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江苏省南通中学2010-2011学年度第一学期期末考试高二数学试卷

时间:2011-04-16


江苏省南通中学 2010—2011 学年度第一学期期末考试 高二数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答卷 .. 相应位置上. .....
1.命题“ ?x ? R, x 2 ? 0 ”的否定是 ▲ . ▲ . ▲

2.抛物线 y 2 ? 8x 的焦点到准线的距离是

>3. 已知 p : 直线 a 与平面 ? 内无数条直线垂直,q : 直线 a 与平面 ? 垂直. p 是 q 的 则 条件. (用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空) 、 、 、 4.如果方程 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是 5.已知曲线 y ? ▲ .



1 x2 ? 3ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为 4 2



6.若曲线 C : x 2 ? y 2 ? 2ax ? 4ay ? 5a 2 ? 4 ? 0 上所有的点均在第二象限内,则 a 的取 值范围为 ▲ .

x2 y2 7.已知离心率为 e 的曲线 2- =1,其右焦点与抛物线 y2=16x 的焦点重合,则 e 的值为 a 7 ▲ .

8.已知椭圆 c :

x2 x2 2 ? y 2 ? 1 的 两 焦 点 为 F1 , F2 , 点 P( x0 , y0 ) 满 足 0 ? 0 ? y0 ? 1 , 则 2 2

PF1 + PF2 的取值范围为 ▲ .
2 2 9.设实数 x, y 满足 x ? ( y ? 1) ? 1,若对满足条件 x, y ,不等式 x ? y ? c ? 0 恒成立,

则 c 的取值范围是





sin x 的值域为 ▲ . cos x ? 2 11.已知函数 y ? xf ?(x) 的图像如右图所示(其中 f ?(x) 是函数

10.已知 x ? [0, π] ,则函数 y ?

y y=xf'(x)
1 -1
o

f ( x)的导函数) ,下面四个图象中 y ? f (x) 的图象大致是▲
y
2 1 -2 -1 -2
o

1

x

y
2 1
1 23 x
o

y
4

y
4 2 1

-1

-1 -2

1 2 x
-2

2
o

x

-2

o

2

x








1

12.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使得 BD=a,则三棱锥 D-ABC 的体积是 ▲ . 13.椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? ?) 的右焦点 F ,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在 a 2 b2
▲ .

点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F ,则椭圆离心率的取值范围是

14.设函数 f ? x ? ? x3 ? 3bx2 ? 3cx 存在两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ?[?1 0], x2 ?[1, 2]. , 则 b2 ? c 2 的范围为 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答卷指定区域内作答,解答时 ...... 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 14 分)已知圆 C: x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? 3 ? 0 ,圆 C 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,圆心在第二象限,半径为 2 (Ⅰ )求圆 C 的方程; (Ⅱ )已知不过原点的直线 l 与 圆 C 相切,且在 x 轴、y 轴上的截距相等,求直线 l 的方程.

PD ? 平面 ABCD , 16. (本小题满分 14 分) 右图为一简单组合体, 其底面 ABCD 为正方形, EC // PD ,且 PD ? 2 EC , (1)求证:BE//平面 PDA; (2)若 N 为线段 PB 的中点,求证: EN ? 平面 PDB ; P
E

D

C

A

B

2

17. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x (I)若 x ? 3 是 f ( x ) 的极值点,求 f ( x ) 在 x ? [1, a] 上的最小值和最大值; (Ⅱ )若 f ( x)在x ?[1, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 15 分)已知点 P 是⊙O : x 2 ? y 2 ? 9 上的任 意一点,过 P 作 PD 垂直 x 轴于 D ,动点 Q 满足 DQ ?

????

? 2 ??? DP . 3

(1)求动点 Q 的轨迹方程; (2)已知点 E (1,1) ,在动点 Q 的轨迹上是 否存在两个不重合的两点 M 、 N ,使

??? 1 ???? ???? ? ? OE ? (OM ? ON ) ( O 是坐标原点),若存在,求出直线 MN 的方程,若不 存在, 2
请说明理由.

