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广东省佛山市高明区第一中学2015-2016学年高二数学下学期第一次月考试题 理


高明一中 2015-2016 学年度第二学期高二第一次大考 数学(理科)试卷
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 2 1.已知一个物体的运动方程是 s=1+t+t ,其中 s 的单位是米,t 的单位是秒, 那么该物体在 3 秒末的瞬间速度是 ( ) A.6 米/秒 B.7 米/秒 C.8 米/秒 D.9 米/秒 2.设 f (x)为可导函数,

且满足 lim
x ?0

f (1) ? f (1 ? x) =-1,则曲线 y=f (x)在点(1, f(1))处的切线的斜 2x
( ) (C)

率是 (A)2 (B)-1

1 2

(D)-2

3.用反证法证明命题: “a,b∈ N * ,ab 可被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 5 整除”时,假设的 内容应为( ) A. a,b 都能被 5 整除 C. a,b 都不能被 5 整除

B. a,b 不都能被 5 整除 D. a 不能被 5 整除

4. 某个命题与正整数 n 有关,若当 n ? k (k ? N * ) 时该命题成立,那么可推得当 n ? k ? 1 时该命题也 成立,现已知当 n ? 5 时该命题不成立,那么 可推得( ) A.当 n ? 6 时,该命题不成立 B.当 n ? 6 时,该命 题成立 C.当 n ? 4 时,该命题成立 D.当 n ? 4 时,该命题不成立 5.若(m -3m-4)+(m -5m-6)i 是纯虚数,则实数 m 的值为( A.-1 C.-1 或 4 B.4 D.不存在
2 2

)

6. 若函数 y ? f ( x) 的导函数 在区间 [ a, b] 上是增函数,则函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上的图象可能是 ... ( y ) y y

y

o

a

b x

o

a
B.

b x

o

a

b x
C.

o

a

b x
D. ( )
1

A .

3 2 2 7.函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1 处有极值 10, 则点 ( a, b) 为

(A) (3,?3)

(B) (?4,11)

(C) (3,?3) 或 (?4,11)

(D)不存在

8.曲线 y ? ln(2 x ? 1) 上的点到直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的最短距离是 A. 3 5 B. 2 5 C. 5 D.0

( )

9.如图,在一个长为 π ,宽为 2 的矩形 OABC 内,曲线 y=sin x (0≤ x ≤π )与 x 轴围成如图所示的 阴影部分,向矩形 OAB C 内随机投一点(该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的) ,则所投的点落在 阴影部分的概率是( )

y
2 B. ? 3 D. ?

1 A. ?

2 A y=sinx O

B

? C. 4

?


C x

10.设 a ? R ,若函数 A. a ? ? 3

y ? eax ? 3x , x ? R 有大于零的极值点,则(
B. a ? ?3 C. a ? ?

1 3

D. a ? ?

1 3
)

11.已知函数 y ? x3 ? 3x ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=( A. -2 或 2 B. -9 或 3 C. -1 或 1 D. -3 或 1

12. 已知 f1 ( x) ? sin x ? cos x ,fn?1 ? x ? 是 fn ? x ? 的导函数, 即 f 2 ? x ? ? f1? ? x ? ,f3 ? x ? ? f 2? ? x ? , ?,

f n ?1 ? x ? ? f n? ? x ? , n ? N* ,则
A. sin x ? cos x

f 2012 ( x) ? (

) D. sin x ? cos x

B. ? sin x ? cos x

C. ? sin x ? cos x

二、填空题:(每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是 _____________.
x

? ?0≤x≤2? ?10 14. 一物体在力 F(x)=? ?3x+4 ?x>2? ?

(单位:N)的作用下沿与力 F 相同的方 向,从 x=0 处

运动到 x=4(单位:m)处,则力 F (x)作的功为____________J.

15.平面上有 n 条直线,它们任何两条不平行,任何三条不共点,设 k 条这样的直线把平面分成 f ( k ) 个 区域,且已知 f (2) ? 4 , f (3) ? 7 , f (4) ? 11 ,则 f (5) ? ___,

k ? 1 条直线把平面分成的区域数 f (k ? 1) ? f (k ) ?

.

16.已知 f ( x) ? lg x ,函数 f ( x) 定义域中任意的 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,有如下结论:
2

① 0 ? f ?(3) ? f (3) ? f (2) ? f ?(2) ;

② 0 ? f ?(3) ? f ?(2) ? f (3) ? f (2) ; ④ f( .



f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0; x1 ? x2

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? . 2 2

上述结论中正确结论的序号是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) (1)用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角大于或等于 60°. ( 2 ) 已 知 n ? 0, 试 用 分 析 法 证 明 :

n ? 2 ? n ?1 ? n ?1 ? n

18.( 本 小 题 满 分 10 分 ) 已 知 数 列 ?an ? 满 足 an ?1 ? ( 1 ) 计 算 a2 , a3 , a4 , a5 的 值 ;

1 , a1 ? 0 . 2 ? an

( 2 ) 根 据 以 上 计 算 结 果 猜 想 ?an ? 的 通 项 公 式 , 并 用 数 学 归 纳 法 证 明 你 的 猜 想 .

