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高一数学寒假课程第3讲-函数的基本性质

时间:2014-09-05


高一数学

函数的基本性质
一、知识梳理
1.奇偶性 (1)定义:设函数 y = f ( x) 的定义域为 D ,如果对于 D 内任意一个 x ,都有 ? x ? D ,且 f (? x) = - f ( x) ,那么这个函数叫做奇函数. 设函数 y = g ( x) 的定义域为 D ,如果对于 D 内任意一个 x ,都有 ? x ? D

,且 g (? x) = g ( x) ,那么 这个函数叫做偶函数. (2)如果函数 f ( x) 不具有上述性质,则 f ( x) 不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则

f ( x) 既是奇函数,又是偶函数.
函数是奇函数或是偶函数的性质称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质. (3)由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x , 则 ? x 也一定在定义域内.即定义域是关于原点对称的点集. (4)图象的对称性质:一个函数是奇函数当且仅当它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的当 且仅当它的图象关于 y 轴对称. (5)奇偶函数的运算性质:设 f ( x ) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. (6)奇(偶)函数图象对称性的推广: 若函数 f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称,则 f (? x) ? f ( x ? 2a) ; 若函数 f ( x) 的图象关于点 ( a,0) 对称,则 f (? x) ? ? f ( x ? 2a) . 2.单调性 (1)定义:一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,区间 I ? A . 如果对于区间 I 内的任意两个值 x1 ,x2 , 当 x1 ? x2 时, 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 那么就说 y ? f ( x) 在区间 I 上是单调增函数, I 称为 y ? f ( x) 的单调增区间; 如果对于区间 I 内的任意两个值 x1 ,x2 , 当 x1 ? x2 时, 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 那么就说 y ? f ( x) 在区间 I 上是单调减函数, I 称为 y ? f ( x) 的单调减区间. (2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质.

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(3)设复合函数 y ? f ( g ( x)) ,其中 u ? g ( x) ,A 是 y ? f ( g ( x)) 定义域的某个区间,B 是映射 g : x → u ? g ( x) 的象集. ①若 u ? g ( x) 在 A 上是增 (或减) 函数, y ? f (u ) 在 B 上也是增 (或减) 函数, 则函数 y ? f ( g ( x)) 在 A 上是增函数; ②若 u ? g ( x) 在 A 上是增(或减)函数,而 y ? f (u ) 在 B 上是减(或增)函数,则函数 y ? f ( g ( x)) 在 A 上是减函数. (4)奇偶函数的单调性 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反. ③在公共定义域内: 增函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是增函数; 减函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是减函数; 增函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是增函数; 减函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是减函数. 3.最值 (1)定义: 设函数 y = f ( x) 的定义域为 I, 如果存在实数 M 满足: ① 对于任意的 x ∈ I, 都有 f ( x) ≤M; ② 存在 x0 ∈ I, 使得 f ( x0 ) =M,那么,称 M 是函数 y = f ( x) 的最大值. 设函数 y = f ( x) 的定义域为 I, 如果存在实数 m 满足: ① 对于任意的 x ∈ I, 都有 f ( x) ≥ m ; ② 存在 x0 ∈ I, 使得 f ( x0 ) = m ,那么,称 m 是函数 y = f ( x) 的最小值. (2)函数最大(小)值首先应该是某一个函数值,即存在 x0 ∈I,使得 f ( x0 ) =M( m ) ;函数最大 (小)值应该是所有函数值中的最大(小)者,即对于任意的 x ∈I,都有 f ( x) ≤M( f ( x) ≥ m ).

二、方法归纳
1.利用定义判断函数奇偶性的方法 (1)首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; (2)确定 f (? x) 与 f ( x) 的关系; (3)作出相应结论: 若 f (? x) = f ( x) 或 f (? x) - f ( x) = 0,则 f ( x) 是偶函数; 若 f (? x) =- f ( x) 或 f (? x) + f ( x) = 0,则 f ( x) 是奇函数.
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2.利用定义证明或判断函数单调性的步骤 (1)任取 x1 , x2 ∈D,且 x1 < x2 ; (2)作差 ?y ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; (3)变形(通常是因式分解和配方) ; (4)定号(即判断差 ?y ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的正负) ; (5)下结论(即指出函数 f ( x) 在给定的区间 D 上的单调性). 3.求函数最大(小)值的 一般方法 (1)求值域进而得到最大(小)值.求函数的值域的常见方法:直接法、配方法、换元法、判别式法、 数形结合法、反函数法、单调性法等等. (2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值. (3)利用函数的图象求函数的最大(小)值;

