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吉林省东北师范大学附属中学2015届高三下学期第四次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案


2014—2015 学年 (下) 高三年级“三年磨一剑之亮剑”

第四次模拟考试数学(文科)试卷
命题人:李晓松 杨云霞 刘彦永

说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,总分 150 分;考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证

号填写清楚,并贴好条形码.请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.在试题卷上作答无效 . .........

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分, 共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.) 1.已知集合 A ? {x | x 2 ? x} , B ? {x | 0 ? x ? 1} ,则下列结论正确的是 (A) A ? B (B) A ? B ? ? (C) A ? B ? A (D) A ? B ? A

2.在复平面内,复数 z ? (A)第一象限

1 ? i 3 所对应的点位于 1+i
(C)第三象限 (D)第四象限

(B)第二象限

x 3.已知命题 p : “ ?x ? R, e ? x ?1 ? 0 ”,则 ? p 为

(A) ?x ? R, e ? x ?1 ? 0
x

(B) ?x ? R, e ? x ? 1 ? 0
x

(C) ?x ? R, e ? x ? 1 ? 0
x

(D) ?x ? R, e ? x ? 1 ? 0
x

4.若 cos(? ? ? ) ? ? (A) ?

1 ? ,则 sin( ? ? ) = 2 2
(B)

1 2

1 2

(C) ?

3 2

(D)

3 2

5.一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间为 40 秒. 某人 开车到这个路口时,恰好为绿灯的概率为 (A)

2 5

(B)

8 15

(C)

1 3

(D)

3 5

6.已知直线 l 过点 (0, ?1) , l 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 y 有两个公共点,则 l 的斜率的取值范围是 (A) (??, ? 3) ? ( 3, ??) (B) (? 3, 3)

-1-

(C) ( ??, ? ) ? ( , ??) 7.函数 f ( x) ? x ? ln x 的零点所在的区间为 (A) (?1,0) (C) ( ,1) (B) (0, ) (D) (1, e)

1 2

1 2

(D) ( ?

1 1 , ) 2 2

1 e

1 e

8.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出 的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 (A)6 (C)10 (B)8 (D)12 开始
S ? 0, A ? 1, i ? 1

9.执行如图所示的程序框图,则输出的 S ?

8 5 3 (C) 2
(A)

5 3 12 (D) 7
(B)

S?S?

1 A

?x ? y ?1 ? 0 ? 10.已知实数 x , y 满足条件 ? 2 x ? y ? 2 ? 0 ,则 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

i ? i ?1

A ? A?i

i?5 ?



x 2 ? y 2 的最大值为
(A)

是 输出 S 结束

1 2

(B)1

(C) 2 2

(D)8

11. 已知四面体 ABCD ,AD ? 平面 BCD ,BC ? CD ,AD ? 2, BD ? 4 , 则四面体 ABCD 外 接球的表面积等于 (A)

20 5 ? 3

(B) 20?

(C)

20 ? 3

(D)

100 ? 3

12.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知 F1 , F2 是 一对相关曲线的焦点, P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当 ?F 1 PF2 ? 60? 时,这一 对相关曲线中椭圆的离心率为 (A)

3 3

(B)

3 2

(C)

2 2

(D)

1 2

-2-

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题(本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分) 13.已知向量 a, b 满足 | b |? 3 , a 在 b 方向上的投影是
2 2

? ?

?

?

?

? ? 3 ,则 a ? b = 2

. . .

14.直线 y ? x ? 2 被圆 M : x ? y ? 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 所截得的弦长为

15. 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 且 4a1 ,2a2 ,a3 成等差数列. 若 a1 ? 3 , 则 S4 ? 16.若关于 x 的方程 ln x ?

a ? 0 恰有 3 个根,则实数 a 的取值范围是 x

.

三、解答题(本题共 6 小题, 共 70 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? M (sin

x x ? cos ? ? cos sin ? )( M ? 0, 0 ? ? ? ) 的最大值是 2,且 2 2 2

f (0) ? 1 .
(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)已知锐角△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,若 a ? 2 , f (2 A) ? 2 ,

2b sin C ? 2c .求△ ABC 的面积.

18.(本小题满分 12 分) 为了解某校学生喜爱打篮球是否与性别有关, 采用随机抽样方法抽取了 50 名学生进行问卷调 查, 得到如下的列联表: 喜爱打篮球 不喜爱打篮 球 男生 女生 10 5 合计

-3-

合计

50

已知在这 50 名学生中随机抽取 1 人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . (Ⅰ)请将上面的列联表补充完整; (Ⅱ)是否有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由; (Ⅲ)记不喜爱打篮球的 5 名男生分别为 A 、 B 、 C 、 D 、 E ,这 5 名男生喜爱打乒乓 球, 如果从他们当中任选 2 人作为一对组合参加乒乓球男子双打比赛,求 A 、 B 中恰好有 1 人被选中的概率. 下面的临界值表供参考:

3 5

P( K 2 ? k 0 )
k0
(参考公式: K 2 ?

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19.(本小题满分 12 分) 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 A B C D为 菱 形 , PD ? 底 面 A B C D, AD ? 2 ,

?DAB ? 60? , E 为 BC 的中点.
(Ⅰ)证明: AD ? 平面 PDE ; (Ⅱ)若 PD ? 2 ,求点 E 到平面 PAC 的距离.

-4-

20.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C: x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F,直线 x ? 4 与 x 轴的交点为 P,与抛物线 C 的交点为 Q,且 | QF |?

5 | PQ | . 4

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)点 A(?a, a)(a ? 0) 在抛物线 C 上,是否存在直线 l : y ? kx ? 4 与抛物线 C 交于点

M , N ,使得 ?MAN 是以 MN 为斜边的直角三角形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,
请说明理由.

21.(本小题满分 12 分)

b?R . 已知 f ( x) ? e x ? ax ? b , a ,
(Ⅰ)若函数 f ( x ) 的图象在坐标原点处的切线是 x 轴,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立,求 ab 的最大值.

请考生在第 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时写清题 号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知圆 O 外有一点 P ,过点 P 作圆 O 的切线 PM , M 为切点. 过 PM 的中点 N 作割线 NAB , 交圆 O 于 A 、B 两点. 连接 PA 并延长,交圆 O 于点 C ,MC ? BC . 连接 PB 交圆 O 于点 D . (Ⅰ)求证:△ APM ∽△ ABP ; (Ⅱ)求证:四边形 PMCD 是平行四边形. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中, 以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点 A

-5-

? 3 x? ? ? ? ? 2 的极坐标为 ( 2, ) ,直线 l 的参数方程为 ? 4 ?y ? 1 ? ? ? 2
(Ⅰ)求点 A 对应的参数 t ; (Ⅱ)若曲线 C 的参数方程为 ? 求 MN .

2 t 2 ( 为参数),点 A 在直线 l 上. t 2 t 2

? x ? 2 cos ? N 两点, ( ? 为参数),直线 l 与曲线 C 交于 M、 ? y ? sin ?

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 3x ? 2 (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 4 ? x ? 1 , (Ⅱ)已知 m ? n ? 1(m, n ? 0) ,若 | x ? a | ? f ( x) ? 取值范围.

1 1 ? (a ? 0) 恒成立,求实数 a 的 m n

-6-


吉林省长春市东北师范大学附属中学2015届高三下学期第四次模拟考试理数试题解析(解析版)

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