19. (本小题满分 12 分)如图,一矩形铁皮的长为 8 m,宽为 3 m,在四个角各截去一个大小相同的小正 方形,然后折起,可以制成一个无盖的长方体容器,所得容器的容积 V (单位: m )是关于截去的小 正方形的边长 x (单位: m )的函数. (1)写出 V 关于 x (单位: m )的函数解析式; (2)截去的小正方形的边长为多少时,容器的容积最大? 最大容积是多少?
3

20 . ( 本 题 满 分 12 分 ) 定 义 : 对 于 区 间 I 内 连 续 可 导 的 函 数 y ? f ( x) , 若 ?x0 ? I , 使

f ( x0 ) ? f ' ( x0 ) ? 0 ,则称 x0 为函数 y ? f ( x) 的新驻点.已知函数 f ( x) ? a x ? x .
(Ⅰ)若函数 y ? f ( x) 存在新驻点,求新驻点 x0 ,并求此时 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 21. (本小题满分 13 分)已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx ? 3(m ? 1) x ? nx ? 1 的一个极值点,其中 m, n ? R, m ? 0 , (I)求 m 与 n 的关系式;
3 2

(II)当 x ?? ?1,1? 时,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围.

3

22.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ?
1 , a ?R . x

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,求 a 的值; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间; (3)当 a ? 1,且 x ≥ 2 时,证明: f ( x ? 1) ≤ 2 x ? 5 .

座位号:

学号 姓名 班 高二





线











4

高明一中 2015-2016 学年度第二学期高二第一次大考 数学(理科)答题卷 一、选择题: (每题 5 分,共 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题: (每题 5 分,共 20 分) 13. 14.

15.

16.



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分)

18(本小题满分 10 分)

5

. 19. (本小题满分 12 分)

20.(本小题满分 12 分)

6

21. (本小题满分 13 分)

22. (本小题满分 13 分)

7

高二第一次大考数学(理科)试卷参考答案及评分标准 一、选择题:BDCD BABC ABAB 二、填空题: 13. ?2,??? 14. 46. 15. 16 , k ? 1 16. ①③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. ( 1 ) 证 明 : 假 设 在 一 个 三 角 形 中 , 没 有 一 个 内 角 大 于 或 等 于 60 °, 即 均 小 于 60 °, ( 2 分 ) 则 三 内 角 和 小 于 180 °, 与 三 角 形 中 三 内 角 和 等 于 180 °矛 盾 , 故 假 设 不 成 立 .原 命 题 成 立 .( 4 分 ) ( 2) 证 明 : 要 证

n ? 2 ? n ?1 ? n ? 1 ? n 成立, 只 需 证 n ? 2 ? n ? 2 n ?1 (5 分) 2 2 只 需 证 ( n ? 2 ? n ) ? (2 n ? 1)
只 需 证 n ?1 ?

n 2 ? 2n 2 2 只 需 证 (n ? 1) ? n ? 2n 2 2 只 需 证 n ? 2n ? 1 ? n ? 2n ,
只 需 证 1>0 因 为 1>0 显 然 成 立 , 所 以 原 命 题 成 立 . 18. 解 : ( 1 ) 由 an ?1 ?

(7 分) (8 分) ( 10 分 )

1 和 a1 ? 0 , 得 2 ? an 1 2 1 1 ? , a2 ? ? , a3 ? 1 3 2?0 2 2? 2 1 3 1 4 a4 ? ? , a5 ? ? . 2 4 3 5 2? 2? 3 4 n?1 ( 2 ) 由 以 上 结 果 猜 测 : an ? n
用数学归纳法证明如下:

(4 分)

(5 分)

1?1 ? 0 , 等 式 成 立 .( 6 分 ) 1 k ?1 ( Ⅱ ) 假 设 当 n ? k( k? 1 ) 时 , 命 题 成 立 , 即 ak ? 成立. (7 分) k 那 么 , 当 n ? k ? 1时 , 1 1 k ( k ? 1) ? 1 ak ? 1 ? ? ? ? k ? 1 2 ? ak k ?1 k ?1 2? k 这 就 是 说 , 当 n ? k ? 1时 等 式 成 立 (9 分)
( Ⅰ ) 当 n ? 1 时 , 左 边 ? a1 ? 0 , 右 边 ? 由(Ⅰ)和(Ⅱ) , 可 知 an ?

n?1 对 于 任 意 正 整 数 n 都 成 立 . ( 10 分 ) n

19.

8

解: (1)设截去的小正方形的边长为 x m ,则此容器的长、宽、高分别为: 8 ? 2 x,3 ? 2 x, x (单位:

3 m )∴容积为: V ? x(8 ? 2 x)(3 ? 2 x)(m)3 (0 ? x ? ) 2 3 3 2 即: V ? 4 x ? 22 x ? 24 x(0 ? x ? ) (5 分) 2
(2) ?V ? ? 12 x ? 44 x ? 24
2

令 V ? ? 0 得: x ? 3 (舍)或 x ?