三、典型例题精讲
【例 1】判断下列函数的奇偶性. (1) f ( x) ? ( x ? 1)

1? x lg(1 ? x 2 ) ; (2) f ( x) ? . 1? x x?2 ?2 1? x 1? x ? ( x ? 1)(1 ? x) ? x 2 ? 1 . ? ( x ? 1) 2 ? 1? x 1? x

错解分析:(1)∵ f ( x) ? ( x ? 1)

显然有 f (? x) = f ( x) ,∴ f ( x) 为偶函数. (2)∵ f (? x) ?

lg(1 ? x 2 ) lg(1 ? x 2 ) ,于是 f (? x) ≠ f ( x) 且 f (? x) ≠- f ( x) . ? ?x?2 ?2 x?2 ?2

∴ f ( x) 为非奇非偶函数. 解析: (1)∵ f ( x) 的定义域为

1? x ≥0,即-1≤ x <1. 1? x

定义域不是关于原点对称的数集,∴ f ( x) 为非奇非偶函数. (2)∵ f ( x) 的定义域为 1 ? x 2 ? 0 且 ∴ f ( x) ?

x ? 2 ? 2 ≠0,即-1< x <1 且 x ≠0,此时 x ? 2 ? 0 .

lg(1 ? x 2 ) lg(1 ? x 2 ) ,∴ f ( x) 为奇函数. ? x?2 ?2 ?x

技巧提示:正确判定函数的奇偶性,必须先考虑函数的定义域. 又例:判断下列函数的奇偶性.
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(1) f ( x ) ?

1? x2 ; x?5 ?5

(2) f ( x) ? ?

? x 2 ? x ( x ? 0)
2 ?? x ? x ( x ? 0)



(3) f ( x) ? 3 ? x 2 ?

x2 ? 3 .

解析: (1)∵ 1 ? x 2 ≥0,即-1≤ x ≤1.此时 (2)当 x >0,- x <0 时,

x ? 5 ? 5 ? x ,∴ f ( x) ?

1? x2 ,为奇函数. x

2 2 f ( x) = ? x 2 ? x , f (? x) = (? x) ? (? x) ? x ? x , f ( x) =- f (? x) ;

当 x <0,- x >0 时,
2 2 f ( x) = x 2 ? x , f (? x) = ? (? x) ? (? x) ? ? x ? x , f ( x) =- f (? x) ;

∴ f ( x) 为奇函数. (3)∵ f ( x) ? 3 ? x 2 ?

x 2 ? 3 的定义域为 x | x ? ? 3 .

?

?

此时函数化为 f ( x) =0, x | x ? ? 3 . ∴ f ( x) 既是奇函数又是偶函数. 【例 2】讨论函数 f ( x) ?

?

?

16x ? 1 ? 2 x 的奇偶性. 2x

解析:函数定义域为 R,

16? x ? 1 ? 2 ? x 1 ? 2x ?1 ?1 又 f ( ? x) ? ?x 2 16x
1 ? 16x 16x ? 1 ? 2 x ?1 ? ? f ( x) . =2 ? 4x 2x
x

∴ f ( x) 为偶函数. 技巧提示:判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域,若 函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变). 如本题亦可先化简: f ( x) ?

16x ? 1 ? 1 ? 4 x ? 4 ? x ? 1 ,显然 f ( x) 为偶函数. x 2

从这可以看出,化简后再解决要容易得多. 又例:证明函数 f ( x) ? 1og2 ( x 2 ? 1 ? x) 为奇函数. 解析:∵ f ( x) + f (? x) = 1og2 ( x 2 ? 1 ? x) + 1og2 ( x 2 ? 1 ? x)
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= 1og2 [( x 2 ? 1 ? x)( x 2 ? 1 ? x)] = 1og2 1 =0 ∴ f ( x) 为奇函数. 再例:讨论函数 f ( x) ?

a2 ? x2 ( a ≠0)的奇偶性. | x ? a | ?a

解析:∵ x 2 ≤ a 2 ,∴ 要分 a >0 与 a <0 两类讨论. (i)当 a >0 时,由 ?

