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立体几何文科测试题

时间:2013-03-13


立体几何文科试题
一、选择题:本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、设有直线 m、n 和平面 ? 、 ? .下列四个命题中,正确的是( A.若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n B.若 m ? ? ,n ? ? ,m∥ ? ,n∥ ? ,则 ? ∥ ? C.若 ? ? ? ,m ? ? ,则 m ? ? D.若 ? ? ? ,m ? ? ,m ? ? ,则 m∥ ? 2、已知直线 l , A. ?
? ?

)

m

与平面 ? , ? , ? 满足 ?
? m ? m

? ? ? l , l // ? , m ? ?

和m

? ?

,则有

且l

B. ?

? ? // ?

且 m // ? 且?
?
? ?

C. m // ? 且 l
?

D. ?

3.若 a ? ? 0,1, ? 1 ? , b ? ? 1,1, 0 ? ,且 ? a ? ? b ? ? a ,则实数 ? 的值是( ) A .-1 B.0 C.1 D.-2 4、已知平面α ⊥平面β ,α ∩β = l,点 A∈α ,A ? l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直线 m∥ α ,m∥β ,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( ) ... A. AB∥m B. AC⊥m C. AB∥β D. AC⊥β

?

?

?

5 一个几何体的三视图及长度数据如图,则几何体的表面积与体积分别为

? A ?7 ?
?C ?7 ?

2 ,3
3 2, 2

? B ?8 ?

2, 3

? D ?8 ?

2,

3 2

6、已知长方体的表面积是 2 4 cm ,过同一顶点的三条棱长之和是 6 c m ,则它的对角线长是 ( A. )
1 4 cm

2

B. 4 c m

C. 3 2 cm

D. 2 3 c m

7、已知圆锥的母线长 l ? 5 cm ,高 h ? 4 cm ,则该圆锥的体积是____________ cm

3

A. 12π

B 8π

C. 13π

D. 16π

8、某几何体的三视图如图所示,当 a 个几何体的体积为 ( )
1 6 1 3 2 3

? b

取最大值时,这

A.

B.

C.

D.

1 2

9







A,

B,

C , 在D 同









上, A B ? 平 面 B C D , B C ? C D , 若 A B ? 6 , A C ? 2 1 3 , A D ? 8 ,则 B , C 两点间的球 面距离是 ( A.
?
3

) B.
4? 3

C.

2? 3

D.

5? 3

10、四面体 A B C D 的外接球球心在 C D 上,且 C D ? 2 , AB ? 点间的球面距离是( A.
π 6

3 ,在外接球面上 A, B 两

) B.
π 3

C.

2π 3

D.

5π 6

11、 半径为 2cm 的半圆纸片做成圆锥放在桌面上, 一阵风吹倒它, 它的最高处距桌面 ( A.4cm B.2cm C. 2 3 cm D. 3 cm



12、 有一正方体,六个面上分别写有数字 1、2、3、4、5、6,有三个人从不同的角度观察 的结果如图所示.如果记 3 的对面的数字为 m,4 的对面的数字为 n,那么 m+n 的值为 ( ) A.3 B.7 C.8 D.11

二.填空题:本大题共 4 个小题。把答案填在题中横线上。 13.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面 上,且该六棱柱的高为 3 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为 ________ 14、在 ? A B C 中, A B ? 13, A C ? 12, B C ? 5 , P 是平面 A B C 外一点,
13 10 2

PA ? PB ? PC ?

,则 P 到平面 A B C 的距离是
??? ???? ?

、 15 、 设 A、 B、 C D是 半 径 为 2 的 球 面 上 的 四 个 不 同 点 , 且 满 足 A B ? A C ? 0 ,
???? ???? ???? ??? ? A C ? A D ? 0 ,A D ? A B ? 0 , S 1、S 2 、 3 分别表示△ A B C 、 ACD 、 A B D 的面积, S 用 △ △

则 S 1 ? S 2 ? S 3 的最大值是

.

16、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为 2,2,3, 则此球的表面积为 .

三.解答题:本大题共 6 个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、 (本小题满分 12 分)如图: 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AC=BC=AA1=2, ∠ACB=90?.E 为 BB1 的中点,D 点在 AB 上且 DE= 3 . (Ⅰ)求证:CD⊥平面 A1ABB1; (Ⅱ)求三棱锥 A1-CDE 的体积.

