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2017版高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其概率分布 12.6 离散型随机变量的均值与方差 理

时间:2016-05-28

【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第十二章 概率、 随机变量及其概率分布 12.6 离散型随机变量的均值与方差 理

1.离散型随机变量的均值与方差 一般地,若离散型随机变量 X 的概率分布为

X P
(1)均值

x1 p1

x2 p2

? ?

xi pi

? ?

xn pn

称 E(X)=μ =x1p1+x2p2+?+xipi+?+xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望, 它反映了离散 型随机变量取值的平均水平. (2)方差
n

称 V(X)=σ =(x1-μ ) p1+(x2-μ ) p2+?+(xn-μ ) pn=∑ xipi-μ 为随机变量 X 的方差, i=1 它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度, 其算术平方根 σ = V?X?为随机变量

2

2

2

2

2

2

X 的标准差.
2.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=aE(X)+b. (2)V(aX+b)=a V(X).(a,b 为常数) 3.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若 X 服从两点分布,则 E(X)=__p__,V(X)=p(1-p). (2)若 X~B(n,p),则 E(X)=__np__,V(X)=np(1-p). 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定.( √ )
2

(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越 小,则偏离变量的平均程度越小.( √ ) (3)若随机变量 X 的取值中的某个值对应的概率增大时,期望值也增大.( × ) (4)均值是算术平均数概念的推广,与概率无关.( × )

1

1.(教材改编)某射手射击所得环数 ξ 的概率分布如下: ξ 7 8 0.1 9 0.3 10

P

x

y

已知 ξ 的均值 E(ξ )=8.9,则 y 的值为________. 答案 0.4
?x+0.1+0.3+y=1, ? 解析 由? ?7x+8×0.1+9×0.3+10y=8.9, ?

可得 y=0.4. 2.(2014·陕西改编)设样本数据 x1,x2,?,x10 的均值和方差分别为 1 和 4,若 yi=xi+a(a 为非零常数,i=1,2,?,10),则 y1,y2,?,y10 的均值和方差分别为__________. 答案 1+a,4 解析

x1+x2+?+x10
10

=1,yi=xi+a,所以 y1,y2,?,y10 的均值为 1+a,方差不变仍为 4.

1 3.设随机变量 X 的概率分布为 P(X=k)= (k=2,4,6,8,10),则 V(X)=________. 5 答案 8 1 解析 ∵E(X)= (2+4+6+8+10)=6, 5 1 2 2 2 2 2 ∴V(X)= [(-4) +(-2) +0 +2 +4 ]=8. 5 1 4.(2014·浙江改编)随机变量 ξ 的取值为 0,1,2.若 P(ξ =0)= ,E(ξ )=1,则 V(ξ )= 5 ________. 答案 2 5

解析 设 P(ξ =1)=a,P(ξ =2)=b, 1 ? ? +a+b=1, 则?5 ? ?a+2b=1, 3 a= , ? ? 5 解得? 1 b= , ? ? 5

1 3 1 2 所以 V(ξ )= + ×0+ ×1= . 5 5 5 5 5.(教材改编)抛掷两枚骰子,当至少一枚 5 点或一枚 6 点出现时,就说这次试验成功,则在 10 次试验中成功次数的均值为________.
2

答案

50 9

4 4 4 解析 抛掷两枚骰子, 当两枚骰子不出现 5 点和 6 点时的概率为 × = , 所以至少有一次出 6 6 9 4 5 5 现 5 点或 6 点的概率为 1- = ,用 X 表示 10 次试验中成功的次数,则 X~B(10, ),E(X) 9 9 9 5 50 =10× = . 9 9

题型一 离散型随机变量的均值、方差 命题点 1 求离散型随机变量的均值、方差 例1 (2015·福建)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误,该银行卡

将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正 确密码是他常用的 6 个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码正 确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为 X,求 X 的概率分布和均值. 解 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A, 5 4 3 1 则 P(A)= × × = . 6 5 4 2 (2)依题意得,X 所有可能的取值是 1,2,3. 1 5 1 1 5 4 2 又 P(X=1)= ,P(X=2)= × = ,P(X=3)= × ×1= . 6 6 5 6 6 5 3 所以 X 的概率分布为