?? a ? x ? a ,函数的定义域为 [?a,0) ? (0, a] , ?| x ? a |? a

∵ x ? a ≥0, ∴ f ( x) ?

a2 ? x2 , f ( x) 为奇函数; x

(ii)当 a <0 时,由 ?

?a ? x ? ?a ,函数的定义域为 ? a,0? | x ? a | ? a ?

?0, ?a? ,

∵ x ? a ≤0, ∴ f ( x) ?

a2 ? x2 , f ( x) 既不是奇函数,也不是偶函数. ? x ? 2a

【例 3】求函数 y ? log0.7 ( x2 ? 3x ? 2) 的单调区间. 错解分析:设 t ( x) ? x ? 3 x ? 2 ? ( x ? ) ?
2 2

3 2

1 , 4 3 2

∴ (?? , ) 为函数 t ( x) 的单调递减区间; ( ,?? ) 为函数 t ( x) 的单调递增区间. 又 y ? log0.7 ( x 2 ? 3x ? 2) ? log0.7 t 为 t 的减函数, ∴ (?? , ) 为函数 y ? log0.7 ( x2 ? 3x ? 2) 的单调递增区间;

3 2

3 2

3 ( ,?? ) 为函数 y ? log0.7 ( x2 ? 3x ? 2) 的单调递减区间. 2
解析:设 t ( x) ? x ? 3x ? 2 , 由 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 得函数的定义域为 (??,1) ? (2,??) ,
2

区间 (??,1) 和 (2,??) 分别为函数 t ( x) ? x ? 3x ? 2 的单调递减区间和单调递增区间.
2

又 y ? log0.7 t ,根据复合函数的单调性的规则, 得区间 (??,1) 和 (2,??) 分别为函数 y ? log0.7 t 的单调递增区间和单调递减区间.

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技巧提示:函数的单调区间是包含在定义域内的某个区间,因此,求函数的单调区间必须考虑函数的 定义域.运用复合函数的单调性规则求函数的单调区间时,要考虑各个基本函数都要有意义. 又例:设函数 f ( x) = 调性. 解析:在定义域内任取 x1 < x2 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) =

x?a ( a > b >0) ,求 f ( x) 的单调区间,并证明 f ( x) 在其单调区间上的单 x?b

x1 ? a x2 ? a (b ? a)(x1 ? x2 ) ? , ? x1 ? b x2 ? b ( x1 ? b)(x2 ? b)

∵ a > b >0,∴ b - a <0, x1 - x2 <0, 只有当 x1 < x2 <- b 或- b < x1 < x2 时函数才单调. 当 x1 < x2 <- b 或- b < x1 < x2 时 f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0. ∴(- b ,+∞)和(-∞,- b )都是函数 f ( x) 的单调减函数区间.

ex a ? 是 R 上的偶函数. 【例 4】设 a ? 0 , f ( x) ? a ex
(1) 求 a 的值; (2)证明 f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数.

解析: (1)依题意,对一切 x ? R ,有 f (? x) ? f ( x) ,即

1 ex a x ? ae ? ? x . ae x a e

∴ ( a ? )(e ?
x

1 a

1 ) ?0 ex

对一切 x ? R 成立,

则a?

1 ? 0 ,即 a ? ?1 .∵ a ? 0 ,∴ a ? 1 . a
x x

(2)设 0 ? x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e 1 ? e 2 ?

1 1 ? x2 x1 e e

? (e x2 ? e x1 )(

1 e x1 ? x2

? 1) ? e x1 (e x2 ? x1 ? 1)

1 ? e x2 ? x1 , e x2 ? x1

由 x1 ? 0, x2 ? 0, x2 ? x1 ? 0 ,得 x1 ? x2 ? 0, ex2 ? x1 ?1 ? 0 , 1 ? e x2 ? x1 ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴ f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数.
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技巧提示:两小题都只要抓住偶函数、增函数的定义解决问题就不难.两小题中变形的都是因式分解, 第(2)小题的变形以容易判别符号为目标. 又例:已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在 [0,??) 上为减函数,若 f ( a 2 ? a ? 2 ) ? f (2a ? 1) , 求实数 a 的取值范围. 解析: f ( x) 是 R 上的偶函数且在 [0,??) 上为减函数. ∴由 f ( a 2 ? a ? 2 ) ? f (2a ? 1) ,有 | a 2 ? a ? 2 |?| 2a ? 1 | ,

