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高考数学模拟试卷(最后一卷)


数学模拟试卷(最后一卷)
必做题部分
(时间 120 分钟,满分 160 分) 一.填空题:本大题 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将正确的答案填在答题纸上相应的横 线上. 1. 若复数 z 满足 ( 3 ? 3i) z ? 6i (i 是虚数单位) ,则 z=__________.
1 ? ? 已 知 集 合 A ? ? y | y ?

x , x ? R ? , B ? ?y | y ? log2 ( x ? 1), x ? R? , 则 2 ? ? . A? B ?

2.

3. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? 2n ? 1 ,则 a7 ?

.

4. 已知 sin? ?

4 3 ? ? ?? , 其中 ? ? ? 0, ? ,则 cos(? ? ) ? 7 3 ? 2?



5. 一组数据中每个数据都减去 80 构成一组新数据,则这组新数据的平均数是 1.2 ,方差 是 4 .4 ,则原来一组数的方差为 . 6. 定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 在 (0, ??) 上是增函数.若 f (a) ? f (2) ,则实数 a 的取值 范围是 7. 函数 f ( x) ? x? 的值为_________.
2

.
?2? ?3

(常数 ? ? Z )为偶函数, 且在 (0, ??) 上是单调递减函数, 则?

8. 从集合 A ? ??2, ?1,1,2,3? 中任取两个元素 m 、 n ( m ? n ) ,则方程 对应的曲线表示焦点在 y 轴上的双曲线的概率是 .

x2 y2 ? ? 1所 m n

9. 已知 i, j 为互相垂直的单位向量, a ? i ? 2 j, b ? i ? ? j ,且 a 与 b 的夹角为锐角,则 实数 ? 的取值范围是____________.
1

10.若直线 ax ? by ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,则实数 ab 的取值范围是



11. 定义:若对定义域 D 上的任意实数 x 都有 f ( x ) ? 0 ,则称函数 f ( x) 为 D 上的零函 数.根据以上定义, “ f ( x) 是 D 上的零函数或 g ( x) 是 D 上的零函数”为“ f ( x) 与 g ( x) 的 积函数是 D 上的零函数”的 条件.

12. 已知 P 为抛物线 y 2 ? 4 x 上一点,设 P 到准线的距离为 d1 , P 到点 A(1,4) 的距离为

d 2 ,则 d1 ? d 2 的最小值为________.

13. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? (b ? 4 ? a 2 ) x ? 2a ? b 是偶函数, 则函数图像与 y 轴交点的纵 坐标的最大值是 .

14. 三位同学合作学习,对问题“已知不等式 xy ? ax ? 2 y 对于 x ??1,2?, y ??2,3? 恒
2 2

成立,求 a 的取值范围”提出了各自的解题思路. 甲说: “可视 x 为变量, y 为常量来分析”. 乙说: “寻找 x 与 y 的关系,再作分析”. 丙说: “把字母 a 单独放在一边,再作分析”. 参考上述思路,或自已的其它解法,可求出实数 a 的取值范围是



二.解答题:本大题 6 小题,共 90 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本大题 14 分,第一小题 7 分,第二小题 7 分)
如图, 在三棱柱 ABC ? A 四边形 A 四边形 BCC1 B1 ?A1 AB ? 60? , 1B 1C1 中, 1 ABB 1 为菱形, 为矩形,若 AB ? BC 且 AB ? 4 , BC ? 3 ⑴求证:平面 A 1CB ? 平面 ACB1 ; ⑵求三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的体积.

C

C1

B

B1

A

A1

2

16. ( 本大题 14 分,第一小题 7 分,第二小题 7 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax ? x , 若对任意 x 1 、 x 2 ∈R, 恒有 2f(
2

x1 ? x2 ) ≤f(x 1 )+f(x 2 ) 2

成立,不 等式 f(x)<0 的解集为 A. (1)求集合 A; (2)设集合 B ? {x || x ? 4 |? a} ,若集合 B 是集合 A 的子集,求 a 的取值范围. 17.( 本大题 15 分,第一小题 7 分,第二小题 8 分) 已知 z1 ? 3i, z2 ? 3, z3 ? sin ? ? i cos ? , ? ?[0, 2? ) , z1 , z2 , z3 在平面上对应的点 为 A, B, C . (1)若 AC ? BC ,求 ? 的值; (2)若 AC ? BC ? ?1 ,求

2sin 2 ? ? sin 2? 的值. 1 ? tan ?

