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2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程学案

时间:2018-01-14


2.3.1

抛物线及其标准方程

1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.(重点) 2.会求简单的抛物线的方程.(重点) 3.了解抛物线的实际应用.(难点) 4.能区分抛物线标准方程的四种形式.(易混点)

[基础·初探] 教材整理 抛物线的定义与标准方程 阅读教材 P56~P58“思考”部分,完成下列问题. 1.抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛物 线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程 四种不同标准形式的抛物线方程

图形

标准 方程

y2=2px
(p>0)

y2=-2px
(p>0)

x2=2py
(p>0)

x2=-2py
(p>0)

焦点 坐标

?p,0? ?2 ? ? ?

?-p,0? ? 2 ? ? ?

?0,p? ? 2? ? ?

?0,-p? ? ? 2? ?

准线 方程

p x=-
2

p x=
2

p y=-
2

p y=
2

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)标准方程 y =2px(p>0)中的 p 的几何意义是焦点到准线的距离.(
2

)
1

(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定.(

) )

(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.( (4)抛物线可看作双曲线的一支.( 【答案】 (1)√ )

(2)√ (3)× (4)×

[小组合作型] 求抛物线的标准方程 求适合下列条件的抛物线的标准方程,并写出它们的准线方程和焦点坐标. (1)过点(-3,2); (2)焦点在直线 x-2y-4=0 上; 5 (3)焦点到准线的距离为 . 2 【精彩点拨】 本题主要考查抛物线标准方程的求法, 解题的关键是明确标准方程的类 型和参数 p 的值. 【自主解答】 (1)∵点(-3,2)在第二象限, ∴设抛物线方程为 y =-2px 或 x =2py(p>0). 4 9 将点(-3,2)代入方程,得 2p= 或 2p= . 3 2 4 2 ∴当焦点在 x 轴上时,所求抛物线方程是 y =- x, 3 1 ? 1 ? 其焦点为?- ,0?,准线方程为 x= ; 3 3 ? ? 9 2 当焦点在 y 轴上时,所求抛物线方程为 x = y, 2 9 ? 9? 其焦点为?0, ?,准线方程为 y=- . 8 ? 8? (2)令 x=0, 由方程 x-2y-4=0,得 y=-2. ∴抛物线的焦点为 F(0,-2). 设抛物线方程为 x =-2py(p>0), 则由- =-2,得 2p=8, 2 ∴所求抛物线方程为 x =-8y.
2 2 2 2

p

2

令 y=0,由方程 x-2y-4=0,得 x=4. ∴抛物线的焦点为 F(4,0). 设抛物线方程为 y =2px(p>0), 则由 =4,得 2p=16, 2 ∴所求抛物线方程为 y =16x. 综上,所求抛物线方程为 x =-8y 或 y =16x. 其准线方程为 y=2 或 x=-4, 焦点坐标为(0,-2)或(4,0). 5 5 (3)由焦点到准线的距离为 ,可知 p= . 2 2 ∴所求抛物线方程为 y =5x 或 y =-5x 或 x =5y 或 x =-5y.
2 2 2 2 2 2 2 2

p

求抛物线方程,通常用待定系数法,若能确定抛物线的焦点位置,则可设出抛物线的标 准方程, 求出 p 值即可.若抛物线的焦点位置不确定, 则要分情况讨论.焦点在 x 轴上的抛物 线方程可设为 y =ax?a≠0?,焦点在 y 轴上的抛物线方程可设为 x =ay?a≠0?.
2 2

[再练一题] 1.根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)准线方程为 y=-1; 【导学号:97792027】 (2)焦点在 x 轴的正半轴上,焦点到准线的距离是 3. 【解】 (1)由准线方程为 y=-1 知抛物线焦点在 y 轴正半轴上,且 =1,则 p=2.故 2 抛物线的标准方程为 x =4y. (2)设焦点在 x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为 y =2px(p>0),
2 2

p

? ? 则焦点坐标为? ,0?,准线为 x=- , 2 ?2 ?
p p
则焦点到准线的距离是?- - ?=p=3, ? 2 2? 因此所求的抛物线的标准方程是 y =6x. 抛物线的实际应用 喷灌的喷头装在直立管柱 OA 的顶点 A 处,喷出水流的最高点 B 高 5 m,且与
2

? p p?

