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2009届全国百套名校高三数学模拟试题分类汇编

时间:2010-01-10

2009 届全国百套名校高三数学模拟试题分类 汇编 08 直线与圆
试题收集:成都市新都一中 二、填空题
?y ? 2 ? 1、 (西南师大附中高 2009 级第三次月考).x、 y 满足约束条件:?2 x ? y ? 5 ? 0 , 则 z ? |x ?y ? 5| ?x ? y ? 4 ? 0 ?

肖宏

的最小值是______________. 答案:1

?x ? y ? 0 ? 2、(2009 届福建省福鼎一中高三理科数学强化训练综合卷一)可行域 ? x ? y ? 5 内的所有的点 ?y ? 0 ?
中,横坐标与纵坐标均为整数的整点共有______个. 答案:12 3 、 ( 江苏省常州市 2008-2009 高三第一学期期中统一测试数学试题 ) 设 x 、 y 满足条件

?x ? y ≤ 3 2 2 ? ? y ≤ x ? 1 ,则 z ? ( x ? 1) ? y 的最小值 ?y≥0 ?
答案:4



4、(江苏省南京师大附中 2008—2009 学年度第一学期高三期中考试)已知变量 x 、 y 满足条件

?x ? 1 ? 则 z ? x ? y 的最大值是 ?x ? y ? 0 ?x ? 2 y ? 9 ? 0 ?
答案: 6





?x ? y ? 2 ? 0 ? 5、 (广东省北江中学 2009 届高三上学期 12 月月考)已知实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 , ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
目标函数 z ? y ? ax(a ? R) . 若 z 取最大值时的唯一最优解是 (1,3), 则实数 a 的取值范围是 ________________. 答案:(1,+∞)

? x ? y ≥ 2, ? 6、 (2009 年广东省广州市高三年级调研测试)已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 2,若目标 ?0 ≤ y ≤ 3, ?
函数 z=y-ax 仅在点(5,3)处取得最小值, 则实数 a 的取值范围为 .

答案:(1,+∞) 7、 (广东省华南师范附属中学 2009 届高三上学期第三次综合测试)从圆 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 外 一点 P(2,3) 向这个圆引切线,则切线长为 答案:2 .

?2 x ? y ? 4 ? 8、 (广东省湛江师范学院附中 2009 年高考模拟试题)已知 x, y 满足 ? x ? y ? 2 , 则z ? y?2 的 x?2 ? x ?1 ?
取值范围是______. 答案:[-1,0] 9、(福建省莆田第一中学 2008~2009 学年度上学期第一学段段考)已知点 P(x,y)满足条件

? x ? 0, ? (k为常数), 若z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则 k ? ? y ? x, ?2 x ? y ? k ? 0 ?
答案:-6

.

10、 (江苏省赣榆高级中学 2009 届高三上期段考)直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与直线 ax ? 4 y ? b ? 0 关 于点 A(1,0) 对称,则 b=___________; 答案:2

? ?y≤x 11、(四川省成都市 2009 届高三入学摸底测试)设实数 x 、 y 满足约束条件,?x+y≤1,则 z= ?y≥-1 ?
3x+y 的最大值是 答案:5 。
2 2

12、(湖北省武汉市教科院 2009 届高三第一次调考)已知圆 x ? y ? 4x ? 2 y ? c ? 0与y 轴交 于 A、B 两点,圆心为 P,若 ?APB ? 90 ,则 c 的值等于
?