? a2 ? a ? 2 ? 0 即? 2 ,解得 a ≤-1 或 a ≥2. 2 ?a ? a ? 2 ? (2a ? 1)
再例: 二次函数 f ( x) 的二次项系数为正, 且对任意实数 x , 恒有 f (2 ? x) = f (2 ? x) , 若 f (1 ? 2 x )
2

< f (1 ? 2 x ? x ) ,则 x 的取值范围是_________.
2

解析:由二次函数 f ( x) 的二次项系数为正,知函数的图象为开口向上的抛物线, 由 f (2 ? x) = f (2 ? x) ,知 x =2 为对称轴, 于是有结论:距对称轴较近的点的纵坐标较小.
2 2 ∴ 1 ? 2x ? 2 ? 1 ? 2x ? x ? 2 2 2 即 2 x ? 1 ? ( x ? 1) , 2 x ? 1 ? ( x ? 1)

2

2

∴-2< x <0. 【例 5】 已知 f ( x) 是定义在 R 上的增函数, 对 x ∈R 有 f ( x) >0, 且 f (5) =1, 设 F ( x) = f ( x) + 讨论 F ( x) 的单调性,并证明你的结论. 解析:在 R 上任取 x1 、 x2 ,设 x1 < x2 ,∴ f ( x1 ) < f ( x2 ) ,

1 , f ( x)

F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? [ f ( x2 ) ? ? [ f ( x 2 ) ? f ( x1 )][1 ?

1 1 ] ? [ f ( x1 ) ? ] f ( x2 ) f ( x1 )

1 ], f ( x1 ) f ( x2 )

∵ f ( x) 是 R 上的增函数,且 f (5) =1, ∴当 x <5 时 0< f ( x) <1,而当 x >5 时 f ( x) >1; ① 若 x1 < x2 <5,则 0< f ( x1 ) < f ( x2 ) <1,∴0< f ( x1 ) f ( x2 ) <1,

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∴1 ?

1 <0,∴ F ( x2 ) < F ( x1 ) ; f ( x1 ) f ( x2 )

② 若 x2 > x1 >5,则 f ( x2 ) > f ( x1 ) >1 ,∴ f ( x1 ) f ( x2 ) >1, ∴1 ?

1 >0,∴ F ( x2 ) > F ( x1 ) . f ( x1 ) f ( x2 )

综上, F ( x) 在(-∞,5)为减函数,在(5,+∞)为增函数. 技巧提示: 该题属于判断抽象函数的单调性问题.抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题, 其 基本能力是变量代换、换元等,应熟练掌握它们的这些特点. 又例:已知函数 f ( x) 的定义域关于原点对称,且满足:

(1) f ( x1 ? x2 ) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ; f ( x2 ) ? f ( x1 )

(2)存在正常数 a ,使 f ( a ) =1. 求证: (Ⅰ) f ( x) 是奇函数; (Ⅱ) f ( x) 是周期函数,并且有一个周期为 4 a . 解析: (Ⅰ)设 t ? x1 ? x2 ,则

f (?t ) ? f ( x 2 ? x1 ) ? ??

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 1 f ( x1 ) ? f ( x 2 )

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 1 ? ? f ( x1 ? x 2 ) f ( x 2 ) ? f ( x1 )

? ? f (t )
所以函数 f ( x) 是奇函数.

(Ⅱ)令 x1 ? 2a,x2 ? a ,则 f (a) ?

f ( 2a ) ? f ( a ) ? 1 f ( a ) ? f ( 2a )

即1 ?

f ( 2a ) ? 1 ,解得: f (2a) =0. 1 ? f ( 2a ) f ( x) ? f (?2a) ? 1 f ( x) ? [? f (2a)] ? 1 1 ? ?? . f (?2a) ? f ( x) ? f ( 2a ) ? f ( x ) f ( x)
1 ? f ( x) . 1 ? f ( x)

于是有 f ( x ? 2a) ?

所以 f ( x ? 4a ) ? ?

1 ?? f ( x ? 2a )

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因此,函数 f ( x) 是周期函数,并且有一个周期为 4 a .

【例 6】设函数 f ( x) = x ? 是 .

1 .对任意 x ? [1,??) ,有 f (m x) ? m f ( x) ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围 x

解析:方法一 :显然 m ≠0,由于函数 f ( x) = x ?

1 在 x ? [1,??) 上是增函数, x

则当 m >0 时, f (m x) ? m f ( x) ? 0 不恒成立,因此 m <0. 当 m <0 时,函数 h( x) ? f (mx) ? mf ( x) 在 x ? [1,??) 上是减函数, 因此,当 x ? 1 时, h( x) 取得最大值 h(1) ? m ?