X P
1 1 2 5 所以 E(X)=1× +2× +3× = . 6 6 3 2

1 1 6

2 1 6

3 2 3

命题点 2 已知离散型随机变量的均值与方差,求参数值 例 2 设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一 个黄球得 2 分,取出一个蓝球得 3 分. (1)当 a=3,b=2,c=1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记 随机变量 ξ 为取出此 2 球所得分数之和,求 ξ 的概率分布;
3

(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量 η 为取出此球所得分数.若

E(η )= ,V(η )= ,求 a∶b∶c.
解 (1)由题意得 ξ =2,3,4,5,6. 3×3 1 2×3×2 1 故 P(ξ =2)= = ,P(ξ =3)= = , 6×6 4 6×6 3

5 3

5 9

P(ξ =4)= P(ξ =6)=

2×3×1+2×2 5 2×2×1 1 = ,P(ξ =5)= = , 6×6 18 6×6 9 1×1 1 = . 6×6 36

所以 ξ 的概率分布为 ξ 2 1 4 3 1 3 4 5 18 5 1 9 6 1 36

P
(2)由题意知 η 的概率分布为 η

1

2

3

P
所以 E(η )=

a a+b+c

b a+b+c

c a+b+c

a 2b 3c 5 + + = , a+b+c a+b+c a+b+c 3
5?

V(η ) = ?1- ? 2· 3

? ?

?

a b c 5 ? 5? 2 ? 5? 2 + ?2- ? · + ? 3- ? · = .化简得 3 3 a+b+c a + b + c a + b + c 9 ? ? ? ?

? ?2a-b-4c=0, ? ?a+4b-11c=0. ?

解得 a=3c,b=2c,故 a∶b∶c=3∶2∶1. 命题点 3 与二项分布有关的均值与方差 例 3 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和 B, 系统 A 和系统 B 在任意 时刻发生故障的概率分别为 1 和 p. 10

49 (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ,求 p 的值; 50 (2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ξ , 求 ξ 的概率分布及 均值 E(ξ ). 解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C,那么 1 49 1 1-P( C )=1- ·p= ,解得 p= . 10 50 5

4

1 ? 1 ?3 (2)由题意,得 P(ξ =0)=? ? = , ?10? 1 000
2 P(ξ =1)=C1 × = 3?1- 10? ?10?

? ?

1?

?1? ? ? ?
1?

27 , 1 000

P(ξ =2)=C2 3×?1- ? 2× = 10

? ?

?

1 243 , 10 1 000

P(ξ =3)=?1- ?3= 10

? ?

1?

?

729 . 1 000

所以,随机变量 ξ 的概率分布为 ξ 0 1 1 000 1 27 1 000 2 243 1 000 3 729 1 000

P
故随机变量 ξ 的均值

E(ξ )=0×

1 27 243 729 27 +1× +2× +3× = . 1 000 1 000 1 000 1 000 10

9 9 27 (或∵ξ ~B(3, ),∴E(ξ )=3× = .) 10 10 10 思维升华 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略 (1)求离散型随机变量的均值与方差. 可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布, 然后利 用均值、方差公式直接求解. (2)由已知均值或方差求参数值.可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程,解方 程即可求出参数值. (3)由已知条件,作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义,对实际问题作出判断. (1)(2014·山东)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分, 如图, 甲上有两个不相交的区域 A, B, 乙被划分为两个不相交的区域 C,

D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在 C 上记 3
分,在 D 上记 1 分,其他情况记 0 分.对落点在 A 上的来球,队员小明回球的落点在 C 上的 1 1 1 概率为 ,在 D 上的概率为 ;对落点在 B 上的来球,小明回球的落点在 C 上的概率为 ,在 D 2 3 5 3 上的概率为 .假设共有两次来球且落在 A,B 上各一次,小明的两次回球互不影响.求: 5 ①小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; ②两次回球结束后,小明得分之和 ξ 的概率分布与均值. 解 ①记 Ai 为事件“小明对落点在 A 上的来球回球的得分为 i 分”(i=0,1,3), 1 1 1 1 1 则 P(A3)= ,P(A1)= ,P(A0)=1- - = . 2 3 2 3 6 记 Bj 为事件“小明对落点在 B 上的来球回球的得分为 j 分”(j=0,1,3),
5

