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2017-2018学年高中数学北师大版必修三教学案:第三章§1 随机事件的概率 Word版含答案正式版

时间:2019-05-04

[核心必知] 1.概率 在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件 A 发生的频率会在某个常数附近摆动, 即随机事件 A 发生的频率具有稳定性.这时,我们把这个常数叫作随机事件 A 的概率,记为 P(A). 2.频率与概率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,但频率是随机的,而概率是一个确定的值,因此, 人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小.在实际问题中,某些随机事件的概率往往难以 确切得到,常常通过做大量的重复试验,用随机事件发生的频率作为它的概率的估计值. 3.随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但是随机性中含有规律性.认识了这种随机 性中的规律性,就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性.概率只是度量事件发生的可 能性的大小,不能确定是否发生. 4.任何事件的概率是区间[0,1]上的一个确定数,它度量该事件发生的可能性大小.小概率 (接近于 0)事件不是不发生,而是很少发生,大概率(接近于 1)事件不是一定发生,而是经常发 生.
[问题思考] 1.把一枚质地均匀的硬币连续掷 1 000 次,其中有 498 次正面朝上,502 次反面朝上,那么 说此次试验正面朝上的频率为 0.498,掷一次硬币正面朝上的概率为 0.5,这样理解正确吗? 提示:正确.由题意,正面朝上的频率为1409080=0.498,通过做大量的试验可以发现,正面 朝上的频率都在 0.5 附近摆动,故掷一次硬币,正面朝上的概率是 0.5.即 0.498 是 1 000 次试验 中正面朝上的频率;而概率是一个确定的常数,是客观存在的,与每次试验无关. 2.如果某种病治愈的概率是 0.3,那么 10 个人中,前 7 个人没有治愈,后 3 个人一定能够 治愈吗?如何理解治愈的概率是 0.3? 提示:如果把治疗一个病人作为一次试验,对于一次试验来说,其结果是随机的,因此前 7 个人没有治愈是可能的,对后 3 个人来说,其结果仍然是随机的,有可能治愈,也可能没有治愈. “治愈的概率是 0.3”指随着试验次数的增加,即治疗人数的增加,大约有 30%的人能够治 愈,如果患病的有 1 000 人,那么我们根据治愈的频率应在治愈的概率附近摆动这一前提,就可

以认为这 1 000 个人中大约有 300 人能治愈.

讲一讲

1.下面的表中列出 10 次抛掷硬币的试验结果.n 为抛掷硬币的次数,m 为硬币正面向上的次

数.计算每次试验中“正面向上”这一事件的频率,并考查它的概率.

实验序号 抛掷的次数 n 正面向上的次数 m “正面向上”出现的频率

1

500

251

2

500

249

3

500

256

4

500

253

5

500

251

6

500

246

7

500

244

8

500

258

9

500

262

10

500

247

[尝试解答] 利用频率的定义,可分别得出这 10 次试验中“正面向上”这一事件出现的频

率依次为:

0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488,0.516,0.524,0.494,这些数字在 0.5 附

近左右摆动,由概率的统计定义可得,“正面向上”的概率为 0.5.

频数、频率和概率三者之间的关系: (1)频数是指在 n 次重复试验中事件 A 出现的次数,频率是频数与试验总次数的比值,而概 率是随机事件发生的可能性的规律体现; (2)随机事件的频率在每次试验中都可能会有不同的结果,但它具有一定的稳定性;概率是 频率的稳定值,不会随试验次数的变化而变化. 练一练 1.某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下:

投篮次数 n 8 10 12 9 10 16 进球次数 m 6 8 9 7 7 12 进球频率mn (1)计算表中进球的频率; (2)这位运动员投篮一次进球的概率是多少? 解:(1)进球的频率依次是:0.75,0.80,0.75,0.78,0.70,0.75. (2)这位运动员投篮一次进球的概率 P≈0.76.

讲一讲 2.掷一颗均匀的正方体骰子得到 6 点的概率是16,是否意味着把它掷 6 次能得到 1 次 6 点? [尝试解答] 把一颗均匀的骰子掷 6 次相当于做 6 次试验,因为每次试验的结果都是随机的, 所以做 6 次试验的结果也是随机的.这就是说,每掷一次总是随机地出现一个点数,可以是 1 点, 2 点,也可以是其他点数,不一定出现 6 点.所以掷一颗骰子得到 6 点的概率是16,并不意味着把 它掷 6 次能得到 1 次 6 点.

随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率恰是其规律在数量

上的反映,概率是客观存在的,它与试验次数没有关系.

