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人教A版高中数学选修2-1《3.2立体几何中的向量方法》综合课件(53张PPT)_图文

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3.2立体几何中 的向量方法 平面向量 推广到 空间向量 立体几何问题 思考: 如何确定一个点、一条直线、一个平面 在空间的位置? 一、点的确定: 在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中 ??? ? 任意一点P的位置就可以用向量OP来表示。我们把 ??? ? 向量OP称为点P的位置向量。 P O 二、直线的确定: 空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定. l a B A 三、平面的确定: 空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内两条相 交直线来确定. ? n ? b ? O ? a ? 平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在 ? ,则称这个向量垂直于平 直线垂直于平面 ? ? ? 面 ? ,记作 n ⊥? ,如果 n⊥? ,那 么 向 量 n 叫做平面 ? 的法向量. l ? n ? A ? 给定一点A ? 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是 完全确定的. 平面的法向量: l 注意: 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行 ? ; 3.向量 ?? n 是平面的法向量,向 量m 是与平面平行或在平面 ? ?? 内,则有 n ? m ? 0 ? n ? 例:已知AB ? (2,2,1), AC ? (4,5,3), 求平面ABC的法向量. 求法向量的步骤: (1)设出平面的法向量为 n ? ( x, y, z) (2)找出(求出)平面内的 两个不共线的 向量的坐标a ? (a1, b1, c1 ),b ? (a2 , b2 , c2 ) (3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的 ?n ? a ? 0 方程组? ?n ? b ? 0 (4)解方程组,取其中的一 个解,即得法向量。 第一问题: 用“方向向量”与“法向量”来解决 平行、垂直问题. 四、平行关系: ? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , ? ? ? ? 线线平行: l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ; l m ? a ? b ? 设直线 l 的方向向量分别为 a ,平面 ? 的 ? 法向量分别为 u , ? ? ? ? 线面平行: l ∥ ? ? a ? u ? a ? u ? 0 ; 四、平行关系: ? a ? u l ? ? ? 设平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v , ? ? ? ? 面面平行: ? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv . 四、平行关系: ? u ? ? ? v 例: 在正方体ABCD - A1B1C1D1中,求证: ( 1 )AB1//DC1 (2)AB1//平面BDC1 (3)平面AB1D1//平面BDC1 五、垂直关系: ? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , ? ? ? ? 线线垂直: l ⊥ m ? a ⊥ b ? a ? b ? 0 ; l ? a ? b m ? 设直线 l 的方向向量分别为 a ,平面 ? 的 ? 法向量分别为 u , ? ? ? ? 线面垂直 : l ⊥ ? ? a ∥ u ? a ? ku ; l 五、垂直关系: ? a ? ? u 五、垂直关系: ? ? 设平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v , 面面垂直 : ? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ? v ? 0. ? u ? ? v ? 例:在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F分别是BB1,, CD中点,求证:D1F ? 平面ADE ??? ? ??? ? ???? ? 以DA??, ??DC??,??DD1为单位正交 证明:设正方体棱长为1, 基底,建立如图所示坐标系D-xyz,则可得: ??? ? ???? 1 DA ? (1, 0, 0), DE ? (1,1, , ) 2 设平面ADE的一个法向量 ? 为n=(x,y,z) D1 z C1 B1 E A1 D A x ? ??? ? ? ??? ? 则由n ? DA ? 0??, ??n ? DE ? 0得 F B C y ???? ? 1 又因为D1 F ? (0, , ?1) 2 所以 D1F ? 平面ADE ?x ? 0? 0 ? 0 则x=0,不妨取y ? 1,得z ? ?2 ? ? 1 ? x ? y ? z ? 0 所以n=(0, 1, - 2) ? ? 2 ???? ? ? 所以D1 F //n 第二问题: 利用“方向向量”与“法向量”来解决 夹角问题. 1、两条直线的夹角: ? ? a?b ? 两直线 l , m 所成的角为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ), cos ? ? ? ? ; 2 a b ? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , l l ? a ? m ? ? a b ? m 例: 在直三棱柱ABC ? A1 B1C1中,BC ? AC , BC ? CA ? CC1 , 取A1 B1、A1C1的中点D1、F1, 求BD1和AF1所成的角的余弦值. z C1 解:以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系C ? xyz,如图所示,设CC1 ? 1则: F1 ???? ???? ? 1 1 1 所以: AF1 ? (? , 0,1), BD1 ? ( , ? ,1) 2 2 2 1 1 1 A(1, 0, 0), B (0,1, 0), F1 ( , 0,1), D1 ( , ,1) 2 2 2 D1 C B1 A1 A B y 1 ???? ???? ? x ? ?1 ???? ???? ? AF1 ?BD1 30 4 ???? ???? ? ? ? ? cos ? AF1, BD1 ? 10 | AF1 || BD1 | 5 3

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