1 3 1 3 1 则 P(B3)= ,P(B1)= ,P(B0)=1- - = . 5 5 5 5 5 记 D 为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上”. 由题意,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3, 由事件的独立性和互斥性,得

P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)
=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3) =P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3) 1 1 1 1 1 3 1 1 3 = × + × + × + × = , 2 5 3 5 6 5 6 5 10 3 所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为 . 10 ②由题意,得随机变量 ξ 可能的取值为 0,1,2,3,4,6, 由事件的独立性和互斥性,得

P(ξ =0)=P(A0B0)= × = , P(ξ =1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)
1 1 1 3 1 = × + × = , 3 5 6 5 6

1 1 6 5

1 30

P(ξ =2)=P(A1B1)= × = , P(ξ =3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)
1 1 1 1 2 = × + × = , 2 5 6 5 15

1 3 3 5

1 5

P(ξ =4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)
1 3 1 1 11 = × + × = , 2 5 3 5 30

P(ξ =6)=P(A3B3)= × = .
可得随机变量 ξ 的概率分布为 ξ 0 1 30 1 1 6 2 1 5 3 2 15 4 11 30 6 1 10

1 1 2 5

1 10

P

1 1 1 2 11 1 91 所以均值 E(ξ )=0× +1× +2× +3× +4× +6× = . 30 6 5 15 30 10 30 (2)(2014·辽宁)一家面包房根据以往某种面包的销售记录, 绘制了日销售量的频率分布直方 图,如图所示.
6

将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. ①求在未来连续 3 天里, 有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率; ②用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数, 求随机变量 X 的概率分布, 均值 E(X) 及方差 V(X). 解 ①设 A1 表示事件“日销售量不低于 100 个”,A2 表示事件“日销售量低于 50 个”,B 表 示事件“在未来连续 3 天里有连续 2 天的日销售量不低于 100 个且另一天销售量低于 50 个”.因此

P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6, P(A2)=0.003×50=0.15, P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.
②X 可能取的值为 0,1,2,3,相应的概率为
3 P(X=0)=C0 3(1-0.6) =0.064, 2 P(X=1)=C1 3·0.6(1-0.6) =0.288, 2 P(X=2)=C2 3·0.6 (1-0.6)=0.432, 3 P(X=3)=C3 3·0.6 =0.216,

可得随机变量 X 的概率分布为

X P

0 0.064

1 0.288

2 0.432

3 0.216

因为 X~B(3,0.6),所以均值 E(X)=3×0.6=1.8, 方差 V(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72. 题型二 均值与方差在决策中的应用 例 4 (2014·湖北)计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站. 过去 50 年的水文资 料显示,水库年入流量 X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都 在 40 以上.其中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的入流量 相互独立. (1)求未来 4 年中,至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率;
7

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制, 并有如下关系: 年入流量 X 发电机最多可运行台数 40<X<80 1 80≤X≤120 2

X>120
3

若某台发电机运行,则该台年利润为 5 000 万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台? 10 解 (1)依题意,得 p1=P(40<X<80)= =0.2, 50

p2=P(80≤X≤120)= =0.7, p3=P(X>120)= =0.1.
由二项分布,在未来 4 年中,至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为
4 1 3 p=C0 4(1-p3) +C4(1-p3) p3

35 50

5 50

9 4 9 3 1 =( ) +4×( ) ×( )=0.947 7. 10 10 10 (2)记水电站年总利润为 Y(单位:万元). ①安装 1 台发电机的情形. 由于水库年入流量总大于 40,故一台发电机运行的概率为 1,对应的年利润 Y=5 000,E(Y) =5 000×1=5 000. ②安装 2 台发电机的情形. 依题意,当 40<X<80 时,一台发电机运行,此时 Y=5 000-800=4 200,因此 P(Y=4 200) =P(40<X<80)=p1=0.2;当 X≥80 时,两台发电机运行,此时 Y=5 000×2=10 000,因此

P(Y=10 000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8.由此得 Y 的概率分布如下: Y P
4 200 0.2 10 000 0.8

