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1.1.1集合的含义与表示导学案

时间:2016-08-28


1.1.1 集合的含义与表示
一.知识梳理 1.集合的概念 (1)集合: 元素: 2.集合通常用 的拉丁字母表示,如 A、B、C、P、Q??;元素通常用 的拉丁字母表示,如 a、b、c、 p、q? 3.常用数集及记法 (1)自然数集(全体非负整数的集合) 记作 ,正整数集(非负整数集内排除 0 的集)记作 或 ;
王新敞
奎屯 新疆

全体整数的集合 记作 ;全体有理数的集合 记作 ;全体实数的集合 记作 . 4.元素对于集合的隶属关系:(1)属于:如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A,记作 (2)不属于:如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 A,记作 5.集合的特征: 6 集合的表示方法 (1)列举法:把集合中的元素 ,并用 括起来表示集合的方法叫列举法 (2)描述法:用集合所含元素的 表示集合的方法称为描述法,具体方法是:在 内写上表示这个集合元素的 及取值(或变化)范围,再画 ,在 后写出这 个集合中元素所具有的共同特征。 (3)用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合,这种图形称为 。用 Venn 图、数轴上的区间及直角 坐标平面中的图形等表示集合的方法称为 7.含有有限个元素的集合叫 ,含有无限个元素的集合叫 。 题型一 集合中元素的特性 例 1 判断下列命题的正误 (1)高个子同学可组成集合 ( )
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

(2)

?1, 2? ? ??1, 2 ??

( ( (

) ) ) )

(3) 0 ? N (4)

2 ? ?1, 2?
2

?0,11? ( (5)方程 x( x ?1) ? 0 的解集为
跟踪训练 1、(1)选用适当的符号填空:

A ? ? x | 2 x ? 3 ? 3x? , ?4
(2)说出下列三个集合的含义: ① ②

A , ?2

A;

?x | y ? x ?
2

?y | y ? x ?
2

?( x, y) | y ? x 2 ? ③ 2.判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:
1

(1) 大于 3 小于 11 的偶数;(2)我国的小河流;(3)非负奇数; (4)方程 x 2 ? 1 ? 0 的解;(5)某校 2007 级新生;(6)血压很高的人;(7)著名的数 学家;(8)平面直角坐标系内所有第三象限的点;(9)全班成绩好的学生
题型二 元素与集合的关系 例 2 所给下列关系正确的个数是( )

1 ? ?R 0 ? N? (4) ?3 ? N ? (1) 2 (2) 2 ? Q (3)
A. 1 个 B. 2 个 跟踪训练 1.下列说法正确的是 C. 3 个 ( ) D. 4 个

A.若 a ? N , b ? N 则 a ? b ? N B.若

x ? N? ,则 x ? Q

C.若 x ? 0 ,则 x ? N D. 若 x ? Z ,则 x ? Q 2.用符号 ? 或 ? 填空: (1)0
N ? ;(2) 2

Z ;(3)

3 2

Q ;(4) ?

Q;

x 2 ? 1 ? 0 的根

R;

题型三 集合的表示法 例 3 分别用列举法和描述法表示方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的解。
2

跟踪训练 1.用列举法表示下列集合。 (1)

A ? ? x | x ? x , x ? Z 且x ? 8?



? a b ? B ? ? x | x ? ? , a, b为非零实数? a b ? ?; (2)

6 ? ? C ? ?x | ? Z , x ? N? ? ? 3? x ?。 (3)
2.请用适当的方法表示下列集合: (1)方程 x ? 2 的实根组成的集合; (2)大于 20 的整数组成的集合;
2

(3)方程组 ?

?2 x ? y ? 0 的解的集合. ?x ? y ? 3 ? 0

2

题型四 注意集合中元素的互异性 例 4 已知集合

A ? ?1,3, a 2 ?

,若 3a ? 2 ? A ,求实数 a 的取值集合。

跟踪训练 1.(1)若

2 ? ?1, x, x 2 ? x?