练一练

1 2.掷一枚硬币,连续出现 5 次正面向上,有人认为下次出现反面向上的概率大于2,这种理

解正确吗?

解:不正确.掷一次硬币,作为一次试验,其结果是随机的,但通过做大量的试验,呈现一

定的规律性,即“正面朝上”、“反面朝上”的可能性都为12.连续 5 次正面向上这种结果是可能

1

1

的,对下一次试验来说,仍然是随机的,其出现正面和反面的可能性还是2,不会大于2.

讲一讲 3.为了估计某自然保护区中天鹅的数量,可以使用以下方法:先从该保护区中捕出一定数量 的天鹅,如 200 只,给每只天鹅作上记号且不影响其存活,然后放回保护区.经过适当的时间, 让它们和保护区中其余的天鹅充分混合,再从保护区中捕出一定数量的天鹅,如 150 只.查看其 中有记号的天鹅,设有 20 只.试根据上述数据,估计该自然保护区中天鹅的数量.

[尝试解答] 设保护区中天鹅的数量为 n,假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的,从保护 区中任捕一只,设事件 A={捕到带有记号的天鹅},则 P(A)=20n0.
第二次从保护区中捕出 150 只天鹅,其中有 20 只带有记号,由概率的定义可知 P(A)≈12500. 所以,20n0≈12500,解得 n≈1 500, 所以该自然保护区中天鹅的数量约为 1 500.

利用频率近似等于概率的关系求未知量:

(1)抽出 m 个样本进行标记,设总体容量为 n,则标记概率为mn;

(2)随机抽取 n1 个个体,发现其中 m1 个被标记,则标记频率为mn11; (3)用频率近似等于概率建立关系式mn≈mn11; (4)求出 n≈m·m1n1,注意这个 n 值仅是真实值的近似.

练一练

3.为了估计水库中的鱼的条数,可以使用以下的方法:先从水库中捕出一定数量的鱼,如 2

000 条,给每条鱼作上记号且不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让它们和水库中

其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,如 500 条,查看其中有记号的鱼,设有 40

条.试根据上述数据,估计水库中鱼的条数.

解:设水库中鱼的条数为

n,从水库中任捕一条,捕到标记鱼的概率为2

000 n .第二次从水库

中捕出 500 条,带有记号的鱼有 40 条,则捕到带记号的鱼的频率(代替概率)为54000,由2 n000≈54000,

得 n≈25 000,所以水库中约有鱼 25 000 条.

【解题高手】【易错题】

一家保险公司连续多年对某城市出租车事故做了调查,发现出租车发生事故的频率总是在

0.001 左右.如果这个调查继续做下去,10 年后发生事故的频率就会等于 0.001(假定出租车发生

事故都不会随着时间的改变而改变).你觉得这种看法对吗?说出你的理由.

[错解] 这种看法是正确的,10 年后发生事故的频率等于 0.001.

[错因] 频率会在某个常数附近摆动,随着试验次数的增加,摆动会越来越小,但不一定等

于该常数.

[正解] 这种看法是错误的.随着试验次数的增加,频率会稳定于一个常数附近,这个常数

就是概率,但稳定于不一定是等于,况且 0.001 未必是出租车发生事故的概率.
1.下列事件: ①长度为 3,4,5 的三条线段可以构成一个直角三角形; ②经过有信号灯的路口,遇上红灯; ③从 10 个玻璃杯(其中 8 个正品,2 个次品)中,任取 3 个,3 个都是次品; ④下周六是晴天. 其中,是随机事件的是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 解析:选 D ①为必然事件;对于③,次品总数为 2,故取到的 3 个不可能都是次品,所以 ③是不可能事件;②④为随机事件. 2.在某市的天气预报中有“降水概率预报”,例如预报“明天降水概率为 90%”,这是指 () A.明天该地区约有 90%的地方会降水,其余地方不降水 B.明天该地区约有 90%的时间会降水,其余时间不降水 C.在气象台的专家中,有 90%认为明天会降水,其余专家认为不降水 D.明天该地区降水的可能性为 90% 解析:选 D 明天降水的概率为 90%指的是明天该地区降水的可能性为 90%. 3.在 5 张不同的彩票中有 2 张奖票,5 个人依次从中各抽取 1 张,则每个人抽到奖票的概率 () A.递减 B.递增 C.相等 D.不确定
2 解析:选 C 因为每个人获得奖票的概率均为5,即抽到奖票的概率与抽取顺序无关. 4.下列事件:①明天进行的某场足球赛的比分是 3∶1;②下周一某地的最高气温与最低气 温相差 10 ℃;③同时掷两枚大小相同的骰子,向上一面的两个点数之和不小于 2;④射击一次, 命中靶心;⑤当 x 为实数时,x2+4x+4<0.其中必然事件有________,不可能事件有________, 随机事件有________.(填序号) 答案:③ ⑤ ①②④ 5.某工厂为了节约用电,规定每天的用电量指标为 1 000 度,按照上个月的用电记录,在 30 天中有 12 天的用电量超过指标,若第二个月仍没有具体的节电措施,则该月的第一天用电量