所以,E(Y)=4 200×0.2+10 000×0.8=8 840. ③安装 3 台发电机的情形. 依题意,当 40<X<80 时,一台发电机运行,此时 Y=5 000-1 600=3 400,因此 P(Y=3 400) =P(40<X<80)=p1=0.2; 当 80≤X≤120 时, 两台发电机运行, 此时 Y=5 000×2-800=9 200, 因此 P(Y=9 200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7; 当 X>120 时, 三台发电机运行, 此时 Y=5 000×3 =15 000,因此 P(Y=15 000)=P(X>120)=p3=0.1,由此得 Y 的概率分布如下:

Y P

3 400 0.2

9 200 0.7

15 000 0.1

所以,E(Y)=3 400×0.2+9 200×0.7+15 000×0.1=8 620.
8

综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机 2 台. 思维升华 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均 值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依 据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定. 某投资公司在 2015 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目上,现有两个 项目供选择: 项目一: 新能源汽车. 据市场调研, 投资到该项目上, 到年底可能获利 30%, 也可能亏损 15%, 7 2 且这两种情况发生的概率分别为 和 ; 9 9 项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利 50%,可能损失 30%,也 3 1 1 可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为 , 和 . 5 3 15 针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由. 解 若按“项目一”投资,设获利为 X1 万元.则 X1 的概率分布为

X1 P

300 7 9

-150 2 9

7 2 ∴E(X1)=300× +(-150)× =200(万元). 9 9 若按“项目二”投资,设获利为 X2 万元, 则 X2 的概率分布为:

X2 P

500 3 5

-300 1 3

0 1 15

3 1 1 ∴E(X2)=500× +(-300)× +0× =200(万元). 5 3 15

V(X1)=(300-200)2× +(-150-200)2×
=35 000,

7 9

2 9

V(X2)=(500-200)2× +(-300-200)2× +(0-200)2× =140 000.
∴E(X1)=E(X2),V(X1)<V(X2), 这说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥. 综上所述,建议该投资公司选择项目一投资.

3 5

1 3

1 15

9

8.离散型随机变量的均值与方差问题

典例 (14 分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球,已知甲袋中共有 m 个球,乙袋中 2 共有 2m 个球,从甲袋中摸出 1 个球为红球的概率为 ,从乙袋中摸出 1 个球为红球的概率为 5

P2.
(1)若 m=10,求甲袋中红球的个数; 1 (2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后,从中摸出 1 个红球的概率是 ,求 P2 的值; 3 1 (3)设 P2= ,若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球,每次摸出 1 个球,并且从甲袋中摸 1 次, 5 从乙袋中摸 2 次.设 ξ 表示摸出红球的总次数,求 ξ 的概率分布和均值. 思维点拨 (1)概率的应用,知甲袋中总球数为 10 和摸 1 个为红球的概率,求红球.(2)利用 方程的思想,列方程求解.(3)求概率分布和均值,关键是求 ξ 的所有可能值及每个值所对 应的概率. 规范解答 解 (1)设甲袋中红球的个数为 x, 2 依题意得 x=10× =4.[4 分] 5 2 m+2mP2 5 1 3 (2)由已知,得 = ,解得 P2= .[6 分] 3m 3 10 (3)ξ 的所有可能值为 0,1,2,3.

P(ξ =0)= × × =

3 4 4 48 , 5 5 5 125 2 4 4 3 5 5 5 5 2 1 1 4 56 , 5 5 125

P(ξ =1)= × × + ×C1 2× × =
4 3

2 P(ξ =2)= ×C1 , 2× × + ×? ? = 5 5 5 5 ?5? 125

?1?

19

P(ξ =3)= ×? ?2= 5

2 ?1? 5 ? ?

2 .[10 分] 125

所以 ξ 的概率分布为 ξ 0 48 125 1 56 125 2 19 125 3 2 125

P
[12 分]

10

48 56 19 2 4 所以 E(ξ )=0× +1× +2× +3× = .[14 分] 125 125 125 125 5

求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步:确定随机变量的所有可能值. 第二步:求每一个可能值所对应的概率. 第三步:列出离散型随机变量的概率分布. 第四步:求均值和方差. 第五步:反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.