OA 所在的直线相距 4 m,水流落在以 O 为圆心,半径为 9 m 的圆上,则管柱 OA 的长是多少?
【精彩点拨】 根据题意先建立坐标系, 设出抛物线方程, 把实际问题转化为数学问题.
3

【自主解答】 2py(p>0),

如图所示,建立直角坐标系,设水流所形成的抛物线的方程为 x =-

2

因为点 C(5,-5)在抛物线上, 所以 25=-2p·(-5),因此 2p=5, 所以抛物线的方程为 x =-5y, 点 A(-4,y0)在抛物线上, 所以 16=-5y0, 16 即 y0=- , 5 16 所以 OA 的长为 5- =1.8 (m). 5 所以管柱 OA 的长为 1.8 m.
2

在建立抛物线的标准方程时, 常以抛物线的顶点为坐标原点, 对称轴为一条坐标轴建立 坐标系,这样可使得标准方程不仅具有对称性,而且曲线过原点,方程不含常数项,形式更 为简单,便于应用.

[再练一题] 2.某河上有一座抛物线形的拱桥,当水面距拱顶 5 m 时,水面宽 8 m,一木船宽 4 m, 高 2 m,载货的木船露在水面上的部分为 0.75 m,当水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开 始不能通航? 【解】 以桥的拱顶为坐标原点,拱高所在的直线为 y 轴建立直角坐标系.(如图)

设抛物线的方程是 x =-2py(p>0), 由题意知 A(4,-5)在抛物线上, 8 故 16=-2p×(-5)? p= , 5

2

4

16 2 则抛物线的方程是 x =- y(-4≤x≤4), 5 设水面上涨,木船面两侧与抛物线形拱桥接触于 B、B′时,木船开始不能通航. 设 B(2,y′), 16 5 2 ∴2 =- y′? y′=- . 5 4 5 ∴ +0.75=2. 4 故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距 2 m 时,木船开始不能通航. [探究共研型] 抛物线定义的应用 探究 1 抛物线中 p 的几何意义是什么? 【提示】 抛物线标准方程中的 p 的几何意义是焦点到准线的距离. 探究 2 抛物线定义的功能是什么? 【提示】 根据抛物线的定义, 抛物线上的任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离, 因此,抛物线定义的功能是可以把点点距转化为点线距,从而使有关的运算问题变得简单、 快捷. (1)若动点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1,则动点 M 的轨 迹方程是________. (2)如图 2?3?1, 已知抛物线 y =2x 的焦点是 F, 点 P 是抛物线上的动点, 又有点 A(3,2). 求|PA|+|PF|的最小值,并求此时 P 点坐标.
2

图 2?3?1 【精彩点拨】 (1)中先由抛物线的定义确定点 M 的轨迹,再写方程. (2)由定义知,抛物线上点 P 到焦点 F 的距离等于点 P 到准线的距离 d,求|PA|+|PF| 的问题可转化为|PA|+d 的问题. 【自主解答】(1)如图,设点 M 的坐标为(x,y).

由已知条件可知,点 M 与点 F 的距离等于它到直线 x+4=0 的距离.

5

根据抛物线的定义,点 M 的轨迹是以 F(4,0)为焦点的抛物线,且 =4,即 p=8. 2 因为焦点在 x 轴的正半轴上,所以点 M 的轨迹方程为 y =16x. 【答案】 y =16x
2 2

p

(2)如图,作 PQ⊥l 于 Q,由定义知,抛物线上点 P 到焦点 F 的距离等于点 P 到准线 l 的距离 d,由图可知,求|PA|+|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|+d 的最小值的问题.