答案:-3 13、(湖南省长郡中学 2009 届高三第二次月考)过点 C(6,-8)作圆 x ? y ? 25的切线,切
2 2

点为 A、B,那么点 C 到直线 AB 的距离为___________________。 15 答案: 2 14、(

江苏运河中学 2009 年高三第一次质量检测)已知 x,y 满足

?x ? y ? 1 ? ? 2 x ? y ? 4 ,则函数 z=x+3y 的最大值是 ?x ? 1 ?
答案:7 15 、 ( 安 徽 省 潜 山 县 三 环 中 学 2009 届 高 三 上 学 期 第 三 次 联 考 ) 若 x, y 满 足 约 束 条 件

? x ? y ≥ 0, ? 则 z ? 2 x ? y 的最大值为______. ? x ? y ? 3 ≥ 0, ?0 ≤ x ≤ 3, ?
答案:9 16 、 ( 安 徽 省 潜 山 县 三 环 中 学 2009 届 高 三 上 学 期 第 三 次 联 考 ) 直 线 y ? x ? b 与 曲 线

x ? 1 ? y 2 有且只有一个交点,则 b 的取值范围是
答案:-1<b≤1 或 b=- 2



17、(江西省崇仁一中 2009 届高三第四次月考)若关于 x , y 的方程组 ? 有的解都是整数,则有序数对 ? a, b ? 的数目为 答案:32 .

? ax ? by ? 1 有解,且所 2 2 ? x ? y ? 10

18、(揭阳市云路中学 2009 届高三数学第六次测试)在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方

程为 ?

?x ? t ? 3 ? x ? 2cos ? ( 参数 t ? R ). 圆 C 的参数方程为 ? ( 参数 ? ? [0, 2? )), 则圆 C 的 ?y ? 3?t ? y ? 2sin ? ? 2
,圆心到直线 l 的距离为 2009 届 高 三 高 考 模 拟 ) 已 知

圆心坐标为

答案:(0,2),2 2 19 、 ( 辽 宁 省 大 连 市 第 二 十 四 中 学

?x ? y ? 1 ? 1 ? x, y满足? x ? 则函数z ? x ? 3 y 的最大值是 2 ? ? ?2 x ? y ? 4

.

答案:2 20 、 ( 重庆市大足中学 2009 年高考数学模拟试题 )光线从点 A(1,1) 出发,经 y 轴发射到圆 C: x ? y ? 10x ? 14y ? 70 ? 0 的最短路程为____________________.
2 2

答案:

6 2 ? 2。提示:( A 1, 2)关于Y 轴对称的点A ( , ) 1 ? 11

? 最短路程为: A1 C ? 2 ? 6 2 ? 2。

?2 x ? y ? 4 y?2 ? 21、(四川省万源市第三中学高 2009 级测试)已知 x, y 满足 ? x ? y ? 2 ,则 z ? 的取值 x?2 ? x ?1 ?
范围是 答案:[-1,0] 。

? 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 ? 22、 (四川省成都七中 2009 届高三零诊模拟考试)设 p: ?3 ? x ? 0 ,(x、 y?R),q:x2+y2>r2(x、 ? x ? 3 y ? 12 ?
y?R,r>0),若非 q 是非 p 的充分不必要条件,则 r 的取值范围是______. 答案:(0,

12 ] 5
.

23、 (四川省成都市 2008—2009 学年度上学期高三年级期末综合测试)光线由点 P(2,3)射到直线

x ? y ? ?1 上,反射后过点 Q(1,1),则反射光线方程为

答案:4x-5y+1=0 24、(四川省成都市 2008—2009 学年度上学期高三年级期末综合测试)实数 x, y 满足不等式组

? y ? 0, y ?1 ? 则? ? 的范围 ? x ? y ? 0, x ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0, ?
1 答案:[- ,1) 2 25 、 ( 安 徽 省 巢 湖 市 2009

.

届 高 三 第 一 次 教 学 质 量 检 测 ) 过 点

1 M ( ,1)的直线 l与圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 交于 A、B 两点,当∠ACB 最小时,直线 l 的方程 2
为 . 答案: 2 x ? 4 y ? 3 ? 0

? x ? y ≥ ?, ?2 x ? y ≤ 2, ? 26、(苍山县· 理科)若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围 ? y ≥ 0, ? ?x ? y ≤ a
是 .