3

19. 本小题满分 16 分) ( 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p>0) 的准线为 l , M0 过 1 ,( )

且斜率为 3

???? ???? ? ? 的直线与 l 相交于点 P,与 C 的一个交点为 Q, PM ? MQ .
(1)求抛物线的方程; (2)过点 K (?1, 0) 的直线 m 与 C 相交于 A、B 两点, ① BM ? 2AM ,求直线 AB 的方程; 若 ② 若点 A 关于 x 轴的对称点为 D,求证:点 M 在直线 BD 上.

20. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? x( x ? a)( x ? b) ,点 A s, f ? s ? , B t , f ?t ? . (Ⅰ )若 a ? 0,b ? 3 ,函数 f ( x ) 在 (t , t ? 3) 上既能取到极大值,又能取到极小值,求 t 的取值范围; (Ⅱ )当 a ? 0 时,

?

? ?

?

f ( x) ?1 ? ? ln x ? 1 ? 0 对任意的 x ? ? , ?? ? 恒成立,求 b 的取值范围; x ?2 ?

(Ⅲ )若 0 ? a ? b ,函数 f ( x ) 在 x ? s 和 x ? t 处取得极值,且 a ? b ? 2 3 , O 是坐标 原点,证明:直线 OA 与直线 OB 不可能垂直.

4

江苏省南通中学 2010—2011 学年度第一学期期末考试 高二数学答题卡
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.
1. 5. 9. 13. 2. 6. 10. 14. 3. 7. 11. 4. 8. 12.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.
15.

16.

P

E

D

C

A

B

5

17.

18.

6

19.

7

20.

8

江苏省南通中学 2010—2011 学年度第一学期期末考试 高二数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答卷 .. 相应位置上. .....
1.命题“ ?x ? R, x 2 ? 0 ”的否定是 ▲ . 答案 ▲ .4 ▲ “ ?x ? R, x 2 ? 0 ”

2.抛物线 y 2 ? 8x 的焦点到准线的距离是

3. 已知 p : 直线 a 与平面 ? 内无数条直线垂直,q : 直线 a 与平面 ? 垂直. p 是 q 的 则 条件.必要不充分 4.如果方程 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是 (0,1) 5.已知曲线 y ? ▲



1 x2 ? 3ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为 4 2



.3

6.若曲线 C : x 2 ? y 2 ? 2ax ? 4ay ? 5a 2 ? 4 ? 0 上所有的点均在第二象限内,则 a 的取 值范围为 ▲ . ( 2 , ? ?)

x2 y2 7.已知离心率为 e 的曲线 2- =1,其右焦点与抛物线 y2=16x 的焦点重合,则 e 的值为 a 7 ▲ 4 . 3

8.已知椭圆 c :

x2 x2 2 ? y 2 ? 1 的 两 焦 点 为 F1 , F2 , 点 P( x0 , y0 ) 满 足 0 ? 0 ? y0 ? 1 , 则 2 2

PF1 + PF2 的取值范围为__▲_____. ? 2, 2 2 ? , 0
2 2 9.设实数 x, y 满足 x ? ( y ? 1) ? 1,若对满足条件 x, y ,不等式 x ? y ? c ? 0 恒成立,

则 c 的取值范围是



.答案 [ 2 ?1, ??)
3 sin x , 0] 的值域为 [? 3 cos x ? 2

10.已知 x ? [0, π] ,则函数 y ?





y y=xf'(x)
1 -1
o

11.已知函数 y ? xf ?(x) 的图像如右图所示(其中 f ?(x) 是函数

f ( x)的导函数) ,下面四个图象中 y ? f (x) 的图象大致是▲ ③

1

x

-1

9

y
2 1 -2 -1 -2
o

y
2 1
1 23 x
o

y
4

y
4 2 1

-1 -2

1 2 x
-2

2
o

x

-2

o

2

x

① ② ③ ④ 12.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使得 BD=a,则三棱锥 D-ABC 的体积是▲ .
2 3 a 12

13.椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? ?) 的右焦点 F ,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在 a 2 b2
▲ . ? ,1?
?1 ? ?2 ?