18. ( 本大题 15 分,第一小题 7 分,第二小题 8 分) ⑴在长度为 a 的线段 AB 上任意作一点 C ,求 CB ? CA 的概率; ⑵若将长度为 a 的线段截成三段,则三段长能围成一个三角形的概率有多大. 19. ( 本大题 16 分,第一小题 5 分,第二小题 5 分,第三小题 6 分) 如图,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点和上顶点分别为 F1 、 F2 、 B ,我们称 a 2 b2

?F1BF2 为椭圆 C 的特征三角形.如果两个椭圆的特征
三角形是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆” ,且 三角形的相似比即为椭圆的相似比. (1)已知椭圆 C1 : 断 C2 与 C1 是否 相似,如果相似则求出 C2 与 C1 的相似比,若不相 似请说明理由; (2)写出与椭圆 C1 相似且半短轴长为 b 的椭圆 Cb 的方程,并列举 相似椭圆之间的三种性质(不需证明) ; (3)已知直线 l : y ? x ? 1 ,在椭圆 Cb 上是否存在两点 M 、 N 关于直 线 l 对称,若存在,则求出函数 f ?b? ? MN 的解析式.
3

x2 x2 y 2 ? y 2 ? 1 和 C2 : ? ? 1 ,判 4 16 4

20. ( 本大题 16 分,第一小题 5 分,第二小题 5 分,第三小题 6 分) 已 知公差大 于零的等 差数 列 {an } 的前 n 项 和为 Sn , 且满足: a3 ? a4 ? 117 ,

a2 ? a5 ? 22 . (1)求数列 {an } 的通项公式 an ;
(2)若数列 {bn } 是等差数列,且 bn ?

Sn ,求非零常数 c; n?c

(3)若(2)中的 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求证: 2Tn ? 3bn ?1 ?

64bn (n ? 9)bn ?1

参考答案:
一.填空题: 1.

?

3 3 ? i 2 2

2.

?0,???

3.

64

4.

?

11 14

5.

4.4

6.

? ??, ?2? ??2, ???
7. 12. 13. 1 8.

3 10

9.

(??, ?2)

1 (?2, ) 2

10.

1 1 [? , ] 2 2

11.

充分 非必要

4
4 14.

[?1,??)

二.解答题: 15.[解]:⑴略;⑵ VABC ? A B C ? 12 3 . 1 1 1 16. 解:(1)对任意 x 1 、x 2 ∈R,由 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 f ( 立. 要使上式恒成立,所以 a ? 0 。???????????????????3 分 由 f(x)=ax +x 是二次函数知 a≠0,故 a>0. ????????????4 分 解得 A ? ( ?
2

x1 ? x 2 1 ) ? a( x1 ? x 2 ) 2 ≥0 成 2 2

1 ,0) 。???????????????????????5 分 a
4

(2) 解得 B ? (?a ? 4, a ? 4) ,???????????????????6 分

因为集合 B 是集合 A 的子集,所以 a ? 4 ? 0 ??????????8 分 且? a ? 4 ? ?
2

1 ,?????????????????????????11 分 a

化简得 a ? 4a ? 1 ? 0 ,解得 0 ? a ? ?2 ? 5 ??????14 分 17. [解]: (1) BC ? (sin ? ? 3) ? cos ? ? 10 ? 6sin ? ,
2 2

AC ? (cos ? ? 3)2 ? sin 2 ? ? 10 ? 6cos ? .
由 AC ? BC 得 sin ? ? cos ?