4 答案: 0 ? a ≤1 或 a ≥ 3
27、 (临沂一中· 理科)已知变量 x ,y 满足 ?

? 2 x ? y ≤ 0, x ? y ?2 则z ?2 的最大值为__________. x ? 3 y ? 5 ≥ 0, ?

答案:2

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 28、(枣庄市· 理科)已知变量 x, y满足约束条件 ? x ? 3 y ? 3 ? 0 .若目标函数 z ? ax ? y (其 ? y ?1 ? 0 ?
中 a>0)仅在点(3,0)处取得最大值,则 a 的取值范围为 答案: ( ,?? ) 。

1 2

? y ? 0, y ?1 ? 29 、 ( 聊 城 一 中 ·理 科 ) 实 数 x, y 满 足 不 等 式 组 ? x ? y ? 0, 则?? 的范 x ? 1 ?2 x ? y ? 2 ? 0, ?
围 . 答案: ??

? 1 ? ,1? ? 2 ?

30、 (济宁· 理科)过点 M (1 , 2) 的直线 l 将圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 9 分成两段弧, 其中的劣弧最短时, 直线 l 的方程为 答案: x ? 2 y ? 3 ? 0 31、(聊城一中· 理科)光线由点 P(2,3)射到直线 x ? y ? ?1 上,反射后过点 Q(1,1),则反射 光线方程为 答案: 4 x ? 5 y ? 1 ? 0 32、(聊城一中· 理科) 11.已知点 A(2,3),B(-3,-2).若直线 l 过点 P(1,1)且与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 ( ) A. k ? 答案:C 33、(重庆市万州区 2009 级高三第一次诊断性试题)已知直线 l1: y ? 1) ,且 l 1 到 l 2 的角为 45 ? ,则 l2 的方程为_______. 答案:3x-y+10=0 34 、 ( 江 苏 省 梁 寨 中 学 08 - 09 学 年 高 三 年 级 调 研 考 试 ) 已 知 P( x, y) 满 足 约 束 条 件 . .

3 4

B.

3 ?k?2 4

C. k ? 2 或 k ?

3 4

D. k ? 2

1 x ? 2 ,l2 过点 P(– 3, 2

?x ? y ? 3 ? 0 ??? ? ? x ? y ? 1 ? 0 O OP ? cos ?AOP 的最大值是 A (3, 4) , 为坐标原点, ,则 ? ?x ?1 ? 0 ?



.

答案:

11 5

35、(江苏省梁寨中学 08-09 学年高三年级调研考试)已知圆 C 的圆心与点 P(?2,1) 关于直线

y ? x ? 1对称.直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 与圆 C 相交于 A, B 两点,且 AB ? 6 ,则圆 C 的方程
为 ▲

答案: x2 ? ( y ? 1)2 ? 18 36、 (广东省汕头市潮南区 08-09 学年度第一学期期末高三级质检)动点 M (x,y) 是过点 A (0, 1)且以 a ? (1, 3)为方向向量 ,t 为参数(t ? R )的的轨迹,则它的轨迹方程是

1 ? x? t ? 2 ? 答案: ? (t ? R) 或 3x ? y ?1 ? 0 ? y ? 1? 3 t ? ? 2
37、(重庆奉节长龙中学 2009 年高考数学预测卷二)一块用栅栏围成的长方形土地的长和宽分 别为 52 米和 24 米,现欲将这块土地内部分割成一些全等的正方形试验田,要求这块土地全 部被划分且分割的正方形的边与这块土地的边界平行,现另有 2002 米栅栏,则最多可将这块 土地分割成 __________ 块. 解析:.设长分割成 x 列,宽分割成 y 行,共分割成 z 块,