2 (7 分) 3

2 3 2 x?( , ) 又当 x ? (0, ) 时, V ? ? 0 , V ↗;当 3 2 时, V ? ? 0 , V ↘ ( 9 分 ) 3
∴当 x ?

200 2 时,函数取极大值,也是最大值,此时 V最大 ? 27 3

( 11 分 )

故:截去的小正方形的边长为

200 2 ( m )3 ( 12 分 ) m 时,容积最大,最大容积为 27 3

20.解: (Ⅰ)? f ( x) ? a x ? x,? f ' ( x) ? a x ln a ? 1 ,由题意得

f ( x0 ) ? a x0 ? x0 ? 0 f ' ( x0 ) ? a x0 ln a ? 1 ? 0
由①得 a
x0

① ② ????????????????3 分 ③

? x0 代入②得 x0 ? loga e ,即 a x0 ? e
e

代入①得 x0 ? e ,? a ? e ,? a ? e .??????????????6 分 (Ⅱ)方法 1: (i)若 0 ? a ? 1 ,则? f (1) ? a ? 1 ? 0 ,不合题意.?????????8 分
x (ii)若 a ? 1 ,令 f ' ( x) ? a ln a ? 1 ? 0 ,得 a x ? loga e, x ? loga (loga e) ,9 分

1 e

当 x ? (??, loga (loga e)) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 递减, 当 x ? (loga (loga e),??) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 递增,

? f ( x) min ? f (loga (loga e)) ? loga e ? loga (loga e) ? loga (e ln a) ,10 分
若 f ( x) ? 0 恒成立,
1

则 loga (e ln a) ? 0 ,? e ln a ? 1 , ? a ? e e .??????????12 分

9

方法 2: f ( x) ? a x ? x ? 0 ? a x ? x , (i) x ? 0 时,显然恒成立,

?????????????7 分 ?????????????8 分

x x (ii) x ? 0 时, a ? x ? ln a ? ln x ? x ln a ? ln x ? ln a ?

ln x , x

设 g ( x) ?

ln x 1 ? ln x ,则 g ' ( x) ? , g ' (e) ? 0 , x x2

当 x ? (0, e) 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 递增, 当 x ? (e,??) 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 递减,

g ( x) max
21.

1 1 ? g (e) ? ,? ln a ? ,? a ? e e .????????12 分 e e

1

2 3 2 2 解: 由题意得 S1=t·t -?tx dx= t , 3 ?
0

2分

S2=?1x2dx-t2(1-t)= t3-t2+ ,

?t

2 3

1 3

4分

4 3 2 1 所以 S=S1+S2= t -t + (0≤t≤1). 3 3

5分 6分 8分 10 分

? 1? 2 又 S′(t)=4t -2t=4t?t- ?, ? 2?
1 令 S′(t)=0,得 t= 或 t=0. 2 1 1 因为当 0<t< 时,S′(t)<0;当 <t≤1 时,S′(t)>0. 2 2

? 1? ?1 ? 所以 S(t)在区间?0, ?上单调递减,在区间? ,1?上单调递增.12 分 ? 2? ?2 ?
1 1 所以,当 t= 时,Smin= . 2 4 22.解: (1)函数 f ( x) 的定义域为 ? x | x ? 0? , f ?( x) ? 13 分

a 1 ? . x x2 又曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂直, 所以 f ?(1) ? a ? 1 ? 2 ,即 a ? 1. (3 分) ax ? 1 . x2 当 a ≥ 0 时,对于 x ? (0 , ? ?) ,有 f ?( x) ? 0 在定义域上恒成立, 即 f ( x) 在 (0, ? ?) 上是增函数. (5 分) 1 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? ? (0, ? ?) . a

(2)由于 f ?( x) ?

(6 分) (7 分)
10

1 当 x ? (0, ? ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;递增区间 a

1 当 x ? (? , ? ?) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减.递减区间 a

(8 分)

(3)当 a ? 1时, f ( x ? 1) ? ln( x ? 1) ? 令 g ( x) ? ln( x ? 1) ?

1 , x ? ? 2, ? ? ? . x ?1

(9 分)

1 ? 2x ? 5 . x ?1 1 1 (2 x ? 1)( x ? 2) g ?( x) ? ? ?2?? . x ? 1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2

10 分

当 x ? 2 时 , g ?( x) ? 0 , g ( x ) 在 (2, ? ?) 单调递减. 又 g (2) ? 0 ,所以 g ( x ) 在 (2, ? ?) 恒为负. 所以当 x ? [2 , ? ?) 时, g ( x) ≤ 0 .

11 分

1 ? 2x ? 5 ≤ 0 . x ?1 故当 a ? 1,且 x ≥ 2 时, f ( x ? 1) ≤ 2 x ? 5 成立.
即 ln( x ? 1) ?

12 分 ( 13 分 )

11


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