5? . ---------7 分 4 4 (2) AC ? BC ? (sin ? ,cos ? ? 3) ? (sin ? ? 3,cos ? ) ? ?1 ,得 sin ? (sin ? ? 3) ? cos ? (cos ? ? 3) ? ?1 1 ? 3(sin ? ? cos ? ) ? ?1 , 2 (sin ? ? cos ? ) ? . 3 4 5 两边平方得 1 ? 2sin ? cos ? ? , 2sin ? cos ? ? ? . 9 9 2sin ? (sin ? ? cos ? ) 5 ∴ 原式 ? ? 2sin ? cos ? ? ? .---------14 分 sin ? ? cos ? 9 cos ? 1 1 18. 解: (1) P ? (2) P ? 2 4

tg? ? 1 ,∵ ? ? [0, 2? ) ,∴ ? ?

?

或? ?



19. [解]: (1)椭圆 C2 与 C1 相似. 因为 C2 的特征三角形是腰长为 4,底边长为 2 3 的等腰三角形,而椭圆 C1 的特征三 角形是腰长为 2,底边长为 3 的等腰三角形,因此两个等腰三角形相似,且相似比 为 2 :1 . ------- 4 分

(2)椭圆 Cb 的方程为:

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) .------------------------7 分 4b 2 b 2

两个相似椭圆之间的性质有: 写出一个给 1 分 ① 两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方; ② 分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似,相似比即为椭圆的相似比; ③ 两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合; 过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比. ----10 分
5

(3)假定存在,则设 M 、 N 所在直线为 y ? ? x ? t , MN 中点为 ? x0 , y0 ? .

? y ? ?x ? t ? 则 ? x2 ? 5x 2 ? 8xt ? 4(t 2 ? b 2 ) ? 0 .-------------------12 分 y2 ? 2 ? 2 ?1 b ? 4b
所以 x0 ?

x1 ? x 2 4t t ? , y0 ? . 2 5 5
5 .-------------16 分 3

中点在直线 y ? x ? 1 上,所以有 t ? ?

( x1 ? x2 ?

40 2 100 ) ? 20( ? 4b 2 ) 4 25 3 9 ? 5b 2 ? . 5 5 9

f (b) ? MN ? 2 x1 ? x2 ?

4 50 5 10b2 ? (b ? ) .-------------18 分 5 9 3

20.解: (1) {an } 为等差数列,∵ a3 ? a4 ? a2 ? a5 ? 22,又 a3 ? a4 ? 117, ∴ a3 , a4 是方程 n ? 22x ? 117 ? 0 的两个根
2

又公差 d ? 0 ,∴ a3 ? a4 ,∴ a3 ? 9 , a4 ? 13 ?????????????? 2分 ∴ ? 4分 (2)由(1)知, S n ? n ? 1 ? 5分

? a1 ? 2d ? 9 ?a1 ? 3d ? 13

∴?

?a1 ? 1 ?d ? 4

∴ an ? 4n ? 3 ??????????????

n(n ? 1) ? 4 ? 2n 2 ? n ???????????????? 2

Sn 2n 2 ? n ? ∴ bn ? ???????????????????????? n?c n?c
6分 ∴ b1 ? 8分
6

1 6 15 , b2 ? , b3 ? ?????????????????? 1? c 2?c 3?c

∵ {bn } 是等差数列,∴ 2b2 ? b1 ? b3 ,∴ 2c ? c ? 0 ???????????
2

9分 ∴c ? ? 分 (3)由(2)得 bn ? 分

1 ( c ? 0 舍去) ??????????????????????? 10 2

2n 2 ? n ? 2n ?????????????????????? 12 1 n? 2

2Tn ? 3bn?1 ? 2(n2 ? n) ? 3(2n ? 2) ? 2(n ? 1)2 ? 4 ? 4 ,n ? 1 时取等号 ???? 15


64bn 64 ? 2n 64n 64 ? ? 2 ? ? 4 ,n ? 3 时取等号?17 (n ? 9)bn ?1 (n ? 9) ? 2(n ? 1) n ? 10n ? 9 n ? 9 ? 10 n
分 (1)、(2)式中等号不可能同时取到,所以 2Tn ? 3bn ?1 ? 分

64bn ??????? 18 (n ? 9)bn ?1

7


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