1 , m

故 h( x) ? f (m x) ? m f ( x) ? 0 恒成立等价于 h( x) 在 x ? [1,??) 上的最大值小于零,

即 h(1) ? m ?

1 ? 1 ?m ? ? 0 ? 0 ,解 ? ,得 m <-1. m m ? ? m?0

于是实数 m 的取值范围是 (??,?1) . 方法二 :显然 m ≠0,由于函数 f ( x) = x ?

1 在 x ? [1,??) 上是增函数, x

则当 m >0 时, f (m x) ? m f ( x) ? 0 不恒成立,因此 m <0. 若 f (mx ) ? mf ( x) ? mx ?

1 m 2m 2 x 2 ? 1 ? m 2 ? mx ? = <0 恒成立, mx x mx

因为 x ? [1,??) , m <0,则需 2m 2 x 2 ? 1 ? m 2 >0 恒成立, 设函数 g ( x) ? 2m x ? 1 ? m ,则 g ( x) 在 x ? [1,??) 时为增函数,
2 2 2 2 于是 x ? 1 时, g ( x) 取得最小值 g (1) ? m ? 1 .

解 ?

?m 2 ? 1 ? 0 ? m?0

,得 m <-1.

于是实数 m 的取值范围是 (??,?1) . 方法三 :显然 m ≠0,由于函数 f ( x) = x ?

1 在 x ? [1,??) 上是增函数, x

则当 m >0 时, f (m x) ? m f ( x) ? 0 不恒成立,因此 m <0. 因为对任意 x ? [1,??) , f (m x) ? m f ( x) ? 0 恒成立,
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所以对 x ? 1 ,不等式 f (m x) ? m f ( x) ? 0 也成立, 于是 f (m) ? m f (1) ? 0 ,即 m ?

1 ? 0, m

解 ?

1 ? ?m ? ? 0 ,得 m <-1. m ? ? m?0

于是实数 m 的取值范围是 (??,?1) . 技巧提示:这是一个“恒成立”问题函数,本题提供了三种解法,其中方法一和方法二较好地应用了 函数的单调性.函数 f ( x) = x ? 和 (1,??) 上大于零. 又例:已知函数 f ( x) = x ?
2

1 在 (??,0) 和 (0,??) 上都是增函数.在 (??,1) 和 (0,1) 上小于零; 在 (?1,0) x

a ( x ? 0, a ? R) , x

(1)判断函数 f ( x) 的奇偶性; (2)若 f ( x) 在区间 [2,??) 是增函数,求实数 a 的取值范围。
2 解析: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x 为偶函数;

当 a ? 0 时, f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数.
2 (2)设 x2 ? x1 ? 2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?

x ?x a a 2 ? 1 2 [ x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? a] ? x2 ? x1 x2 x1 x2

由 x2 ? x1 ? 2 ,得 x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? 16 , 又 x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 , 要使 f ( x) 在区间 [2,??) 上是增函数,只需 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 . 即 x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? a ? 0 恒成立, ∴解得 a ? 16 .

四、课后训练
1.若函数 f ( x) ?

x 为奇函数,则 a =( (2 x ? 1)(x ? a)



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A.

1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.1

2.设函数 f ( x) 和 g ( x) 分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( ) A. f ( x) +| g ( x) |是偶函数 C.| f ( x) |+ g ( x) 是偶函数 B. f ( x) -| g ( x) |是奇函数 D.| f ( x) |- g ( x) 是奇函数
x ?x

3.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 和偶函数 g ( x) 满足 f ( x) ? g ( x) ? a ? a

? 2 (a ? 0 ,且 a ? 1) ,若

g (2) ? a ,则 f ?2? ? ( )
A. 2 B.

15 4

C.