,则实数 x 的取值是 ,求实数 x 的取值范围

(2)已知集合

A ? ?2, x 2 ? 2 x ? 1?

2.设 A 表示集合 {a 2 ?2a ? 3,2,3} ,B 表示集合 {2, | 3 ? a |} ,已知 5 ? A ,且 5 ? B ,求 a 。

课时训练 1.集合 A.

?x ? N

*

| x ? 5?
B.

的另一种表示法是



) D. )

?0,1, 2,3, 4?

?1, 2,3, 4?

C.

?0,1, 2,3, 4,5?


?1, 2,3, 4,5?

2.由大于-3 且小于 11 的偶数所组成的集合是 A. C.

? x | ?3 ? x ? 11, x ? Q? ? x | ?3 ? x ? 11, x ? 2k , k ? N ?
( B. D.

B. D.

? x | ?3 ? x ? 11?

? x | ?3 ? x ? 11, x ? 2k , k ? Z ?


3.下列各个集合是有限集的是 A. C.

?小于10000的自然数? ?小于10000的整数?
(2) 3 ? Q B. 2 个

? x | 0 ? x ? 1? ? x | x ? 1?
( )

4.下列所给关系正确的个数是 (1) ? ? R A. 1 个 5 已知集合 (3) 0 ? N
*

(4)

?4 ? N *

C. 3 个

D.4 个 ,若 6 ? A ,则 x ? 。

A ? ?2, 4, x 2 ? x?

6 用“ ? ”或“ ? ”填空 (1) (2) (3)

A ? ? x | x 2 ? x ? 0?

,则 1 ,则 1

A ,-2

A。 B ,1.5 B

B ? ? x |1 ? x ? 5, x ? N ?

C ? ? x | ?1 ? x ? 3, x ? Z ?

,则 0.2

C ,3

C

7.在数轴上画出下列集合所表示的范围: (1)

? x | x ? ?1? ;
3

(2) (3)

? x | ?1 ? x ? 3? ;

? x | x ? 2或x ? ?1? 。
A ? ?一条边长为2,一个角为300的等腰三角形?
B. 3 个 C. 4 个 D.无数个 ,则实数 a ? 。 ,则 A 中元素的个数为 ( )

8 已知集合 A. 2 个 9.已知

1? ? x | x 2 ? 3x ? a ? 0?

10 用列举法表示下列集合: (1) (2)

? x ? N | x是15的约数?

( ? x, y) | x ? ?1, 2? , y ??1, 2??

? ? x? y ? 2 ? ?( x, y ) | ? ? ? x ? 2 y ? 4? (3) ?
(4) (5) (6)

?x | x ? (?1) , n ? N ?
n

?( x, y) | 3x ? 2 y ? 16, x ? N , y ? N ?

?( x, y) | x, y分别是4的正整数约数?
9 ? N}; 9? x
9 ? N | x ? N}; 9? x

(7)A= {x ? N | (8)B= {

11.设 A 表示集合{2,3,a2+2a-3},B 表示集合{a+3,2},若已知 5∈A,且 5 ? B,求 实数 a 的值.

4

1.1.2 集合间的基本关系 知识梳理
(一) 集合与集合之间的“包含”关系; A={1,2,3},B={1,2,3,4} 集合 A 是集合 B 的部分元素构成的集合,我们说集合 B 包含集合 A; 如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这两个集合有包含关系,称 集合 A 是集合 B 的子集(subset) 。 记作: A ? B(或B ? A) 读作:A 包含于(is contained in)B,或 B 包含(contains)A 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A ?B 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系 A

B

A ? B(或B ? A)

(二) 集合与集合之间的 “相等”关系;