温馨提醒 (1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的概率分布、均值.(2)本题解答中的 典型错误是计算不准确以及解答不规范.如第(3)问中,不明确写出 ξ 的所有可能值,不逐 个求概率,这都属于解答不规范.

[方法与技巧] 1.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=aE(X)+b,V(aX+b)=a V(X)(a,b 为常数). (2)若 X 服从两点分布,则 E(X)=p,V(X)=p(1-p). (3)若 X 服从二项分布,即 X~B(n,p),则 E(X)=np,V(X)=np(1-p). 2.求离散型随机变量的均值与方差的基本方法 (1)已知随机变量的概率分布求它的均值、方差,按定义求解. (2)已知随机变量 X 的均值、方差,求 X 的线性函数 Y=aX+b 的均值、方差,可直接用 X 的 均值、方差的性质求解. (3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等),利用它们的均值、方差 公式求解. [失误与防范] 1.在没有准确判断概率分布模型之前不能随便套用公式. 2.对于应用问题,必须对实际问题进行具体分析,一般要将问题中的随机变量设出来,再进 行分析,求出随机变量的概率分布,然后按定义计算出随机变量的均值、方差.
2

11

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) 1.若 X~B(n,p),且 E(X)=6,V(X)=3,则 P(X=1)的值为________. 答案 3×2
-10

解析

? ?np=6, 由题意知? ?np?1-p?=3, ?

1 ? ?p= , 解得? 2 ? ?n=12.

1 1 11 12 1 -10 ∴P(X=1)=C12× ×(1- ) = 12=3×2 . 2 2 2 1 2.随机变量 ξ 的概率分布如下,其中 a、b、c 为等差数列,若 E(ξ )= ,则 V(ξ )的值为 3 ________. ξ -1 0 1

P
答案 5 9

a

b

c

解析 由概率分布得 a+b+c=1,① 1 1 由均值 E(ξ )= 得-a+c= ,② 3 3 由 a、b、c 为等差数列得 2b=a+c,③ 1 1 1 由①②③得 a= ,b= ,c= , 6 3 2 1 16 1 1 1 4 5 所以 V(ξ )= × + × + × = . 6 9 3 9 2 9 9 3.某班从 4 名男生、2 名女生中选出 3 人参加志愿者服务,若选出的男生人数为 ξ ,则 ξ 的方差 V(ξ )=________. 答案 0.4 解析 依题意,随机变量 ξ 服从超几何分布,ξ 可能的取值为 1,2,3.

P(ξ =k)=

C4C2 3 ,k=1,2,3. C6

k 3-k

ξ 的概率分布为 ξ 1 1 5 2 3 5 3 1 5

P E(ξ )=1× +2× +3× =2.
1 5 3 5 1 5

12

V(ξ )= ×(1-2)2+ (2-2)2+ (3-2)2=0.4.
4.一个袋子中装有 6 个红球和 4 个白球,假设每一个球被摸到的可能性是相等的.从袋子中 摸出 2 个球,其中白球的个数为 X,则 X 的均值是________. 答案 4 5

1 5

3 5

1 5

解析 根据题意知 X=0,1,2, C6 15 而 P(X=0)= 2 = ; C10 45 C6C4 24 P(X=1)= 2 = ; C10 45
1 1 2

P(X=2)= 2 = .
15 24 6 36 4 故 E(X)=0× +1× +2× = = . 45 45 45 45 5 5.设随机变量 ξ ~B(5,0.5),又 η =5ξ ,则 E(η )和 V(η )的值分别是________. 答案 25 125 , 2 4

C4 6 C10 45

2

解析 因为随机变量 ξ ~B(5,0.5),所以 n=5,p=0.5, 5 所以 E(ξ )=np=5×0.5= , 2 5 25 所以 E(η )=E(5ξ )=5E(ξ )=5× = . 2 2 5 因为 V(ξ )=np(1-p)=5×0.5×(1-0.5)= , 4 5 125 2 所以 V(η )=V(5ξ )=5 V(ξ )=25× = . 4 4 6.已知随机变量 ξ ________. 答案 7 16 的概率分布为 P(ξ =k)= 1 2
k-1