?24( x ? 1) ? 52( y ? 1) ? 2002 ? x 52 13 ? x ? 43 ? ? ? 则? ?? y 24 6 ? y ? 19 ? ? x, y ? N ? ?
z=x· y 当 x=39,y=18 时, zmax ? x?y ? 39 ?18 ? 702 . 评析:本题主要考查线性规划知识以及利用数形结合法解决问题,特别是已知区域求最优解 是学生易错的地方. 38、(2008 学年金丽衢十二校高三第一次联考数学试卷(理科) 设直线 l1 的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 , 将直线 l1 绕原点按逆时针方向旋转 90°得到直线 l2 , 则 l2 的 方程为 答案: y ? 2 x ? 4

39、已知曲线 C : y ? ln x ? 4 x 与直线 x ? 1 交于一点 P ,那么曲线 C 在点 P 处的切线方程是 ▲ .

答案: 3x ? y ? 1 ? 0 40、

2009 届全国百套名校高三数学模拟试题分类 汇编 08 直线与圆
试题收集:成都市新都一中 肖宏 个人主页:http://cdxh.51.net 三、解答题 1、(江苏省盐城市田家炳中学 09 届高三数学综合练习)已知以点 C (t , )( t ? R, t ? 0) 为圆心 的圆与 x 轴交于点 O, A ,与 y 轴交于点 O 、 B ,其中 O 为原点。 (1)求证: ?OAB 的面积为定值; (2)设直线 y ? ?2 x ? 4 与圆 C 交于点 M , N ,若 OM ? ON ,求圆 C 的方程。 解:(1)?圆C过原点O ,? OC ? t ?
2 2

2 t

4 . t2 2 2 4 2 2 设圆 C 的方程是 ( x ? t ) ? ( y ? ) ? t ? 2 …………2 分 t t 4 令 x ? 0 ,得 y1 ? 0, y 2 ? ;令 y ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ? 2t t 1 1 4 ? S ?OAB ? OA ? OB ? ? | | ? | 2t |? 4 ,即: ?OAB 的面积为定值. 2 2 t

(2)? OM ? ON , CM ? CN , ? OC 垂直平分线段 MN .

? k MN ? ?2,? k oc ? ?

1 1 ,? 直线 OC 的方程是 y ? x 2 2

2 1 ? t ,解得: t ? 2或t ? ?2 t 2

当 t ? 2 时,圆心 C 的坐标为 (2,1) , OC ? 5 , 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ? 圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 相交于两点. 当 t ? ?2 时,圆心 C 的坐标为 (?2,?1) , OC ? 5 , 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ?

9 5

? 5,

9 5

? 5

圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 不相交,

? t ? ?2 不符合题意舍去.

? 圆 C 的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5
2、(西南师大附中高 2009 级第三次月考)已知圆 C 经过 P(4,– 2) ,Q(– 1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ,半径小于 5. (1)求直线 PQ 与圆 C 的方程. (2)若直线 l∥PQ,且 l 与圆 C 交于点 A、B, ?AOB ? 90? ,求直线 l 的方程. 3? 2 解:(1) PQ 为 y ? 3 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ? ( x ? 1) 即 x ? y ? 2 ? 0 · ?1 ? 4 3? 2 4 ?1 C 在 PQ 的中垂线 y ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ? 1? ( x ? ) 即 y = x – 1 上· 2 2 设 C(n,n – 1),则 r 2 ? | CQ | 2 ? (n ? 1)2 ? (n ? 4)2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 由题意,有 r 2 ? (2 3)2 ? | n | 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ∴ n2 ? 12 ? 2n2 ? 6n ? 17 ∴ n = 1 或 5,r 2 = 13 或 37(舍) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 2 2 ∴圆 C 为 ( x ? 1) ? y ? 13 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 解法二: 设所求圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
?4 D ? 2 E ? F ? ?20 ? D ? ?2 ? D ? ?10 ? ? ? 或 ? E ? ?8 由已知得 ? D ? 3E ? F ? 10 解得 ? E ? 0 ? F ? ?12 ?F ? 4 ? 2 ? ? ? E ? 4 F ? 48
? D ? ?2 ? D ? ?10 ? ? 当 ?E ? 0 时, r ? 13 ? 5 ;当 ? E ? ?8 时, r ? 37 ? 5 (舍) ? F ? ?12 ?F ? 4 ? ? ∴ 所求圆的方程为 x2 ? y 2 ? 2x ? 12 ? 0 (2) 设 l 为 x ? y ? m ? 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