A ? B且B ? A ,则 A ? B 中的元素是一样的,因此 A ? B


?A ? B A?B?? ?B ? A

结论:任何一个集合是它本身的子集 (三) 真子集的概念 若集合 A ? B ,存在元素 x ? B且x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集 记作:A B(或 B A) 读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A) (四) 空集的概念 不含有任何元素的集合称为空集(empty set) ,记作: ? 规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 (五) 结论: 1 A? A 2 A ? B ,且 B ? C ,则 A ? C ○ ○

题型一 集合间关系的判定 例 1 下列各式正确的是 。
(1) (5)

? ? ?0? 0 ? ?0? ?a? ? ?a? ; ?1, 2,3? ? ?3, 2,1? ; (2) (3) ? ; (4) ;

?1? ? ? x | x ? 5? ?

; (6)

?1,3? ? ?3, 4? ?



跟踪训练
5

1.指出下列各对集合之间的关系: (1) (2) (3)

A ? ??1,1? , B ? ? x ? N | x 2 ? 1?

; ;

A ? ? x | x是等边三角形? , B ? ? x | x是三角形? A ? ? x | ?1 ? x ? 4? , B ? ? x | x ? 5 ? 0?


2.如果 M={x|x+1>0},则( A. ? ∈M B.0 M

) C.{0}∈M D.{0}? M

题型二 子集关系的理解应用 例 2 写出满足 跟踪训练
1.已知

?a, b? ? A ? ?a, b, c, d ? 的所有集合 A
? 1 ? 0? ? A ? ??1, 0,1?
?

?x | x

2

,试写出集合 A 的子集.

2.已知集合 A={-1,3,2m-1},集合 B={3,m2},若 B? A,则实数 m= 题型三 例3若 集合相等
,b ? .

.

?1, 2? ? ?x | x 2 ? ax ? b ? 0? ,则 a ?

跟踪训练
1.设 a, b ? R, ,集合

?1, a ? b, a? ? ? ?0,

b ? , b? ? a ? ,则 b ? a ?

2.已知三元集合A={ x , xy , x ? y } ,B={ 0, | x |, y } ,且A=B,求 x与y 的值.

课时训练
1.下列关系: (1)

1? ?0,1, 2?

;(2)

?0,1, 2? ?1? ? ?0,1, 2? ;(3) ? ? ?0,1, 2? ? ?0, 2,1? ;(5) ? ;(4)
( )

?0,1, 2? ? ?2, 0,1? 其中错误的个数为
A. 1个 B.2 个 C.3 个 的真子集的个数为 2.集合

D.4 个 ( )

M ? ?2, 4, 6?

A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个 3.用 Venn 图画出表示下列两个集合的关系的图像:

(1) A ? ?0,1, 2? , B ? ?1, 2, 4?

6

(2) A ? ?0,1, 2,3? , B ? ?1, 2,3?
4.已知集合

A ? ?1, 2, x? , B ? ?1, 2, x 2 ?

且 A ? B ,求实数 x 的值。

5.写出满足

A ? ?a, b, c, d , e? ?a, b? ? ?

的所有集合 A .

6.(1)写出集合

?1, 2,3? 的所有真子集。

(2)集合

?1, 2,3? 的子集有

个,真子集有

个,非空真子集有

个.

k k ? ? ? ? A ? ?x | x ? , k ? Z ?, B ? ?x | x ? , k ? Z ? 3 6 ? ? ? ? ,则 ( 7.已知集合
A.

)

A? B
?

B.

B? A
?

C. A ? B

D. A 与 B 关系布确定 ,则 M , P 的关系是

8.已知集合 9.集合

M ? ?( x, y ) | x ? y ? 0, xy ? 0? , P ? ?( x, y ) | x ? 0, y ? 0?
,且

A ? ?1,3, a? , B ? ?a 2 ?

B? A
?

,求实数 a 的取值的集合。

10.已知集合: 范围。

A ? ? x | ?1 ? x ? 5? , B ? ? x | m ? 5 ? x ? 2m ? 3? ,

且 A ? B 求实数 m 的取值

11.设集合 A={-1,1},集合 B={x|x2-2ax+b=0},若 B≠ ? ,B? A,求 a,b 的值.

