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湖南省娄底市2016届高三数学上学期期中联考试题文(新)


湖南省娄底市 2015-2016 学年高三上学期期中考试联考 数学(文科)试题

一.选择题: (每题 5 分) 1.若复数 z ? i ? 3 ? 2i ? ( i 是虚数单位 ),则 z ? A. 3 ? 2i
2

B. 3 ? 2i

C. 2 ? 3i

D. 2 ? 3i

/>
2.设集合 M={x|x =x},N={x|lg x≤0},则 M∪N=( ) A.[0,1] B.(0,1] C.[0,1) D.(-∞,1] x 3.设 p:1<x<2,q:2 >1,则 p 是 q 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要 条件 * * 4.命题“? n∈N ,f(n)∈N 且 f(n)≤n”的否定形式是( ) * * * * A.? n∈N ,f(n)?N 且 f(n)>n B.? n∈N ,f(n)?N 或 f(n)>n * * * * C.? n0∈N ,f(n0)?N 且 f(n0)>n0 D.? n0∈N ,f(n0)?N 或 f(n0)>n0 π? ? 5.要得到函数 y=sin?4x- ?的图像,只需将函数 y=sin 4x 的 图像( ) 3? ? π A.向左平移 个单位 12 π 移 个单位 3 6.设函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1 -x),则 f(x)是( ) A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数 7.sin20°cos10°-con160°sin10°= A. ? π B.向右平移 个单位 12 π C.向左平移 个单位 3 D.向右平

3 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D.

1 2

8.已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a7=( ) A.21 B.42 C .63 D.84 9.向量 a=(2,4)与向量 b=(x,6)共线,则实数 x=( ) A.2 B.3 C.4 D.6 10.已知{an}是公差为 1 的等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和.若 S8=4S4,则 a10=( 17 A. 2 19 B. 2 C.10 D.12

)

?3x-1,x<1, ? f(a) 11.设函数 f(x)=? x 则满足 f(f(a))=2 的 a 的取值范围是( ?2 ,x≥1. ?

)

?2 ? A.? ,1? ?3 ?

B.[0,1]

?2 ? C.? ,+∞? ?3 ?

D.[1,+∞)

1

12.设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数, f(-1)=0, 当 x>0 时, xf′(x)-f(x)<0, 则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( ) A.(-∞ ,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞) 二.填空题: (每题 5 分) 1 13.已知 tan α =-2,tan(α +β )= ,则 tan β 的值为________. 7 14.在等差数列{an}中,若 a3+a4+a5+a6+a7=25,则 a2+a8=________. 2 2 15.若非零向量 a, b 满足|a|= |b|, 且(a-b)⊥(3a+2b), 则 a 与 b 的夹角为 3
?2 -a,x<1, ? 16. 设函数 f(x)=? ? ?4(x-a)(x-2a),x≥1.
x

.

(1)若 a=1,则 f(x)的最小值为________; (2)若 f(x)恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是________. 三.解答题: (第 17 题 10 分,其余的每题 12 分)

? π π? 17. 已知向量 m= (1,3cos α ),n=(1,4tan α ),α ∈?- , ?,且 m·n=5.(1)求|m ? 2 2?
+n|;(2)设向量 m 与 n 的夹角为 β ,求 tan(α +β )的值.

π? 2? 18. 设 f(x)=sin xcos x-cos ?x+ ?. 4? ?

(1)求 f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC 中,角

?A? A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f? ?=0,a=1, 求△ABC 面积的最大值. 2 ? ?

2

x ? 3? 19.设 a 为实数,给出命题 p:函数 f(x)=?a- ? 是 R 上的减函数,命题 q:关于 x 的不等 ? 2?
|x-1| ?1? 式? ? ≥a 的解集为?.(1)若 p 为真命题,求 a 的取值范围;(2)若 q 为真命题,求 a ?2? 的取值范围;(3)若“p 且 q”为假命题, “p 或 q”为真命题,求 a 的取值范围.