,k=1,2,3,?,n,则 P(2<ξ ≤5)=

解析 P(2<ξ ≤5)=P(ξ =3)+P(ξ =4)+P(ξ =5) 1 1 1 7 = + + = . 4 8 16 16 7.签盒中有编号为 1、2、3、4、5、6 的六支签,从中任意取 3 支,设 X 为这 3 支签的号码 之中最大的一个,则 X 的均值为________. 答案 5.25
13

解析 由题意可知,X 可以取 3,4,5,6,

P(X=3)= 3= ,P(X=4)= 3= , P(X=5)= 3= ,P(X=6)= 3= .
由均值的定义可求得 E(X)=5.25. 8.某超市为了响应环保要求,鼓励顾客自带购物袋到超市购物,采取了如下措施:对不使用 超市塑料购物袋的顾客,超市给予 9.6 折优惠;对需要超市塑料购物袋的顾客,既要付购买 费,也不享受折扣优惠.假设该超市在某个时段内购物的人数为 36 人,其中有 12 位顾客自 己带了购物袋,现从这 36 人中随机抽取两人. (1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率; (2)设这两人中享受折扣优惠的人数为 ξ ,求 ξ 的概率分布和均值. 解 (1)设“两人都享受折扣优惠”为事件 A, “两人都不享受折扣优惠”为事件 B, C12 11 C24 46 则 P(A)= 2 = ,P(B)= 2 = . C36 105 C36 105 因为事件 A,B 互斥, 11 46 57 19 则 P(A∪B)=P(A)+P(B)= + = = . 105 105 105 35 19 故这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是 . 35 (2)根据题意,得 ξ 的可能取值为 0,1,2. 46 C12C24 16 其中 P(ξ =0)=P(B)= ,P(ξ =1)= 2 = , 105 C36 35
1 1 2 2

1 1 C6 20
2

C3 C6 C5 C6
2

2

3 20 1 2

C4 3 C6 10

P(ξ =2)=P(A)=

11 . 105

所以 ξ 的概率分布为 ξ 0 46 105 1 16 35 2 11 105

P

46 16 11 70 2 所以 E(ξ )=0× +1× +2× = = . 105 35 105 105 3 9.现有一游戏装置如图,小球从最上方入口处投入,每次遇到黑色障碍物等 可能地向左、右两边落下.游戏规则为:若小球最终落入 A 槽,得 10 张奖票; 若落入 B 槽,得 5 张奖票;若落入 C 槽,得重投一次的机会,但投球的总次数 不超过 3 次.

14

(1)求投球一次,小球落入 B 槽的概率; (2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量 X,求 X 的概率分布及均值. 1 2 1 2 1 解 (1)由题意可知投一次小球,落入 B 槽的概率为( ) +( ) = . 2 2 2 1 2 1 (2)落入 A 槽的概率为( ) = , 2 4 1 落入 B 槽的概率为 , 2 1 2 1 落入 C 槽的概率为( ) = . 2 4

X 的所有可能取值为 0,5,10, P(X=0)=( )3= , P(X=5)= + × +( )2× = . P(X=10)= + × +( )2× = .
所以 X 的概率分布为 1 1 1 4 4 4 1 4 1 21 4 64 1 1 2 4 1 2 1 4 1 21 2 32 1 4 1 64

X P E(X)=0× +5× +10× =
1 64 21 32 21 64 105 . 16

0 1 64

5 21 32

10 21 64

B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 10.老师为研究男女同学数学学习的差异情况,对某班 50 名同学(其中男同学 30 名,女同学 20 名)采取分层抽样的方法,抽取一个样本容量为 10 的样本进行研究,某女同学甲被抽到的 概率为________. 答案 1 5

10 解析 由题意知,在抽出的容量为 10 的样本中,有 ×20=4 名女同学,每个女同学被抽到 50 4 1 的概率是一样的,所以某女同学甲被抽到的概率为 = . 20 5 11. 袋中装有大小完全相同, 标号分别为 1,2,3, ?, 9 的九个球. 现从袋中随机取出 3 个球. 设 ξ 为这 3 个球的标号相邻的组数(例如:若取出球的标号为 3,4,5,则有两组相邻的标号 3,4 和 4,5,此时 ξ 的值是 2),则随机变量 ξ 的均值 E(ξ )为________.