12.已知集合 A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}. (1)若 A B,求 a 的取值范围.

(2)若 B? A,求 a 的取值范围.

7

13.已知集合 M ? ? x x ? m ?

? ?

p 1 ? ? ? 1 n 1 , m ? z ?, Z ? ? x x ? ? , n ? Z ?, P ? {x x ? ? , 2 6 6 2 3 ? ? ?

p ? Z } ,则 M,N,P 满足的关系是:

1.1.3 集合的基本运算 知识梳理
1.并集的定义: 一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与集合 B 的并集(union set) 。记作:A∪B(读作: “A 并 B” ) ,即 A ? B ?? x x? , 或 Ax ? B? 用 Venn 图表示:

讨论:A∪B 与集合 A、B 有什么特殊的关系? A∪A= , A∪Ф = , A∪B

B∪A

A∪B=A ? , A∪B=B ? . 巩固练习: ①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∪B= ; ②.设 A={锐角三角形},B={钝角三角形},则 A∪B= ; ③.A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∪B= 。 2.交集的定义: 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,叫做集合 A、 B 的交集(intersection set) ,记作 A∩B(读“A 交 B” )即: A∩B={x|x∈A,且 x∈B} 用 Venn 图表示: (阴影部分即为 A 与 B 的交集)

8

常见的五种交集的情况:
B A B

B A

A(B)

A

A

B

讨论:A∩B 与 A、B、B∩A 的关系? A∩A= A∩Ф =

A∩B

B∩A

A∩B=A ? A∩B=B ? 巩固练习: ①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∩B= ; ②.A={等腰三角形},B={直角三角形},则 A∩B= ; ③ .A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∩B= 。 3.全集的定义: 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这 个集合为全集 (universe set) ,记作 U, 是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 4. 补集的定义: 对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合,叫做 集合 A 相对于全集 U 的补集(complementary set) ,记作: CU A , 读作: “A 在 U 中的补集” ,即
CU A ? ?x x ?U , 且x ? A?

用 Venn 图表示: (阴影部分即为 A 在全集 U 中的补集)

讨论:集合 A 与 CU A 之间有什么关系?→借助 Venn 图分析

A? C , A? U C A? , U U ( C U C) A ? A U A? ? CUU ? ?, CU ? ? U 巩固练习: ①.U={2,3,4},A={4,3},B=φ ,则 CU A = , CU B = ; ②.设 U={x|x<8,且 x∈N},A={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},则 CU A =
③.设 U={三角形},A={锐角三角形},则 CU A = 题型一 交集与并集的运算
例 1 若集合

; 。

M ? ? x | ?2 ? x ? 2? , N ? ? x | 0 ? x ? 3? ,

求 M ? N, M ? N 。

跟踪训练 1,已知集合

M ? ? y | y ? x 2 ? 4 x ? 3, x ? R? , N ? ? y | y ? ? x 2 ? 2 x ? 8, x ? R?
9



求M ?N 。

2.设集合 A ? ? x ?1 ? x ? 2? , B ? ? x 1 ? x ? 3? ,求 A∪B.

题型二 集合交、并、补的综合运算
例 2 已知全集 A.

U ? ?1, 2,3, 4,5, 6?
B.

,集合

A ? ?1, 2,5? Cu B ? ?4,5, 6?
D.

,则集合 A ? B ?

?1, 2?

?5?

C .

?1, 2,3?

?3, 4, 6?

跟踪训练
1.设集合

A ? ?4,5, 7,9? , B ? ?3, 4, 7,8,9?
B. 4 个

C ( A ? B) 中的元素 ,全集 U ? A ? B ,则集合 U
D.6 个

共有 ( ) A. 3 个

C.5 个

题型三 补集的运算
例3设
2 U ? ? x | ?5 ? x ? ?2, 或2 ? x ? 5, x ? Z ? A x | x ? 2 x ? 15 ? 0 , B ? ??3,3, 4?

