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【测控指导】2018版高中数学人教A版必修1课件:2.2.2.2+对数函数性质的应用+【KS5U+高考】_图文

时间:2017-10-16

第2课时 对数函数性质的应用

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1.理解对数函数的单调性,并能利用单调性比较大小、求最值或 值域、解不等式. 2.初步掌握对数函数在生活中的应用. 3.知道对数函数和指数函数互为反函数.

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1

2

1.对数函数的图象和性质 对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质如下表所示: 底数 a>1 0<a<1
图象 定义域:(0,+∞) 值域:(-∞,+∞) 性质 当 x=1 时,y= 0,即图象恒过定点(1,0) 当 x>1 时,y> 0; 当 0<x<1 时 ,y<0 在(0,+∞)上是增函数 当 x>1 时,y< 0; 当 0<x<1 时 ,y>0 在(0,+∞)上是减函数
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1

2

【做一做1-1】 若函数f(x)=logax在(0,+∞)内是减函数,则a的取值 范围是( ) A.(0,+∞) B.(-∞,1) C.(0,1) D.(1,+∞) 答案:C 【做一做1-2】 函数f(x)=log2x在[1,8]上的值域是 ( ) A.R B.[0,+∞) C.(-∞,3] D.[0,3] 解析:函数f(x)=log2x在区间[1,8]上是增函数,故f(1)≤f(x)≤f(8),即 0≤f(x)≤3. 答案:D

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2

2.对数函数的反函数 对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的反函数是y=ax(a>0,且a≠1). 【做一做2】 函数y=3x的反函数是( ) A.y=x3 B.y=logx3 C.y=log3x D.y=lg x 答案:C

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1.函数 y=logax(a>0,且 a ≠1)的图象与 y=log 1 ( a>0,且 a≠1)的图


象之间的关系 剖析 :函数 y=log2x 与 y=log1 的图象、函数y=log3x 与
2

y=log 1 的图象如图所示,结合图象可知函数 y=logax(a>0,且 a ≠1)的
3

图象与 y=log 1 ( a>0,且 a≠1)的图象关于 x 轴对称.


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其实 y=log 1 =


log

log 1

=

log -1

= ?logax,因为 y=logax 与 y=-logax


的图象关于 x 轴对称 ,所以函数 y=logax 与 y=log1 的图象也关于x 轴对称 .

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2.底数对对数函数图象的影响 剖析 :在同一平面直角坐标系中画出以下各组函数的图象,观察 并写出你的发现 . (1)y=log2x,y=log3x ,y=log4x ,y=lg x,如图 ①所示 . (2)y=log1 ,y=log1 ,y=log1 ,y=log 1 , 如图②所示 .
2 3 4 10

图①

图②
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观察结果 :对于第一组 :y=log2x ,y=log3x,y=log4x,y=lg x,其图象的 共同特征是上升的;对于第二组 ,其图象的共同特征是下降的. 结论 :①当 a>1 时 ,图象上升 ,自变量 x 越大 ,函数值 y 就越大 ;当 x ∈(0,1)时 ,y<0,当 x∈(1,+∞)时 ,y>0;自变量取同一值时,底数 a 越大 , 图象就越接近 x 轴 ,即当 k>1 时 ,有 log2k>log3k>log4k>lg k;当 0<k<1 时 ,有 log2k<log3k<log4k<lg k.

②当 0<a<1 时 ,图象下降,自变量 x 越大 ,函数值 y 就越小 ;当 x∈
(0,1)时 ,y>0,当 x∈(1,+∞)时 ,y<0;自变量取同一值时 ,底数 a 越小 ,图 象越接近 x 轴 ,即当 k>1 时 ,log1 < log1 < log1 < log 1 ;
2 2 3 4 3 10 4 10

当0<k<1 时 ,log 1 > log1 > log1 > log 1 .

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题型一

题型二

题型三

题型一

比较大小

【例1】 比较下列各组中两个值的大小: (1)log31.9,log32;(2)log23,log0.32; (3)logaπ,loga3.141(a>0,且a≠1). 分析:(1)构造函数f(x)=log3x,利用其单调性比较; (2)分别比较两对数与0的大小; (3)分类讨论底数a的取值范围.