超过指标的概率是________. 12
解析:由频率定义可知用电量超过指标的频率为30=0.4,频率约为概率. 答案:0.4 6.某质检员从一批种子中抽取若干组种子,在同一条件下进行发芽试验,有关数据如下(单 位:粒):

种子粒数 25 70 130 700 2 000 3 000 发芽粒数 24 60 116 639 1 806 2 713
发芽率

(1)计算各组种子的发芽率,填入上表;(精确到 0.01) (2)根据频率的稳定性估计种子的发芽率. 解:(1)种子发芽率从左到右依次为 0.96,0.86,0.89,0.91,0.90,0.90. (2)由(1)知,发芽率逐渐稳定在 0.90,因此可以估计种子的发芽率为 0.90.

一、选择题

1.“某彩票的中奖概率为1100”意味着(

)

A.买 100 张彩票就一定能中奖

B.买 100 张彩票能中一次奖

C.买 100 张彩票一次奖也不中

D.购买彩票中奖的可能性为1100

答案:D

2.抛掷一枚骰子两次,用随机模拟方法估计上面的点数和为 7 的概率,共进行了两次试验,

第一次产生了 60 组随机数,第二次产生了 200 组随机数,那么这两次估计的结果相比较( )

A.第一次准确 B.第二次准确 C.两次的准确率相同 D.无法比较

解析:选 B 用随机模拟方法估计概率时,产生的随机数越多,估计的结果越准确.

3.下列结论正确的是( )

A.事件 A 发生的概率 P(A)满足 0<P(A)<1

B.事件 A 发生的概率 P(A)=0.999,则事件 A 是必然事件

C.用某种药物对患有胃溃疡的 500 名病人进行治疗,结果有 380 人有明显的疗效,现有胃

溃疡的病人服用此药,则估计有明显疗效的可能性为 76%

D.某奖券的中奖率为 50%,则某人购买此奖券 10 张,一定有 5 张中奖

解析:选 C A 不正确,因为 0≤P(A)≤1;B 不正确,若事件 A 是必然事件,则 P(A)=1;D

不正确,某奖券的中奖率为 50%,10 张奖券可能会有 5 张中奖,但不一定会发生.

4.给出下列三个命题,其中正确命题的个数为( )

①设有一批产品,已知其次品率为 0.1,则从中任取 100 件,必有 10 件是次品;②做 7 次抛

3 硬币的试验,结果 3 次出现正面朝上,则硬币出现正面朝上的概率是7;③随机事件发生的频率

就是这个随机事件发生的概率.

A.0

B.1

C.2

D.3

解析:选 A ①②③均不正确.

5.在给病人动手术之前,外科医生会告知病人或家属一些情况,其中有一项是说这种手术

的成功率大约是 99%,下列解释正确的是( )

A.100 个手术有 99 个手术成功,有 1 个手术失败

B.这个手术一定成功

C.99%的医生能做这个手术,另外 1%的医生不能做这个手术

D.这个手术成功的可能性是 99%

解析:选 D 成功率大约是 99%,说明手术成功的可能性是 99%.

二、填空题

6.一个口袋装有除颜色外其他均相同的白球、红球共 100 个,若摸出一个球为白球的概率

为34,则估计这 100 个球内,有白球________个.

3 解析:100×4=75.

答案:75

7.在 200 件产品中,有 192 件一级品,8 件二级品,则下列事件:

①在这 200 件产品中任意选出 9 件,全部是一级品;②在这 200 件产品中任意选出 9 件,全

部是二级品;③在这 200 件产品中任意选出 9 件,不全是二级品;④在这 200 件产品中任意选出

9 件,其中不是一级品的件数小于 10;

其中________是必然事件;________是不可能事件;________是随机事件.

解析:200 件产品中,8 件是二级品,现从中任意选出 9 件,当然不可能全是二级品,不是

一级品的件数最多为 8,小于 10.