将 x=3 代入抛物线方程 y =2x,得 y=± 6. ∵ 6>2,∴A 在抛物线内部. 1 设抛物线上点 P 到准线 l:x=- 的距离为 d,由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d.由图可 2 7 知,当 PA⊥l 时,|PA|+d 最小,最小值为 . 2 7 2 即|PA|+|PF|的最小值为 ,此时 P 点纵坐标为 2,代入 y =2x,得 x=2. 2 ∴点 P 坐标为(2,2).

2

1.对于动点到定点的距离比此动点到定直线的距离大多少或小多少的问题, 实际上也是 抛物线问题. 2.抛物线的定义在解题中的作用, 就是灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线 距离的转化,另外要注意平面几何知识的应用,如两点之间线段最短,三角形中三边间的不 等关系,点与直线上点的连线垂线段最短等.

[再练一题] 3.(1)已知点 P 是抛物线 y =2x 上的一个动点, 则点 P 到点 A(0,2)的距离与点 P 到该抛 物线准线的距离之和的最小值为( A. 17 2
2 2

) 9 D. 2

【导学号:97792028】

B.2

C. 5

(2)抛物线 y =2px(p>0)上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1,则 p=________. 【解析】 (1)如图,由抛物线定义知|PA|+|PQ|=|PA|+|PF|,则所求距离之和的最 小值转化为求|PA|+|PF|的最小值,

6

则当 A、P、F 三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值.

?1 ? 又 A(0,2),F? ,0?, ?2 ?
∴(|PA|+|PF|)min=|AF|=

?0-1?2+?2-0?2= 17.故选 A. ? 2? 2 ? ?
p

(2)依题意,点 Q 为坐标原点,所以 =1,则 p=2. 2 【答案】 (1)A (2)2

1.抛物线 y=2x 的焦点坐标是( A.(1,0)

2

)

? 1? B.?0, ? ? 4? ? 1? D.?0, ? ? 8?

?1 ? C.? ,0? ?4 ?

1 1 ? 1? 2 【解析】 抛物线的标准方程为 x = y,所以 p= ,故焦点坐标是?0, ?. 2 4 ? 8? 【答案】 D 2.抛物线 y =8x 的焦点到准线的距离是( A.1 C.4 B.2 D.8
2

)

【解析】 抛物线焦点到准线的距离是 p=4. 【答案】 C 3.若双曲线 - =1 的右焦点与抛物线 y =12x 的焦点重合,则 m=________. m 3 【解析】 双曲线 - =1 的右焦点为( m+3,0),抛物线 y =12x 的焦点 F(3,0), m 3 ∴ m+3=3,∴m=6. 【答案】 6 4.以抛物线 y =8x 上的任意一点为圆心作圆与直线 x+2=0 相切,则这些圆必过一定 点,这个定点的坐标是________.
7
2

x2 y2

2

x2 y2

2

【解析】 抛物线 y =8x 的准线方程是 x+2=0,根据抛物线的定义,圆心到直线 x+ 2=0 的距离等于圆心到焦点的距离,所以这些圆必过抛物线的焦点,所以应填(2,0). 【答案】 (2,0) 5.已知抛物线的焦点在 x 轴上,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离等于 5,求抛物 线的标准方程和 m 的值. 【解】 设抛物线方程为 y =-2px(p>0),则焦点 F?- ,0?, ? 2 ?
2

2

? p

?

准线方程为 x= ,根据抛物线的定义,点 M 到焦点的距离等于 5,也就是 M 到准线的距 2 离为 5, 则 3+ =5,∴p=4, 2 因此,抛物线方程为 y =-8x, 又点 M(-3,m)在抛物线上,于是 m =24, ∴m=±2 6.
2 2

p

p

8


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