?x ? y ? m ? 0 由? ,得 2 x2 ? (2m ? 2) x ? m2 ? 12 ? 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 2 2 ?( x ? 1) ? y ? 13 m2 ? 12 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1 ? x2 ? 1 ? m,x1 x2 ? · · · · · · · · · · · · · ·11 分 2 ∵ ?AOB ? 90? , ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分

∴ x1 x2 ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? 0 ∴ m2 ? m ? 12 ? 0 ∴ m = 3 或 – 4(均满足 ? ? 0 ) ∴ l 为 x ? y ?3? 0 或 x ? y ?4 ? 0· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·14 分 3、(福建省南安一中、安溪一中、养正中学 2009 届高三期中联考)有三块合金,第一块合金含

60% 的铝和 40%的铬,第二块含 10%的铬和 90%的钛,第三块含 20%的铝,50%的铬和 30%
的钛。现需要由它们组合成含钛 45%的新合金,试求在新的合金中,含铬的百分比范围.

解:设在1个单位质量的新合金中,含第一,第二,第三块合金质量的百分比分别 是x、y、z,则含铬百分比为w ? 0.4 x ? 0.1y ? 0.5 z ??? 2 ' ?x ? y ? z ? 1 ? x ? 2 y ? 0.5 ? 0 ?0.9 y ? 0.3 z ? 0.45 ? x ? 2 y ? 0.5 ? 0 ? ? ? ?x ? 0 ?       即 ? ? ?0 ? x ? 0.5 ???8' ?x ? 0 ?y ? 0 ?y ? 0 ?0 ? y ? 0.5 ? ? ? ?1.5 ? 3 y ? 0 z ? 0 ? ?     ? ( x, y )在线段x ? 2 y ? 0.5 ? 0(0 ? x ? 0.5)上     ? w ? 0.4 x ? 0.1y ? 0.5 z       ?y ? 1 15 5 5     ? ? ? w ? ???10 ' 4 28 7 14     ? 25% ? w ? 40%    故新合金中含铬的百分比范围为[25%, 40%]???12 '
4、(广东省恩城中学 2009 届高三上学期模拟考试)某公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做 总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用不超过 9 万元,甲、乙电视台的广告收费标准 分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告, 能给公司事来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台 的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元? 解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元,

2 15 5 x? ? w 7 28 7

? x ? y ≤ 300, ? 由题意得 ?500 x ? 200 y ≤ 90000, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?
目标函数为 z ? 3000 x ? 2000 y .-----------4 分

y
500

400

? x ? y ≤ 300, ? 二元一次不等式组等价于 ?5 x ? 2 y ≤ 900, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域.--如图:-------------------------------8 分 作直线 l : 3000 x ? 2000 y ? 0 , 即 3x ? 2 y ? 0 .

300 l 200 100 M

0

100

200 300

x

平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值. 联立 ?

------10 分

? x ? y ? 300, 解得 x ? 100,y ? 200 . ?5 x ? 2 y ? 900.

200) .------------------------------------12 分 ? 点 M 的坐标为 (100,

? zmax ? 3000x ? 2000 y ? 700000 (元)-------------------------13 分
答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大,最 大收益是 70 万元.----------------------------------------------14 分 5 、 ( 广 东 省 华 南 师 范 附 属 中 学 2009 届 高 三 上 学 期 第 三 次 综 合 测 试 ) 已 知 圆

C : x2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 12 ? 0 的圆心在点 C , 点 A(3,5) ,求;
(1)过点 A 的圆的切线方程; (2) O 点是坐标原点,连结 OA , OC ,求 ? AOC 的面积 S . 解:(1) ? C : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 (1 分)