20. 设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的公比为 q.已知 b1=a1,b2 =2,q=d,S10=100.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)当 d>1 时,记 cn= ,求数列{cn} 的前 n 项和 Tn.

an bn

3

21.已知函数 f(x)=ax +bx(x∈R).(1)若函数 f(x)的图象在点 x=3 处的切线与直线 24x -y+1=0 平行,函数 f(x)在 x=1 处取得极值,求函数 f(x)的解析式,并确定函数的单调 递减区间;(2)若 a=1,且函数 f(x)在[-1,1]上是减函数,求 b 的取值范围.

3

22.设函数 f(x)=ln x+ ,m∈R.(1)当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值; (2)讨论函数 g(x)=f′(x)- 零点的个数。 3

m x

x

高三数学文科联考试题答案 一.选择题: DAAD 二.填空题: 13.3 三.解答题: DADD BBCA

14.10

15.

? 3

16.(1)-1

?1 ? (2)? ,1?∪[2,+∞) ?2 ?

? π π? 17.已知向量 m=(1,3cos α ),n=(1,4tan α ),α ∈?- , ?,且 m·n=5.(1)求|m ? 2 2?
4

+n|;(2)设向量 m 与 n 的 夹角为 β ,求 tan(α +β )的值. 1 解:(1)由 m·n=1+12cos α tan α =5,得 sin α = . 3 2 2 2 ? π π? 因为 α ∈?- , ?,所以 cos α = ,tan α = . 3 4 ? 2 2? 则 m=(1,2 2),n=(1, 2),所以 m+n=(2,3 2),所以|m+n|= 22. (2)由(1)知 m=(1,2 2),n=(1, 2),所以 cos β = 5 3× 3 = 5 3 ,即 sin β = 9

6 2 ?5 3?2 1-? ? = 9 ,所以 tan β = 5 , ? 9 ? 2 2 + 4 5 2 2 × 4 5 2 . 2

所以 tan(α +β )=



1-

π? 2? 18.设 f(x)=sin xcos x-cos ?x+ ?. 4? ?

(1)求 f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC 中,角

?A? A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f? ?=0,a=1,求△ABC 面积的最 大值. 2 ? ?
sin 2x 解:(1)由题意知 f(x)= - 2 = π? ? 1+cos?2x+ ? 2? ? 2

sin 2x 1-sin 2x 1 - =sin 2x- . 2 2 2

π π π π 由- +2kπ ≤2x≤ +2kπ ,k∈Z,可得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z; 2 2 4 4 由 π 3π π 3π +2kπ ≤2x≤ +2kπ ,k∈Z,可得 +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z. 2 2 4 4

π ? π ? 所 以 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 是 ?- +kπ , +kπ ? (k∈Z) ; 单 调 递 减 区 间 是 4 ? 4 ?

?π +kπ ,3π +kπ ?(k∈Z). ?4 ? 4 ? ?
1 1 ?A? (2)由 f? ?=sin A- =0,得 sin A= . 2 2 ?2? 3 . 2 2 2 2 由余弦定理 a =b +c -2bccos A, 由题意知 A 为锐角,所以 cos A= 可得 1+ 3bc=b +c ≥2bc, 1 2+ 3 即 bc≤2+ 3,当且仅当 b=c 时等号成立,因此 bcsin A≤ , 2 4 所以△ABC 面积的最大值为 2+ 3 . 4
2 2

5

x ? 3? 19.设 a 为实数,给出命题 p:函数 f(x)=?a- ? 是 R 上的减函数,命题 q:关于 x 的不等 ? 2?
|x-1| ?1? 式? ? ≥a 的解集为?.(1)若 p 为真命题,求 a 的取值范围;(2)若 q 为真命题,求 a ?2? 的取值范围; (3)若“p 且 q”为假命题, “p 或 q”为真命题,求 a 的取值范围.