,

?

?

,求

CU A, CU B .

跟踪训练
1.已知集合

A ? ? x | x ? 1或x ? ?3? , B ? ? x | ?4 ? x ? 0?

,求

A ? B, A ? (CR B),(CR A) ? B.

2.设集合 U ? R, A ? {x | ?1 ? x ? 5}, B ? {x | 3 ? x ? 9}, 求A ? B, ? U ( A ? B)

课时训练
1.若集合

M ? ? x | ?2 ? x ? 2? , N ? ? x | x 2 ? 3x ? 0?

,则 M ? N ?

(

)

A.
2.设集合

?3?

B.

?0?

C.

?0, 2?

D. ?0,3?
( )

A ? ?1, 2? , B ? ?1, 2,3? , C ? ?2,3, 4?

,则 ( A ? B) ? C ?

A.

?1, 2,3?

B.

?1, 2, 4?
10

C.

?2, 3, 4?

D. ?1, 2,3, 4?

3.满足

?1,3? ? A ? ?1,3,5? 的所有集合 A 的个数是
B. 2 个
,集合





A.

1 个

C. 3 个
,则

D. 4 个

4.设全集

U ? ?1, 2,3, 4,5?

M ? ?1, 4? , N ? ?1,3,5?

N ? (CU M ) ?
D. ?4,5?
( )

A.

?1,3?

B.

?1,5?

C.

?3,5?

5.设集合

M ? ?1, 2, 4,8? , N ? ? x | x是2的倍数?

,则 M ? N ?

A.

?2, 4?

B.

?1, 2, 4?

C.

?2, 4,8?
( )

D. ?1, 2,8?

6.设集合

M ? ? x | 0 ? x ? 1? , N ? ? x | ?2 ? x ? 2?

,则

A. M ? N ? ?
7.设集合

B. M ? N ? M
,则满足

C. M ? N ? M
的集合 B 的个数是 (

D. M ? N ? R


A ? ?1, 2?

A ? B ? ?1, 2,3?

A.

1 个

B. 3 个
( )

C. 4 个

D. 8 个

8.下列各式中,正确的是

A. 2 ? ? x | x ? 2? C.

B.

? x | y ? x ? 1? ? ?( x, y ) | y ? x ? 1?

? x | x ? 4k ? 1, k ? Z ? ? ? x | x ? 2k ? 1, k ? Z ?

D. ? x | x ? 3k ? 1, k ? Z ? ? ? x | x ? 3k ? 2, k ? Z ?
9.已知

A ? ?2,5? , B ? ? x | x 2 ? px ? q ? 0? , A ? B ? A, A ? B ? ?5? ,求 p, q 的值。

10.设全集

U ? ?2,3, a 2 ? 2a ? 3? , A ? ? 2a ? 1 , 2?



CU A ? ?5?

,求实数 a 的值。

11

1.1.4

集合的综合问题
,若 A ? B ,求 p 的取值范围。

题型一 利用集合之间的关系求字母参数的取值范围
例1设

A ? ? x | 4 x ? p ? 0? , B ? ? x | x ? ?1或x ? 2?

跟踪训练 设集合

M ? ? x | x ? 3? , N ? ? x | x ? ?2? , Q ? ? x | x ? a ? 0? ,

令 P ? M ? N,若

P ? Q ? Q ,求实数 a 的取值范围。

题型二 集合交、并、补的综合运算
例2设

U ? ?1, 2,3, 4,5? , A, B U A ? B ? ?2? , (CU A) ? B ? ?4? 为 的子集,若 ,
,则下列结论正确的是 ( )

(CU A) ? (CU B) ? ?1,5?

A.