18、(本小题满分 12 分) 如图 6,已知四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD ,
ABCD 是直角梯形, AD // BC , ? BAD =90?, BC ? 2 AD .

P

C
D

(1)求证: AB ⊥ PD ; (2)在线段 PB 上是否存在一点 E ,使 AE //平面 PCD , 若存在,指出点 E 的位置并加以证明;若不存在,请说明理由.
A

B
图6

19、(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P—ABCD 中, ABCD 为矩形,△PAD 为等腰直角三角形, ∠APD=90°,面 PAD⊥面 ABCD,且 AB=1,AD=2,E、F 分别为 PC 和 BD 的中点. (1)证明:EF∥面 PAD; (2)证明:面 PDC⊥面 PAD; (3)求四棱锥 P—ABCD 的体积.

20、(本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,
C C1 ? A C ? B C ? 2 , ? A C B ? 9 0 ? .

(1) 下图给出了该直三棱柱三视图中的主视图,请据此画出它的 左视图和俯视图; (2) 若 P 是 A A1 的中点,求四棱锥 B1 ? C 1 A1 P C 的体积.
主视图 左视图

A1

C1

2 2
C

A
俯视图

21、(本小题满分 12 分)如图所示,等腰△ABC 的底边 AB=6 异于点 B、D 的动点.点 F 在 BC 边上,且 EF⊥AB.现沿 EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置, PE⊥AE.记 B E ? x 使 V(x)表示四棱锥 P-ACFE 的体积. (1)求 V(x)的表达式; (2)当 x 为何值时,V(x)取得最大值?

6

,高 CD=3,点 E 是线段 BD 上

22.(本小题满分 14 分) 如下的三个图中, 上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图, 它的正视图和侧视 图在下面画出(单位:cm)(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视 。 图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (3)在所给直观图中连结 B C ' ,证明: B C ' ∥面 EFG。
6

D' G F B'

C'

2

2

2 4

E D A B C
正视图
4

侧视图

答案:

一、选择题 1 D 2、A3、D 4、D 5、C6、D 7、A. 8、D 9、B 10、C 11、D 12、C 二、填空题 13、
4 3 ?

14、

39 2

15、8

16、 1 7 ? ?

三、解答题 17 解:解:(1)在 Rt△DBE 中,BE=1,DE= 3 ,∴BD= DE -BE
2 2

1 = 2 = 2 AB,

∴ 则 D 为 AB 中点, 而 AC=BC, ∴CD⊥AB 又∵三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱, ∴CD⊥AA1 又 AA1∩AB=A 且 AA1、AB ? 平面 A1ABB1 故 CD⊥平面 A1ABB1 6分 (2)解:∵A1ABB1 为矩形,∴△A1AD,△ DBE,△ EB1A1 都是直角三角形, ∴
S ? A1 DE ? S A1 ABB 1 ? S ? A1 AD ? S ? DBE ? S ? EB 1 A1

1 1 1 3 =2×2 2 -2 × 2 ×2-2 × 2 ×1-2 ×2 2 ×1= 2 2 1 1 3 ∴ VA1-CDE =VC-A1DE = 3 ×SA1DE ×CD= 3 ×2 2 × 2 =1 ∴ 三棱锥 A1-CDE 的体积为1. -------------------------12 分

18 解:解: (1)∵ PA ⊥平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD , ∴ PA ⊥ AB . ∵ AB ⊥ AD , PA ? AD ? A , ∴ AB ⊥平面 PAD , ∵ PD ? 平面 PAD ,∴ AB ⊥ PD . (2)法 1: 取线段 PB 的中点 E , PC 的中点 F ,连结 AE , EF , DF , 则 EF 是△ PBC 中位线.
EF ? 1 2 1 2
P F E

…… 2 分

…… 4 分 …… 6 分

BC

∴ EF ∥ BC ,
AD ?



……8 分
D

C

BC

∵ AD // BC ,



A

B

∴ AD // EF , AD ? EF .

∴ 四边形 EFDA 是平行四边形, ∴ AE // DF . ∵ AE ? 平面 PCD , DF ? 平面 PCD , ∴ AE ∥平面 PCD . ∴ 线段 PB 的中点 E 是符合题意要求的点.