x 3 3 5 ? 3? 解: (1)命题 p: “函数 f(x)=?a- ? 是 R 上的减函数”为真命题, 得 0<a- <1, 所以 <a< ; 2 2 2 2 ? ?
|x-1| ?1? (2)由 q 为真命题,则由 0<? ? ≤1,得 a>1; ?2? (3)∵p 且 q 为假,p 或 q 为真,所以 p、q 中一真一假. 若 p 真 q 假 ,则 a 不存在; 3 5 若 p 假 q 真,则 1<a≤ 或 a≥ . 2 2 3 5 综上,a 的取值范围为:1<a≤ 或 a≥ . 2 2 20.设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的公比为 q.已知 b1=a1,b2= 2,q=d,S10=100.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)当 d>1 时,记 cn= ,求数列{cn} 的前 n 项和 Tn. 解:(1)由题意有,

an bn

? ? ? ?10a1+45d=100, ? ?2a1+9d=20, ?a1=1, ? ? ? ? 即 解得 或? 2 ?a1d=2, ?a1d=2, ?d=2 ? ? ? ? d= . ?
9 1 a = (2n+79), ? 9 ? ?a =2n-1, ? 故? 或? n-1 ?b =2 ? ? 2? b =9·? ? . ? ? ? 9?
n n n n-1 n

a1=9,

(2)由 d>1,知 an=2n-1,bn=2

n-1

2n-1 ,故 cn= n-1 ,于是 2

Tn=1+ + 2+ 3+ 4+?+

3 2

5 2

7 2

9 2

2n-1 n-1 ,① 2

1 1 3 5 7 9 2n-1 Tn= + 2+ 3+ 4+ 5+?+ n .② 2 2 2 2 2 2 2 ①-②可得

6

1 1 1 1 2n-1 2n+3 Tn=2+ + 2+?+ n-2- n =3- n , 2 2 2 2 2 2 2n+3 故 Tn =6- n-1 . 2 21.已知函数 f(x)=ax +bx(x∈R).(1)若函数 f(x)的图象在点 x=3 处的切线与直线 24x -y+1=0 平行,函数 f(x)在 x=1 处取得极值,求函数 f(x)的解析式,并确定函数的单调 递减区间;(2)若 a=1,且函数 f(x)在[-1,1]上是减函数,求 b 的取值范围. [解析] (1)∵f(x)=ax +bx(x∈R),∴f′(x)=3ax +b. 由题意得 f′(3)=27a+b=24,且 f′(1)=3a+b=0, 解得 a=1,b=-3.经检验成立. ∴f(x)=x -3x.
3 3 2 3

令 f′(x)=3x -3<0,得-1<x<1,

2

∴函数 f(x)的减区间为(-1,1). (2)当 a=1 时,f(x)=x +bx(x∈R),又∵f(x)在区间[-1,1]上是减函数, ∴f′(x)=3x +b≤0 在区间[-1,1]上恒成立,即 b≤-3x 在区间[-1,1]上恒成立, ∴b≤(-3x )min=-3. 22.设函数 f(x)=ln x+ ,m∈R.(1)当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值; (2)讨论函数 g(x)=f′(x)- 零点的个数。 3 e x-e 解:(1)由题设,当 m=e 时,f(x)=ln x+ ,则 f′(x)= 2 ,
2 2 2 3

m x

x

x

x

∴当 x∈(0,e)时,f′(x)<0,f(x)在(0,e)上单调递减; 当 x∈(e,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(e,+∞)上单调递增. e ∴x=e 时,f(x)取得极小值 f(e)=ln e+ =2,∴f(x)的极小值为 2. e

x 1 m x (2)由题设 g(x)=f′(x)- = - 2- (x>0), 3 x x 3
1 3 令 g(x)=0,得 m=- x +x(x>0), 3 1 3 设 φ (x)=- x +x(x≥0), 3 则 φ ′(x)=-x +1=-(x-1)(x+1), 当 x∈(0,1)时,φ ′(x)>0,φ (x)在(0,1)上单调递增; 当 x∈(1,+∞)时,φ ′(x)<0,φ (x)在(1,+∞)上单调递减. ∴x=1 是 φ (x)的唯一极值点,且是极大值点,因此 x=1 也是 φ (x)的最大值点,
2

7

2 ∴φ (x)的最大值为 φ (1)= . 3 又 φ (0)=0,结合 y=φ (x)的图像(如图所示),可知

2 ①当 m > 时,函数 g(x)无零点; 3 2 ②当 m= 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 3 2 ③当 0<m< 时,函数 g(x)有两个零点; 3 ④当 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点. 2 综上所述,当 m> 时,函数 g(x)无零点; 3 2 当 m= 或 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 3 2 当 0<m< 时,函数 g(x)有两个零点. 3

8


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