15

答案

2 3

解析 依题意得,ξ 的所有可能取值是 0,1,2. C7 5 且 P(ξ =0)= 3= , C9 12 C7·A2 1 P(ξ =1)= 3 = , C9 2
2 2 3

P(ξ =2)= 3= ,
5 1 1 2 因此 E(ξ )=0× +1× +2× = . 12 2 12 3 12.马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的概率分布如下表:

C7 C9

1

1 12

x P(ξ =x)

1 ?

2 !

3 ?

请小牛同学计算 ξ 的均值.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断 定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案 E(ξ )=________. 答案 2 解析 设“?”处的数值为 x,则“!”处的数值为 1-2x,则

E(ξ )=1·x+2×(1-2x)+3x=x+2-4x+3x=2.
13.PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,对人体健 康和大气环境质量的影响很大.我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM2.5 日 均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级;在 35 微克/立方米~75 微克/立方米之间空气 质量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从 360 天的市区 PM2.5 监 测数据中,随机抽取 15 天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).

(1)在这 15 天的数据中任取 3 天的数据,记 ξ 表示空气质量达到一级的天数,求 ξ 的概率 分布; (2)以这 15 天的 PM2.5 日均值来估计这 360 天的空气质量情况,则其中大约有多少天的空气 质量达到一级.
16

解 (1)由题意知 N=15,M=6,n=3, ξ 的可能取值为 0,1,2,3, C6·C9 其概率分布为 P(ξ =k)= (k=0,1,2,3), 3 C15 C6·C9 12 所以 P(ξ =0)= 3 = , C15 65 C6·C9 216 P(ξ =1)= 3 = , C15 455 C6·C9 27 P(ξ =2)= 3 = , C15 91
2 1 1 2 0 3

k

3-k

P(ξ =3)=

C6·C9 4 = , 3 C15 91

3

0

所以 ξ 的概率分布是 ξ 0 12 65 1 216 455 2 27 91 3 4 91

P

6 2 (2)依题意知,一年中每天空气质量达到一级的概率为 p= = ,一年中空气质量达到一级 15 5 的天数为 η , 2 则 η ~B(360, ), 5 2 所以 E(η )=360× =144, 5 所以一年中空气质量达到一级的天数为 144.

17

14.气象部门提供了某地区今年六月份(30 天)的日最高气温的统计表如下: 日最高气温 t(单位:℃) 天数

t≤22
6

22<t≤28 12

28<t≤32

t>32 Z

Y

由于工作疏忽,统计表被墨水污染,Y 和 Z 数据不清楚,但气象部门提供的资料显示,六月 份的日最高气温不高于 32℃的频率为 0.9. 某水果商根据多年的销售经验,六月份的日最高气温 t(单位:℃)对西瓜的销售影响如下表: 日最高气温 t(单位: ℃) 日销售额 X (单位:千 元) (1)求 Y,Z 的值; (2)若视频率为概率,求六月份西瓜日销售额的均值和方差; (3)在日最高气温不高于 32℃时,求日销售额不低于 5 千元的概率. 解 (1)由已知得:P(t≤32)=0.9, ∴P(t>32)=1-P(t≤32)=0.1. ∴Z=30×0.1=3,

t≤22

22<t≤28

28<t≤32

t>32

2

5

6

8

Y=30-(6+12+3)=9.
6 (2)P(t≤22)= =0.2, 30

P(22<t≤28)= =0.4, P(28<t≤32)= =0.3, P(t>32)= =0.1,
∴六月份西瓜日销售额 X 的概率分布为 3 30 9 30

12 30

X P

2 0.2

5 0.4

6 0.3

8 0.1

∴E(X)=2×0.2+5×0.4+6×0.3+8×0.1=5,

V(X)=(2-5)2×0.2+(5-5)2×0.4+(6-5)2×0.3+(8-5)2×0.1=3.
(3)∵P(t≤32)=0.9,

P(22<t≤32)=0.4+0.3=0.7,
∴由条件概率得:P(X≥5|t≤32)=P(22<t≤32|t≤32)=

P?22<t≤32? 0.7 7 = = . P?t≤32? 0.9 9

18


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