……10 分

……12 分

法 2: 取线段 PB 的中点 E , BC 的中点 F ,连结 AE , EF , AF , 则 EF 是△ PBC 的中位线.
CF ? 1 2
P

BC

E

∴ EF ∥ PC ,


D A B F

C

∵ EF ? 平面 PCD , PC ? 平面 PCD , ∴ EF // 平面 PCD .
AD ? 1 2

…… 8 分
BC

∵ AD // BC ,



∴ AD // CF , AD ? CF .∴ 四边形 DAFC 是平行四边形, ∴ AF // CD ∵ AF ? 平面 PCD , CD ? 平面 PCD , ∴ AF ∥平面 PDC . ∵ AF ? EF ? F ,∴平面 AEF // 平面 PCD .∵ AE ? 平面 AEF , ∴ AE ∥平面 PCD . ∴ 线段 PB 的中点 E 是符合题意要求的点. ……12 分 ……10 分

19 如图,连接 AC, ∵ABCD 为矩形且 F 是 BD 的中点, ∴AC 必经过 F 1分

又 E 是 PC 的中点, 所以,EF∥AP 2分 4分

∵EF 在面 PAD 外,PA 在面内,∴EF∥面 PAD

(2)∵面 PAD⊥面 ABCD,CD⊥AD,面 PAD ? 面 ABCD=AD,∴CD⊥面 PAD, 又 AP ? 面 PAD,∴AP⊥CD 又∵AP⊥PD,PD 和 CD 是相交直线,AP⊥面 PCD 又 AD ? 面 PAD,所以,面 PDC⊥面 PAD (3)取 AD 中点为 O,连接 PO, 因为面 PAD⊥面 ABCD 及△PAD 为等腰直角三角形,所以 PO⊥面 ABCD, 即 PO 为四棱锥 P—ABCD 的高 ∵AD=2,∴PO=1,所以四棱锥 P—ABCD 的体积 V ?
1 3 PO ? AB ? AD ? 2 3

6分 7分 8分

10 分 --------12 分

20 解:

主视图

左视图

A1

C1

C1

B1
C1 B1

2

2

…3
A1

A
俯视图

2

C

C

2

B
P
C

B

A1

2

C1
A

…6

2

B1

(2)解:如图所示. 由 B1 C 1 ? A1C 1 , B1C 1 ? C C 1 ,则 B 1 C 1 ? 面 A C C 1 A1 .所以, 四棱锥 B1 ? C 1 A1 P C 的体积为 V B
? 1 3 ? B1C 1 ? S C ? 1 3 ?2? ?1 ? 1? 2??2 ? 2 . ?2 ? ? ? ?

…10 …12

1

? C 1 A1 P C

1 A1 P C

21 解: (1) V ?

1 3

(9 6 ?

1 2

?

x 6

? x ) ? x (0 ? x ? 3 6 ) 即 V ? 3 6 x ?

6 36

x (0 ? x ? 3 6 )
3

(2) V ? ? 3 6 ?

6 12

x ?
2

6 12

(3 6 ? x ) ,? x ? (0, 6 ) 时, V ? ? 0; ? x ? (6, 3 6 ) 时, V ? ? 0;
2

? x ? 6 时 V ( x ) 取得最大值.

22 、解: (Ⅰ)如图 2 6 4 (正视图) 4 (侧视图) 2 2 4 2 2 (俯视图) 6

················································4 分 ················································ (Ⅱ)所求多面体体积
V ? V长 方 体 ? V正 三 棱 锥
1 ?1 ? ?? ? 2? 2?? 2 3 ?2 ?
D?
C?

? 4?4?6 ?

?

284 3

( c m ) . ······································ 9 分 ······································

2

B? (Ⅲ)证明:在长方体 A B C D ? A ? B ?C ?D ? 中, 连结 A D ? ,则 A D ? ∥ B C ? . E D 因为 E , G 分别为 A A ? , A ? D ? 中点, C 所以 A D ? ∥ E G , A B 从而 E G ∥ B C ? .又 B C ? ? 平面 E F G , 所以 B C ? ∥ 面 E F G . ······················································· 14 分 ·······················································

A?

G

F


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