答案:③④ ② ①

8.下列说法:

①一年按 365 天计算,两名学生的生日相同的概率是3165;

②甲乙两人做游戏:抛一枚骰子,向上的点数是奇数,甲胜,向上的点数是偶数,乙胜,这

种游戏是公平的;

③乒乓球比赛前,决定谁先发球,抽签方法是从 1~10 共 10 个数字中各抽取 1 个,再比较

大小,这种抽签方法是公平的;

④昨天没有下雨,则说明昨天气象局的天气预报“降水概率为 90%”是错误的.

其中正确的有________(填序号).

解析:对于②,甲胜、乙胜的概率都是12,是公平的;对于④,降水概率为 90%只说明下雨的

可能性很大,但也可能不下雨,故④错误.

答案:①②③

三、解答题

9.高一(2)班有 50 名同学,其中男、女各 25 人,今有这个班的一个学生在街上碰到一位同

班同学,试问:碰到异性同学的概率大还是碰到同性同学的概率大?有人说可能性一样大,这种

说法对吗?

解:这种说法不正确.这个同学在街上碰到的同班同学是除了自己以外的 49 个人中的一个,

其中碰到同性同学有 24 种可能,碰到异性同学有 25 种可能,每碰到一个同学相当于做了一次试

验,因为每次试验的结果是随机的,所以碰到异性同学的可能性大,碰到同性同学的可能性小.

10.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管 1 000 支,该公司对这些灯管的使用寿命(单

位:小时)进行了统计,统计结果如下表所示:

分组

[500, 900)

[900, 1 100)

[1 [1 100, [1 300, [1 500,
700,1 1 300) 1 500) 1 700)
900)

[1 900, +∞)

频数 48

121

208

223

193

165

42

频率

(1)将各组的频率填入表中; (2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足 1 500 小时的概率. 解:(1)频率依次是 0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042. (2)样本中寿命不足 1 500 小时的频数是 48+121+208+223=600,
600 所以样本中寿命不足 1 500 小时的频率是1 000=0.6,即灯管使用寿命不足 1 500 小时的概 率约为 0.6.

