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高三文科数学立体几何综合题训练 3

时间:2014-04-13


高三文科数学立体几何综合题训练 1.如图,四边形 ABCD 与 A' ABB ' 都是边长为 a 的正方形,点 E 是 A' A 的中点,
A ' A ⊥平面

ABCD.
B'

A' E? A B C D

(I)求证: A' C // 平面 BDE; (II)求证:平面 A' AC ⊥平面 BDE.

2.如图,在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PD⊥底面 ABCD ,
PD ? DC , E 是 PC 的中点,作 EF ⊥ PB交 PB于点 F .

(1)证明: PA∥平面 EDB ; (2)证明: PB⊥平面 EFD .

P

E F

D A B

C

3.在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别为 DD1 、DB 的中点。 (1)求证:EF//平面 ABC1 D1 ; (2)求证:EF ? B1C ; (3)求三棱锥 B1 ? EFC 的体积 V。

4.在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC=4,CB=2,AA1=2
?ACB ? 60? ,E、F 分别是 A1C1 , BC 的中点。

(1)证明: C1 F // 平面 ABE; (2)设 P 是 BE 的中点,求三棱锥 P ? B1C1 F 的体积。
A1
E

C1 B1

\
A

P

C F B

2

5.如图,四边形 ABCD 为矩形, AD ? 平面 ABE
AE ? EB ? BC ? 2, F 为 CE 上的点,且 BF ? 平面 ACE ,
BD ? AC ? G.

(1)求证: AE ? 平面 BCE ; (2)求证: AE // 平面 BFD ; (3)求三棱锥 E ? ADC 的体积.

D

C G

A

F

B

E

6. 如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC — A1B1C1 中, AC=3 , AB=5 , AA1=BC=4,点 D 是 AB 的中点。 (Ⅰ)求证: AC ? BC1 ; (Ⅱ)求证: AC1 / / 平面 CDB1; (Ⅲ)求三棱锥 A1—B1CD 的体积。

3

8.三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱与底面垂直,?ABC ? 90? , AB ? BC ? BB1 ? 2 ,
M,N

分别是 AB , A1C 的中点.
M B

A

(Ⅰ)求证: MN ∥ 平面 BCC1 B1 ; (Ⅱ)求证: MN ? 平面 A1 B1C ; (Ⅲ)求三棱锥 M ? A1 B1C 的体积.

C

N

A1 B1 C1

9.如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AA1 ? 1 , AD ? 2 , E 是 BC 的中点. (Ⅰ)求证: 直线 BB1 // 平面 D1 DE ; ( Ⅱ ) 求 证 : 平 面 A1 AE ? 平 面 (Ⅲ)求三棱锥 A ? A1 DE 的体积.
B B1 A A1 D1

D1 DE ;
C1 D

E

C

4

11.如图(1) , ?ABC 是等腰直角三角形, AC ? BC ? 4 , E 、 F 分别为 AC 、 AB 的中点,将 ?AEF 沿 EF 折起, 使 A? 在平面 BCEF 上的射影 O 恰为 EC 的中点, 得到图(2) . (1)求证: EF ? A?C ; (2)求三棱锥 F ? A?BC 的体积.

12.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是平行 四边形,PA⊥平面 ABCD,点 M、N 分别为 BC、PA 的中点,且 PA=AD=2,AB=1,AC=
3.

(Ⅰ)证明:CD⊥平面 PAC; (Ⅱ)在线段 PD 上是否存在一点 E,使得 NM∥ 平面 ACE;若存在,求出 PE 的长;若不存在,说明理由.

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D 在 的 平 面 互 相 垂 直 , 7. 正 方 形 ADEF 与 梯 形 A B C 所

AD ? CD, AB // CD, CD ? 2 AB ? 2 AD .

(Ⅰ)求证: BC ? BE ; (Ⅱ)在 EC 上找一点 M ,使得 BM // 平面 ADEF ,
F

E

请确定 M 点的位置,并给出证明.

D C

A

B

13.一个四棱锥 P-ABCD 的三视图如图 所示. (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)若 E 为 CD 中点,求证:平面 PBD ⊥平面 PAE。

6

15.已知四棱锥 P—A BCD 中,点 M 是 PC 的中点,点 E 是 AB 上的一个动 点,且该四棱锥的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是直角三角形。 (I)求证:PA//平面 BDM; (II)若点 E 是 AB 的中点,求证:CE ? 平面 P DE; (III)无论点 E 在何位置,是否均有三棱锥 C—PDE 的体积为 定值?若是,请求出定值;若不是,请说明理由。

7

16.一个简单多面体的直观图和三视图如图所示,它的主视图和侧视图都是 腰长为 1 的等腰直角三角形,俯视图的轮廓为正方形,E 是 PD 的中点. (1)求证: PB // 平面ACE ; (2)求证:PC ? BD; (3)求三棱锥 C-PAB 的体积。

主视图

侧视图

俯视图

17.已知矩形 ABCD 中,AB=6,BC= 6 2 ,E 为 AD 的中点(图一) 。沿 BE 将△ABE 折起,使平面 ABE⊥平面 BECD(图二) ,且 F 为 AC 的中点。 (1)求证:FD//平面 ABE; (2)求证:AC⊥BE。

8

18.如图甲,在平面四边形 ABCD 中,已知
?A ? 45? , ?C ? 90? , ?ADC ? 105? , AB ? BD ,现将四边形 ABCD 沿 BD 折起,使平面

ABD ? 平面 BDC(如图乙) ,设点 E、F 分别为棱 AC、AD 的中点. (1)求证:DC ? 平面 ABC; (2)设 CD ? a ,求三棱锥 A-BFE 的体积.
A

A

F E
D B

D
C 甲

B C 乙

20.如图,已知四边形 ABCD 为直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,AD= 2, AB=BC=1. 沿 AC 将△ABC 折起, 使点 B 到点 P 的位置, 且平面 PAC ⊥平面 ACD. (Ⅰ)证明:DC⊥平面 APC; (Ⅱ)求棱锥 A-PBC 的体积.

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