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题型二

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解:(1)(单调性法)因为f(x)=log3x在(0,+∞)内是增函数,由于1.9<2, 则f(1.9)<f(2),所以log31.9<log32. (2)(中间量法)因为log23>log21=0,log0.32<log0.31=0,所以 log23>log0.32. (3)(分类讨论)当a>1时,函数y=logax在定义域上是增函数,则有 logaπ>loga3.141; 当0<a<1时,函数y=logax在定义域上是减函数,则有 logaπ<loga3.141. 综上所述,当a>1时,logaπ>loga3.141; 当0<a<1时,logaπ<loga3.141.

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题型二

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反思比较两个对数值大小的方法:(1)单调性法:当底数相同时,构 造对数函数利用其单调性来比较大小;(2)中间量法:当底数和真数 都不相同时,通常借助中间量(如-1,0,1)来比较大小;(3)分类讨论法: 当底数与1的大小关系不确定时,要对底数分类讨论.

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题型二

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【变式训练1】 已知实数a=log0.23,b=log0.30.2,c=log32,则a,b,c的 大小关系为( ) A.b<a<c B.a<b<c C.c<a<b D.a<c<b 解析:∵a=log0.23<log0.21=0,b=log0.30.2>log0.30.3=1, c=log32<log33=1,且c=log32>log31=0.∴a<c<b. 答案:D

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题型一

题型二

题型三

题型二

解不等式

【例 2】 解不等式:log2(2x-1)<log2(-x+5). 分析 :利用对数函数的单调性,将对数的大小比较转化为真数的 大小比较 . 2-1 > 0, 解 :由题意 ,得 - + 5 > 0. 解得 < < 5 . 又函数 y=log2x 在 (0,+∞)内是增函数,所以原不等式化为 2x-1<-x+5,解得 x<2.所以原不等式的解集是
1 2 1 2

< < 2 .

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反思对数不等式有两种常见类型: (1)形如logax>logab(a>0,且a≠1,b>0)的不等式,借助y=logax的单 调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况进行讨 论. (2)形如logax>b(a>0,且a≠1)的不等式,应将b化为以a为底的对数 式的形式,再借助y=logax的单调性求解. (3)形如logaf(x)>logbg(x)的不等式,基本方法是将不等式两边化为 同底的两个对数值,利用对数函数的单调性来去掉对数符号,同时 应保证真数大于零,取交集作为不等式的解集.

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【变式训练 2】 (1)不等式 log2x< 1 的解集为 (2)不等式 log3(2x+1)+log1 (3x-1)>0 的解集为
3

; .

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解析 :(1)∵log2x<1,∴log2x<log22, < 2, ∴ 解得0<x<2, > 0, ∴原不等式的解集为(0,2). (2)由 log3(2x+1)+log 1 (3x-1)> 0 得
3

log3(2x+1)>-l og1 (3x-1),即 log3(2x+1)>log3(3x-1). 2 + 1 > 0, 1 ∴ 3-1 > 0, 解得 < < 2. 3 2 + 1 > 3-1 ,
3

∴原不等式的解集为
答案 :(1)(0,2) (2)

1 ,2 3

1 ,2 3

.

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题型三

题型三

易混易错题

易错点

忽略对底数的讨论致错

【例 3】 已知函数 y=logax(a>0,且 a ≠1)在 [2,4]上的最大值与最 小值的差是 1,求 a 的值. 错解 :因为函数 y=logax(a>0,且 a ≠1)在 [2,4]上的最大值是 loga4, 最小值是 loga 2, 所以 loga4-loga2= 1,即 函数 .
4 log 2

= 1, 所以a=2.

错因分析 :错解中误以为函数 y=logax(a>0,且 a≠1)在 [2,4]上是增

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题型三

正解 :当 a>1 时 ,函数 y=logax 在[2,4]上是增函数,所以 loga 4-loga 2=1,即 log = 1, 所以a=2. 当 0<a<1 时 ,函数 y=logax 在 [2,4]上是减函数 ,所以 loga 2-loga 4=1,即 log = 1, 所以a= . 综上可知 a=2 或 a= .
反思在解决底数中含字母的对数函数问题时,要注意对底数进行 分类讨论,一般考虑a>1与0<a<1两种情况.忽略底数a对函数 y=logax(a>0,且a≠1)的单调性的影响就会出现漏解或错解.
1 2 2 4 1 2 4 2

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【变式训练 3】 A.0<a< 或 a>1 C.a<
3 解析 :∵log 4 3 4 3 4

3 已知 log 4

< 1, 则 a 的取值范围是(
3 4 3 4

)

B. < < 1 D.a>



3 < 1, ∴log < logaa, 4 3 0<a<1 时 ,解得 0<a< ; 当a>1 时 ,解得 4

a>1.故选 A.

答案 :A

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