学习不是一朝一夕的事情,需要平时积累,需要平时的勤学苦练。有个故事:古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说:“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽量往 前甩,然后再尽量往后甩。”说着,苏格拉底示范做了一遍,“从今天开始,每天做 300 下,大家能做到吗?”学生们都笑了,这么简单的事,有什么做不到的?过了一个月,苏格拉底问学生:每天甩手 300 下,哪个同学坚持了,有 90%的学生骄傲的举起了手,又过了一个月,苏格拉底又问,这回,坚持下来的学生只剩下了 80%。一年过后,苏格拉底再一次问大家:“请告诉我,最简单的甩手运动。 还有哪几个同学坚持了?”这时,整个教室里,只有一个人举起了手,这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们,柏拉图之所以能成为大哲学家,其中一个重要原因,就是,柏拉 图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业,必须有持之以恒的精神,大家都熟悉愚公移山的故事,愚公之所以能够感动天帝,移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生, 他前十次革命均告失败,但他百折不挠,终于在第十一次革命的时候,推翻了清王朝的统治,建立了中华民国。这些故事,情节不同,但意义都是一样的,它告诉无们,做事要有恒心。旬子讲:“锲而 不舍,朽木不折;锲而舍之,金石可镂。”这句话充分说明了一个人如果有恒心,一些困难的事情便可以做到,没有恒心,再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路,不能靠一时激情,也不 是熬几天几夜就能学好的,必须养成平时努力学习的习惯。所以我说:学习贵在坚持! 当下市面上关于教授学习方法的书籍不少,其所载内容也的确很有道理,然而当读者实际应用时,很多看似实用 的方法用来效果却并不明显,之后的结果无非是两种:要么认为自己没有掌握其精髓要领,要么抱怨那本书的华而不实,但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本《学会学习》在一开始并没有急于兜 售自己的方法,而是通过测试让读者真正了解自己,从而找到适合自己思维方式的学习方法,书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试,经过有效分类后,针对不同读 者对不同思考和接收接受学习的特点,有针对性的分别给出建议,从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始,都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议, 这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点,这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉,除了能够得到最适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己,不论对学习还是生 活都有帮助。除了“针对性”强外,本书第二大特点就是“全面”,全书都是由一篇篇短文、图表集成,更像是一本博文或者 PPT 课件合集,每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找,但也因此有些 章节内容安排的比较混乱,所幸每一章节关联性并不太强,每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时间规划”、“笔记”“阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题,文中文字精 炼没有过分的渲染,完全是纯纯的“干货”,可以设身处地的想象:当自己面对学海之中手足无措之时,长篇大论的方法肯定会无心查看,明了的编排,让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的, 一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息,是一部值得学习的人们不断自我提高的有力武器。曾经看到一个有意思的心理测试:用“正确的方法”、“错误的方法”和“积极的行为”、“消极 的行为”,来自由搭配,看如何搭配出最好和最坏的结果,“正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果,然而我们会很“惯性”想当然的认为,“错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结 果,其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果,这会让人在错误的路上越走越远,学习也是同理,一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远,而好 的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的,起码在学生的时候如果遇到,或者人生会少一些遗憾,我只恨我遇见的晚了点,可是现在已是终身学习的年代,错过了最恰 当的时候,但只要有心又怎会嫌晚呢?本书归类为学习方法-青年读物,是本工具书,学习手册,但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力”,正是本书的宗旨,本书系统化地阐 述了学习技能提升的各个方面,可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲主要包括 7 个方面,分别是学习模式,时间管理和学习技巧规划,笔记记录技巧,阅读技巧,记忆,应试技巧,拾遗。全书的结构 采取的是总分的形式,前三个方面是总的部分,算是增加学习技能的准备,从认识自己的学习模式开始,然后采取任何事都需要的时间管理技巧,再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的 部分,将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述,分别有笔记记录,阅读,记忆,应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高, 在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此,说句题外话,我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的,但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇,因为她里面的讲述部分让我觉得美国是 个应试教育的国家吗,简直比我们中国还要应试。那个考试应对细节的部分放在中国,一点也没有违和感的,好吗?所以他们能出现这样的情况,从没到过日本的人能够写出描写日本人的书,然后让日 本人都觉得是经典的,没有在企业里做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师,其理念影响了全世界……不得不说,美国的教育真不是盖的。细节上,我印象比较深的是,作者开篇开始传授如何应该 认识自己的学习模式,运用了一些测试题目,然后根据结果找出与自己最近似的学习模式,她把学习模式分为几种情况,分别有左脑型,右脑型,还有另外的分法,为视觉的,听觉的,动作的。我看了 一下,确实有跟自己近的类型,我就是视觉的,对号入座后就可以比较直接的去扬长避短了。然后,作者说了,做任何事情,时间管理技巧都是不可缺少的,她不仅教导的是学习的技能,还有很多其他 的道理,对我们人生都是有益的,我相信,如果我们的孩子从小就学习这些,将会受用终生。还有,作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统,将我们现在工作中的管理引进了学习中,这是一个非常 好的学习习惯,如果孩子持续的做,严格地做,获得的收益将无法估量,因为,这在我们现在工作中都必须要用的管理信息的技能,实在是太可贵了,孩子将这种技能与阅读结合起来,保管好自己思维 历程,可以获得持续的提高,直到最后展翅翱翔,他最可贵的是,可以系统地提升自己,从而达到书中简介里提到的那样,碰到不会的领域的时候,可以很快的用这些方法,工具建立起模型,系统,游 刃有余地攻克自己之前没接触的领域,提升自己的理解力,我想这正是我们学习的比较重要的一个目的吧。最后,我影响比较深的就是作者提供的那些小工具了,包括笔记的表格,辅助记忆的表格,帮 助整理文档的夹子,应对考试的技巧,缓解紧张的方法……我觉得全书对于如何增加学习技能和脑力的讲述是有道理的,我也相信通过实践作者在书上所提到的方法,定能在学习中得到提高。但是,那 也不是一朝一夕的事情,就像我们大家都知道的那个故事,在美国得到诺贝尔奖的科学家说,自己得奖最大的原因都是在幼儿园里学习的最基本的道理,就是说要和郭靖一样,不要贪多吃不烂,认定他 就要好好地坚持去做,不要停。我自己喜欢的是家庭归档系统,虽然不是学习过程中的技能,只属于学习准备的东西,但是如果坚持井井有条的那样整理自己的学习思维,对自己的收益将难以估量。稍 显不足的地方是,第一,本书的语言太过精练,感觉就像没有主观感情一样,要命的是有很多词语或者概念读的时候甚至不知道什么意思,书中也没做讲解,本来就看的比较费力,现在好了,作者也不 等你,直接把你撂那。第二,作者很多地方就像立一个提纲一样,直接让你自己去参考多少多少页,这个太不习惯了。第三,作者在书中提到各种学习的类型,但是并没有就这种类型合适他们的学习方 法做开展或者介绍,比如,将学习分为好几种类型的那个部分,有内省的,有外联的之类,然而并没有对各种类型进行针对性的指导。从而她的有些观点就不太适用,像成立学习小组的,这个对于内向 的人,在我国这样的学习环境中是比较的困难,但作者没有就如何做提出建议,只是告诉读者这么做,会显得不够全面或者落空。


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