当切线的斜率不存在时,对直线 x ? 3, C (2,3) 到直线的距离为 1,满足条件(3 分) 当 k 存在时,设直线 y ? 5 ? k ( x ? 3) ,即 y ? kx ? 5 ? 3k , 得k ?

| ?k ? 2 | k ?1
2

?1
(5 分)

3 4 3 11 x? 4 4

∴得直线方程 x ? 3 或 y ? (2) | AO |? 9 ? 25 ? 34

(6 分) (7 分) (8 分)

l : 5x ? 3 y ? 0

d?
S?

1 34

(10 分)

1 1 a | AO |? 2 2
2 2 2 2

(12 分)

6、(黑龙江省双鸭山一中 2008-2009 学年上学期期中考试)求圆心在直线 x+y=0 上,且过 圆 x + y - 2x+10 y - 24 = 0 与圆 x + y + 2x+ 2 y - 8 = 0 的交点的圆的方程。

解:设圆的方程为 x ? y ? 2 x ? 10 y ? 24 + ? ( x + y + 2 x + 2 y - 8) = 0
2 2 2 2

即x

2

?y ?
2

2( ? ? 1 )

? ?1
5??

x?

2(5 + ? )

? +1

y?

8( ? + 3)

? +1

= 0( ? ? -1)

圆心 (

1? ?

? ?1

,?

? ?1

)

?

1? ?

? ?1

?

5??

? ?1

? 0 解得 ?

? ?2

故所求圆的方程为 x ? y ? 2 x ? 10 y ? 24 ? 2( x + y + 2 x + 2 y - 8) = 0
2 2 2 2

即 x ? y + 6x - 6 y + 8 = 0
2 2

7、设 AB=6,在线段 AB 上任取两点(端点 A、B 除外),将线段 AB 分成了三条线段, (1)若分成的三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构成三角形的概率; (2)若分成的三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构成三角形的概率. 解(1)若分成的三条线段的长度均为正整数,则三条线段的长度的所有可能为:

1, 1, 4 ;1, 2, 3 , 2, 2, 2 共 3 种情况,其中只有三条线段为 2, 2, 2 时能构成三角形,则构

P?
成三角形的概率

1 3 .…………………………4 分
y _ 6 _ D _ F _ E _ O _ 3 _ A _ 6 _ x _

(2)设其中两条线段长度分别为 x, y ,则第三条线段长 度为 6 ? x ? y ,则全部结果所构成的区域为:

B _ 3 _

0 ? x ? 6,
0 ? y ? 6 , 0 ? 6 ? x ? y ? 6 ,即为 0 ? x ? 6 , 0 ? y ? 6 , 0 ? x ? y ? 6 ,所表示的平面区域为三角形 OAB ;……6 分

?x ? y ? 6 ? x ? y ? ?x ? 6 ? x ? y ? y ?y ? 6? x ? y ? x 若 三 条 线 段 x, y , 6 ? x ? y 能 构 成 三 角 形 , 则 还 要 满 足 ? ,即为 ?x ? y ? 3 ? ?y ? 3 ?x ? 3 ?

,所表示的平面区域为三角形 DEF ,……………………………………9 分

P?
由几何概型知,所求的概率为

S?DEF 1 ? S?AOB 4 .……………………12 分
2 2

8、(江苏省赣榆高级中学 2009 届高三上期段考)已知圆 C : x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,直线

l : y ? kx , l 与圆 C 交与 A、B 两点,点

M (0, b)且MA ? MB .
(1)当 b ? 1 时,求 k 的值; (2)当 b ? (1, ) 时,求 k 的取值范围.