3 ? A,3 ? B

B. 3 ? A,3 ? B

C. 3 ? A,3 ? B

D. 3 ? A,3 ? B

跟踪训练


A ? ?0, 2, 4, 6? , CU A ? ??1, ?3,1,3? , CU B ? ??1, 0, 2?

,求 B .

题型三
例 3 已知

分类讨论解集合问题
A ? ?2, 4, a 3 ? 2a 2 ? a ? 7?, B ? ?1, a ? 3, a 2 ? 2 a ? 2, a 3 ? a 2 ? 3a ? 7 ?
,求 A ? B 。 ,且

A ? B ? ?2,5?

跟踪训练
已知集合

A ? ?1,3, a 2 ? , B ? ?1,3a ? 2?

,是否存在实数 a 使得 B ? A ?若实数 a 存在,求集

合 A 和 B ;若实数 a 不存在,请说明理由。

12

课时训练 1 已知集合

A ? ? x | ?1 ? x ? 2? , B ? ? x | ?1 ? x ? 1?

,则

(

)

A.

A? B
?

A B. B ? ?

C. A ? B

D. A ? B ? ?

2 下列五个关系式:(1) 确的个数 ( )

?0? ? ? ;(2) ? ? 0 ;(3) ?0? ? ? ;(4) 0 ?? ;(5) ? ? ?0? ,其中正
B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

A.

1 个

3.下列语句: (1)0 与

?0? 表示同一个集合; ?1, 2,3? 或 ?3, 2,1? ;

(2)由 1, 2,3 组成的集合可表示为
2 2

?1,1, 2? ; (3)方程 ( x ?1) ( x ? 2) ? 0 的所有解的集合可表示为
(4)集合 正确的是

? x | 4 ? x ? 5? 是有限集。
( )

A.

只有(1)和(4)

B. 只有(2)和(3) C. 只有(2)
集合

D. 以上语句都不对


4.已知全集

U ? ?1, 2,3, 4? ,

A ? ?1, 2? , B ? ?2,3?

,则

CU ( A ? B) ? (

A.

?1, 2, 4?
2

B.

?3, 4?

C.

?3?
2

D. ? 4?

A ? B ? ?1? 5.设方程 x ? px ? q ? 0 的解集为 A ,方程 x ? qx ? p ? 0 的解集为 B ,若 , ,
则 p?q ? ( )

A. 2
6.设集合

B. 0

C. 1

D. ? 1
,则 M ? N ?

M ? ? x | x 2 ? 2 x ? 0, x ? R? , N ? ? x | x 2 ? 2 x ? 0, x ? R?
B.

A.

?0?

?0, 2?
,定义

C.

??2, 0?

D. ??2, 0, 2?
,则 P ? Q 中元

7.设集合 素个数为

P ? ?3, 4,5? , Q ? ?4,5, 6, 7?
( )

P ? Q ? ?(a, b) | a ? P, b ? Q?

A. 3 个
8.已知集合 9.已知集合

B. 4 个

C. 7 个

D. 12 个
,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是 , 若

A ? ? x |1 ? x ? 3? , B ? ? x | a ? x ? a ? 3?

A ? ?a 2 , a ? 1, ?3? , B ? ?a ? 3, 2a ? 1, a 2 ? 1?

A ? B ? ??3?

, 求实数 a 的值。

13

10.已知集合

A ? ? x | 3 ? x ? 7? B ? ? x | 2 ? x ? 10? , C ? ? x | x ? a?

.

(1)求 A ? B ; (2)求

(CR A) ? B ;

(3)若 A ? A ? A ,求 a 的取值范围。

2 2 2 2 11.已知 A ? x|x ? ax ? a ? 19 ? 0 , B ? x | x ? 5x ? 6 ? 0 , C ? x|x ? 2 x ? 8 ? 0

?

?

?

?

?

?

①.若 A ? B ? A ? B ,求 a 的值. ②.若 A ? C ? C ,求 a 的值.

14


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