17 4

D. a 2

4.函数 f ( x) 是定义在 (?3,3) 上的奇函数, 当 0 ? x ? 3 时, f ( x) 得图象如图所示, 那么不等式 f ( x) ? 0 的 解集是( ) B. (?1,0) ∪ (0,1) C. (1,3) ∪ (?3,?1) D. (?3,?1) ∪ (0,1)

A. (1,3) ∪ (?1,0) y

o

1

3

x
2

5.已知 f ( x) 在 R 上是奇函数,且 f ( x ? 4) ? f ( x), 当 x ? (0,2) 时, f ( x) ? 2x ,则 f (7) ? ( A.-2 B.2 C.-98 D.98 )



6.已知定义域为 R 的函数 f ( x) 在 (8,??) 上为减函数,且函数 y ? f ( x ? 8) 为偶函数,则( A. f (6) > f (7) C. f (7) > f (9) 7.已知 f ( x) = B. f (6) > f (9) D. f (7) > f (10) .

a(2 x ? 1) ? 2 是奇函数,那么实数 a 的值等于 2x ?1
5 3

8.已知 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 8 且 f (?2) ? 10 ,那么 f (2) ? ______. 9.函数 f ( x) ? log5 (2 x ? 1) 的单调增区间是__________ 10.判断函数 g ( x ) ?

x x ? 的奇偶性. 2 ?1 2
x

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11.函数 f ( x) 的定义域为 D: {x | x ? 0} ,且满足对于任意 x1 , x2 ? D ,有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) . (Ⅰ)求 f (1) 的值; (Ⅱ)判断 f ( x) 的奇偶性并证明; (Ⅲ)如果 f (4) ? 1 , f (3x ? 1) ? f (2 x ? 6) ? 3 ,且 f ( x) 在 (0,??) 上是增函数,求 x 的取值范围.

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五、参考答案
1.答案:A 2.答案:A 3.答案:B 解析:由条件 f ?2? ? g ?2? ? a ? a
2 ?2

? 2 , f ?? 2? ? g ?? 2? ? a ?2 ? a 2 ? 2 ,

即 ? f ?2? ? g ?2? ? a

?2

? a 2 ? 2 ,由此解得 g ?2? ? 2 , f ?2? ? a 2 ? a ?2 ,
2 ?2

所以 a ? 2 , f ?2 ? ? 2 ? 2 4.答案: D 5.答案:A 6.答案:D

?

15 ,所以选 B. 4

解析:由函数 y ? f ( x ? 8) 为偶函数知 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 8 对称,又函数 f ( x) 在 (8,??) 上为 减函数知 y ? f ( x) 在 (??,8) 上是增函数,由而可以比较大小. 7.答案:1 解析:∵ f ( x) = a ?

2 为奇函数,∴ f (0) =0,故 a =1. 1? 2x

8.答案:-26

9.答案: (?

1 ,?? ) 2

10.解析:由 x ? 0 ,知 ? x ? 0 ,

因为 g (? x) ? g ( x) ? ?

x? ? x x ? x(2 x ? 1) ? ?x ? ? ? ?x ? x?x ?0, ? ? ?? ?x x 2x ?1 ? 2 ?1 2 ? ? 2 ?1 2 ?

所以 g ( x) 是偶函数. 11.解析: (Ⅰ)令 x1 ? x2 ? 1, 有f (1?1) ? f (1) ? f (1) , f (1) ? 0. (Ⅱ)令 x1 ? x2 ? ?1, 有f [(?1) ? (?1)] ? f ( ?1) ? f ( ?1), 解得f ( ?1) ? 0 令 x1 ? ?1, x2 ? x有f (? x) ? f (?1) ? f ( x),? f (? x) ? f ( x). ∴ f ( x) 为偶函数.
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高一数学

(Ⅲ) f (4 ? 4) ? f (4) ? f (4) ? 2, f (16 ? 4) ? f (16) ? f (4) ? 3. ∴ f (3x ? 1) ? f (2 x ? 6) ? 3即f [(3x ? 1)(2 x ? 6)] ? f (64) (1) ∵ f ( x) 在 (0,??) 上是增函数, ∴(1)等价于不等式组: ?

?(3x ? 1)(2 x ? 6) ? 0, ?(3x ? 1)(2 x ? 6) ? 0, 或? ?(3x ? 1)(2 x ? 6) ? 64, ?? (3x ? 1)(2 x ? 6) ? 64.

1 ? x ? 3或x ? ? , ? 1 ? ? 3 ?? ? x ? 3, 解得 ? 或? 3 ?? 7 ? x ? 5, ? ?x ? R ? 3 ?
∴ 3 ? x ? 5或 ?

7 1 1 ? x ? ? 或 ? ? x ? 3. 3 3 3

∴x 的取值范围为 {x | ?

7 1 1 ? x ? ? 或 ? ? x ? 3或3 ? x ? 5}. 3 3 3

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