3 2

2 2 解:(1)圆的方程可化为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1,故圆心为 C (1,1) ,半径 r ? 1 ....2 分

当 b ? 1 时,点 M (0,1) 在圆上,又 MA ? MB ,故直线 l 过圆心 C (1,1) ,∴ k ? 1 ………4 分

从而所求直线 l 的方程为 y ? x (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 由 MA ? MB 得

…………………………6 分

x1 x2 ? ( y1 ? b)( y2 ? b) ? 0
∴ (1 ? k 2 ) x1 x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b 2 ? 0 联立得方程组 ?

即 x1 x2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ? 0 ① …………………8 分

? y ? kx
2 2 ?x ? y ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0

,化简,整理得

(1 ? k 2 ) x 2 ? (2 ? 2k ) x ? 1 ? 0 ………….(*)
由判别式 ? ? 0 得 k ? 0 且有 x1 ? x 2 ? 代入 ①式整理得 1 ?

2 ? 2k 1 , x1 x 2 ? ………………10 分 2 1? k 1? k 2

2k (1 ? k ) 3 1 2k ? 2k 2 2 ? b ? 0 b ? ? , 从而 ,又 b ? (1, ) 2 2 2 1? k b 1? k

2k ? 2k 2 13 ? 可得 k 的取值范围是 (1,6 ? 23) ? (6 ? 23,??) ……14 分 ∴2 ? 6 1? k 2
9、(四川省泸县六中高 09 级二诊模拟数学试题)已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,是否 存在斜率为 1 的直线 l,使 l 被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆过原点,若存在求出直线 l 的方 程,若不存在说明理由。 解:圆 C 化成标准方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 32 假设存在以 AB 为直径的圆 M,圆心 M 的坐标为(a,b) 由于 CM⊥ l,∴kCM?kl= -1 即 a+b+1=0,得 b= -a-1 ① CM= ∴kCM=

b?2 ? ?1 , a ?1

直线 l 的方程为 y-b=x-a,即 x-y+b-a=0

b?a?3 2

∵以 AB 为直径的圆 M 过原点,∴ MA ? MB ? OM

MB ? CB ? CM

2

2

2

(b ? a ? 3) 2 ?9? , OM 2


2

? a2 ? b2

∴9 ?

(b ? a ? 3) 2 ? a2 ? b2 2

把①代入②得

2a 2 ? a ? 3 ? 0 ,∴ a ?

3 或a ? ?1 2

当a ?

3 5 , 时b ? ? 此时直线 l 的方程为 x-y-4=0; 2 2

当 a ? ?1,时b ? 0 此时直线 l 的方程为 x-y+1=0 故这样的直线 l 是存在的,方程为 x-y-4=0 或 x-y+1=0 10、(四川省绵阳市高中 2009 级第二次诊断性考试)已知动点 P(x,y)到原点的距离的平方与它 到直线 l:x=m(m 为常数)的距离相等. (1)求动点 P 的轨迹方程 C; (2)就 m 的不同取值讨论方程 C 的图形. 解:(1)因为原点 O(0,0),所以动点 P(x,y)到原点的距离为|PO|= x2+y2, 于是动点 P 的坐标满足( x2+y2)2=|m-x|, 即 x2+y2=|m-x|,此即为动点 P 的轨迹方程. (2)由 x2+y2=|m-x|两边平方,移项并分解因式得 (x2+y2-m+x)(x2+y2+m-x)=0, 1 1 1 1 ∴(x+ )2+y2= +m 或(x- )2+y2= -m, 2 4 2 4

0.25 m 1 1 1 1 1 ①当 +m>0 且 -m>0,即- <m< 时,点 P 的轨迹是两个圆,一个圆的圆心是(- ,0), 4 4 4 4 2 半径为 1 1 +m;一个圆的圆心是( ,0),半径为 4 2 1 -m; 4

-0.25

1 1 ②当 m= 或 m=- 时,点 P 的轨迹是一个圆和一个点; 4 4 1 1 ③当 m<- 或 m> 时,点 P 的轨迹是一个圆. 4 4 11、(聊城一中· 理科)已知直线 l 过点 M(2,1),且分别与 x, y 正半轴交于 A,B 两点.O 为原 点. (1) 当 ?ABC 面积最小时,求直线 l 的方程; (2) 当 MA ? MB 值最小时, 求直线 l 的方程. (解)(1)直线 l 如果通过第一、二、三或第一、三、四象限时, ?AOB 面积逐渐增大, 即这时的面积函数为增函数,不存在最值.因此只考虑与 x, y 轴正向相交的 情况,此时斜率 k ? 0 . 设 l : y ? 1 ? k ( x ? 2) 则 A( 2 ?