点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F ,则椭圆离心率的取值范围是

解析:由题意,椭圆上存在点 P,使得线段 AP 的垂直平分线过点 F ,即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等,而|FA|=

a2 b2 ?c ? c c

|PF|∈ [a-c,a+c]于是

b2 ∈ [a-c,a+c]即 ac- c

?c ?a ?1 ? ac ? c ? a ? c ? ?1 ? 2 2 2 ? c ≤b ≤ac+c ∴? 2 ?? ,又 e∈ (0,1)故 e∈? ,1? 2 2 ?2 ? c c 1 ? a ? c ? ac ? c ? ? ? ?1或 ? ?a a 2 ?
2 2 2

14.设函数 f ? x ? ? x ? 3bx ? 3cx 存在两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ?[?1 0], x2 ?[1, 2]. ,
3 2

则 b2 ? c 2 的范围为
2



1 17 .[ , ] 5 4

解 f ? ? x ? ? 3x ? 6bx ? 3c 由 题 意 知 方 程 f ? ? x ? ? 0 有两个根 x1、x2

且x1 ?[?1 0], ,

x2 ?[1, 2].





f ? ? ?1? ? 0, f ? ? 0? ? 0, f ? ?1? ? ,f ? ? 0

??

2

0

故有右图中阴影部分即是满足这些条件的点 ? b, c ? 的区域.

10

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答卷指定区域内作答,解答时 ...... 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知圆 C: x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? 3 ? 0 ,圆 C 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,圆心在第二 象限,半径为 2 (Ⅰ )求圆 C 的方程; (Ⅱ )已知不过原点的直线 l 与圆 C 相切,且在 x 轴、y 轴上的截距相等,求直线 l 的方程. 解: )由 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? 3 ? 0 知圆心 C 的坐标为 (? (Ⅰ ∵ C 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称∴ (? 圆 点

D E ,? ) 2 2

D E , ? ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上 2 2

即 D+E=-2,------① 且 又∵ 圆心 C 在第二象限

D 2 ? E 2 ? 12 ? 2 ------------② 4
由① 解得 D=2,E=-4 ②

∴D ? 0, E ? 0

∴ 所求圆 C 的方程为: x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 (Ⅱ ? 切线在两坐标轴上的截距相等且不为零,设 l : x ? y ? ? )

? 圆 C: (x ? 1)2 ? (y ? 2)2 ? 2 ? 圆心 c(?1, 2) 到切线的距离等于半径 2 ,即
?? ? ?1或? ? 3 .

?1 ? 2 ? ? ? 2 2

所求切线方程 x ? y ? 1或x ? y ? 3 ? 0
P

16.右图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD , EC // PD ,且 PD ? 2 EC , (1)求证:BE//平面 PDA; (2)若 N 为线段 PB 的中点,求证: EN ? 平面 PDB ; 解: (1)证明:∵EC // PD , PD ? 平面 PDA , EC ? 平面 PDA ∴ EC//平面 PDA , 同理可得 BC//平面 PDA A ∵ ? 平面 EBC,BC ? 平面 EBC 且 EC ? BC ? C EC ∴ 平面 BEC //平面 PDA 又∵ ? 平面 EBC BE ∴ BE//平面 PDA (2)证法 1:连结 AC 与 BD 交于点 F, 连结 NF,
P

E

D

C

B

E N D F A B C

1 ∵ 为 BD 的中点,∴NF // PD 且 NF ? PD , F 2 1 又 EC // PD 且 EC ? PD ∴NF // EC 且 NF ? EC 2 ∴ 四边形 NFCE 为平行四边形--------7 分∴NE // FC ∵ DB ? AC , PD ? 平面 ABCD ,

11

AC ? 面 ABCD ∴AC ? PD , 又 PD ? BD ? D ∴ AC ? 面 PBD ∴NE ? 面 PDB 。 3 17.已知函数 f ( x) ? x ? ax2 ? 3x
(I)若 x ? 3 是 f ( x ) 的极值点,求 f ( x ) 在 x ? [1, a] 上的最小值和最大值; (Ⅱ )若 f ( x)在x ?[1, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围. 解: (I) f '(3) ? 0,即27 ? 6a ? 3 ? 0, ? a ? 4

1 ? f ( x) ? x3 ? 4x2 ? 3x 有极大值点 x ? ? ,极小值点 x ? 3 . 3
此时 f ( x ) 在 x ? [? ,3] 上是减函数,在 x ? [3, ??) 上是增函数.

