A ? B ? B ,则 A ? B ”的逆否命题. 其中是真命题的是 .(把所有正确的命题的序号填在横线上) . 7.点 (2010, 2012) 在直线 x ? y ? b ? 0 上的充要条件是

1.设有两个命题: p : 不等式 | x | ? | x ? 1|? a 的解集为 R ,命题 q : f ( x) ? ?(7 ? 3a) x 在 R 上为减函数.如果两 个命题中有且只有一个是真命题,那么实数 a 的取值范围是 .

2 2.命题 p : 方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的正实数根,命题 q : 方程 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实数根.若“ p 或 q ”

为真命题,求 m 的取值范围.

参考答案 课前检测 1.C;2.A;3.B;4A. 【典例 1】 (1)假; (2)真; (3)假; (4)假; (5)假 【变式 1】A 【典例 2】略
7

【变式 2】C 【典例 3】略 【变式 3】C 【典例 4】略 【变式 4】A 【变式 5】略 【变式 6】C 【典例 5】略 【变式 7】C 【典例 6】充分不必要 【变式 8】A 【当堂检测】 1. 答案: A 解析:由

1 1 ? 得 x ? y , 而由 x2 ? 1 得 x ? ?1 , 由 x ? y , x , y 不一定有意义, 而 x ? y 得不到 x y

x2 ? y2 故选 A.
2.答案:B 解析: x ? A ? B ,即 x ? A 且 x ? B ,故“非 p ”是 x ? A 或 x ? B . 3.答案:B 解析:命题“若 p ,则 q ”的否命题为“若 ? p ,则 ? q ”.

3 1 ; q 为真,则 0 ? 2a ? 1 ? 1 ,即 ? a ? 1 .因为命题 ? p 4 2 1 3 和“ p 或 q ”为真,所以命题 p 假,命题 q 为真.故 a 的取值范围是 ? a ? . 2 4
4.答案:C 解析: p 为真,则 ? ? 3 ? 4a ? 0 ,即 a ? 5.答案: A 解析:因为 x ? x, 解得x ? 0,1,?1 ,显然条件的集合小,结论表示的集合大,由集合的包含关系,
3

我们不难得到结论。 6.答案: “ p 或 q ”, “非 p ”; “ p 且 q ”, “非 q ”. 解析: p 假, q 真. “ p 或 q ”为真,只要 p, q 中有一 个为真即可; “ p 且 q ”必须 p, q 中均为真. 课后巩固案

1.答案:A 解析:因为 p 假, q 真,由复合命题的真值表可以判断, p 或 q 为真, p 且 q 为假,非 p 为真. 2.答案:B 解析:因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换,因此逆命题为“若一个数的平方 是正数,则它是负数”.
2 2 3.答案:A 解析: ?p : x ? 1 ? 2 ,解得 ?3 ? x ? 1 ; ?q : 5x ? 6 ? x ,即 x ? 5 x ? 6 ? 0 ,解得 x ? 3, 或x ? 2 .

故 ? p 是 ? q 的充分不必要条件. 4. 答案:C 解析:| x ? m |? 1 ? ?1 ? m ? x ? 1 ? m ,当 所以有 ?1 ? m ?

1 1 ? x ? 时,必有 | x ? m |? 1 ,即 ?1 ? m ? x ? 1 ? m , 3 2

1 1 1 4 ,1 ? m ? ,由此得 ? ? m ? . 3 2 2 3 a ? 3, 解得 a ? ?12 . 4
8

2 5. 答案: C.解析: 命题 p 等价于 ? ? a ? 16 ? 0 , 解得 a ? ?4 或 a ? 4 ; 命题 q 等价于 ?

因为 p 或 q 是真命题, p 且 q 是假命题,则命题 p 和 q 一真一假.当 p 真 q 假时, a ? ?12 ;当 p 假 q 真时,

?4 ? a ? 4 .
6.答案: ①②③ 解析:①、②显然正确;③当 m ? 1 时,有 ? ? 4 ? 4m ? 0 ,所以方程有实数根,即原命题为真, 故它的逆否命题也为真; ④原命题“若 A ? B ? B ,则 A ? B ”为假,因而其逆否命题也为假. 7. 答案: b ? 2 解析:点 (2010, 2012) 在直线 x ? y ? b ? 0 上的充要条件是点的坐标是直线方程的解,即

2010 ? 2012 ? b ? 0 ,解得 b ? 2 .

1.答案:[1, 2) 解析:| x | ? | x ? 1| 表示 x 轴上的点到点 (0, 0) 和 (?1, 0) 的距离之和,易知其最小值为 1 ,若命题

p 为真,则 a ? 1 ;若命题 q 为真,则 7 ? 3a ? 1 , 可得 a ? 2 . p 真 q 假不可能,若 p 假 q 真,则有1 ? a ? 2 .
2.解: “ p 或 q ”为真命题,则 p 为真命题,或 q 为真命题.

?? ? m 2 ? 4 ? 0 ? 当 p 为真命题时,则 ? x1 ? x2 ? ? m ? 0 ,得 m ? ?2 ; ?x x ? 1 ? 0 ? 1 2
当 q 为真命题时,则 ? ? 16(m ? 2)2 ?16 ? 0, 得 ? 3 ? m ? ?1 . 所以 m 的取值范围是 {m | m ? ?2} ? {m | ?3 ? m ? ?1} ? {m | m ? ?1} .

9


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