1 ,0), B (0,1 ? 2k ) k

?S ?

1 1 1? 1 (1 ? 2k )(2 ? ) ? ?4 ? (?4k ? )? ? 4 2 k 2? ?k
1 1 ,即 k ? ? 时等号成立. ?k 2

当且仅当 ? 4k ?

故 l : y ?1 ? ?

1 ( x ? 2) ,即 x ? 2 y ? 4 ? 0 . 2

(2) MA ? MB ? 当且仅当 k ?
2

1 1 ? 1 ? 4 ? 4k 2 ? 2 k 2 ? 2 ? 2 ? 4 2 k k

1 ,即 k ? ?1 时等号成立. k2

?l : x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 3 ? 0
12、(2008 学年金丽衢十二校高三第一次联考) 如图,直角三角形 ABC 的顶点坐标 A(?2, 0) ,直角顶点 B(0, ?2 2) ,顶点 C 在 x 轴上, 点 P 为线段 OA 的中点. (1)求 BC 边所在直线方程; (2) M 为直角三角形 ABC 外接圆的圆心,求圆 M 的方程; (3)若动圆 N 过点 P 且与圆 M 内切,求动圆 N 的圆心 N 的轨迹方程. 解:(1)∵ k AB ? ? 2 , AB ? BC ,∴ kCB ? (4 分) (2)在上式中,令 y ? 0 ,得 C (4, 0) ,∴圆心 M (1, 0)
2 2 又∵ AM ? 3 ,∴外接圆的方程为 ( x ? 1) ? y ? 9

2 2 ,∴ BC : y ? x ?2 2 2 2

(9 分)

(3)∵ P(?1,0) , M (1, 0) ∵圆 N 过点 P(?1, 0) ,∴ PN 是该圆的半径 又∵动圆 N 与圆 M 内切,∴ MN ? 3 ? PN ,即 MN ? PN ? 3 ∴点 N 的轨迹是以 M 、 P 为焦点,长轴长为 3 的椭圆, ∴a ?

3 x2 y2 5 2 2 ? ? 1 (14 分) , c ? 1,b ? a ? c ? ,∴轨迹方程为 9 5 2 4 4 4

13 、 ( 安徽省 六安中学 2009 届高 三第六次 月考 ) 已 知过点 A ( 0 , 1 ),且 方向向量 为

? a ? (1, k )的直线l与圆C : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1,相交于 M、N 两点.
(1)求实数 k 的取值范围; (2)若 O 为坐标原点,且 OM ? ON ? 12, 求k的值 . 解:(1)?直线l过点(0,1)且方向向量a ? (1, k ),

???? ? ????

?

?直线l的方程为y ? kx ? 1 ……………………2 分 2k ? 3 ? 1 由 ? 1, 得 k 2 ?1 4? 7 4? 7 ……………………5 分 ?k? 3 3 (2)设M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 )

将y ? kx ? 1代入方程(x-2)2 +(y-3)2 =1得 (1+k 2 )x2 -4(1+k )x+7=0 ……………………11 分 4(1+k 2 ) 7 ? x1 +x2 = , x1 x2 ? ……………………12 2 1? k 1? k 2 ???? ? ???? 4k(1+k ) ? OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ? 8 ? 12 1? k 2 4k(1+k ) ? ? 4, 解得k ? 1 又当k ? 1时, ? ? 0,? k ? 1 ……………………12 分 1? k 2
14、


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