1 3

? f (1) ? 6, f (3) ? ?18, f (a) ? f (4) ? ?12 ? f ( x) 在 x ? [1, a] 上的最小值是-18,最大值是-6
(Ⅱ f ?( x) ? 3x ? 2 x ? 3 ? 0 )
2

当 x ? 1 时恒成立,

?a ? 0
18.已知点 P 是⊙O : x 2 ? y 2 ? 9 上的任 意一点,过 P 作 PD 垂直 x 轴于 D ,动点 Q 满足

???? 2 ??? ? DQ ? DP . 3
(1)求动点 Q 的轨迹方程; (2)已知点 E (1,1) ,在动点 Q 的轨迹上是 否存在两个不重合的两点 M 、 N ,使

??? 1 ???? ???? ? ? OE ? (OM ? ON ) ( O 是坐标原点),若存在,求出直线 MN 的方程,若不 存在, 2
请说明理由. 解: (1)设 P( x0 , y0 ), Q ? x, y ? ,依题意,则点 D 的坐标为 D( x0 ,0) ∴DQ ? ( x ? x0 , y), DP ? (0, y0 )

????

??? ?

12

19.已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p>0) 的准线为 l ,过 M (1,0) 且斜率为 3 的直线与 l 相交于

???? ???? ? ? 点 P,与 C 的一个交点为 Q. PM ? MQ .
(1)求抛物线的方程, (2)过点 K (?1, 0) 的直线 m 与 C 相交于 A、B 两点, ① BM ? 2AM ,求直线 AB 的方程, 若 ② 若点 A 关于 x 轴的对称点为 D,求证:点 M 在直线 BD 上. 解(1) y 2 ? 4 x , (2)①y ? ?
2 2 ( x ? 1) 3

13

20.已知函数 f ( x) ? x( x ? a)( x ? b) ,点 A s, f ? s ? , B t , f ?t ? . (Ⅰ )若 a ? 0,b ? 3 ,函数 f ( x ) 在 (t , t ? 3) 上既能取到极大值,又能取到极小值,求 t 的取值范围; (Ⅱ )当 a ? 0 时,

?

? ?

?

f ( x) ?1 ? ? ln x ? 1 ? 0 对任意的 x ? ? , ?? ? 恒成立,求 b 的取值范围; x ?2 ?

(Ⅲ )若 0 ? a ? b ,函数 f ( x ) 在 x ? s 和 x ? t 处取得极值,且 a ? b ? 2 3 , O 是坐标 原点,证明:直线 OA 与直线 OB 不可能垂直. 解: )当 a ? 0, b ? 3 时 f (x) ? x3 -3x 2 ,?f ?(x) ? 3x 2 - 6x (Ⅰ

? f (x) 在 (2, ??)和(??,0) 上递增,在 (0, 2) 上递减
所以 f (x) 在 0 和 2 处分别达到极大和极小,由已知有 t ? 0 且 t ? 3 ? 2 , 因而 t 的取值范围是 (?1, 0) .

f ( x) ? ln x ? 1 ? 0 即 x 2 ? bx ? ln x ? 1 ? 0 x ln x 1 1 ln x 1 ? ? b ,记 g ( x) ? x ? ? ( x ? ), 可化为 x ? x x x x 2
(Ⅱ )当 a ? 0 时, 则 g ?( x) ? 1 ?

1 ? ln x 1 x 2 ? ln x ? 2 ? , x2 x x2
1 2 1 2 ? ,? ?) 上递增. , m(x) 在 ( , ) 上递减, ( 在 x 2 2 2

记 m( x) ? x ? ln x,则 m ?( x) ? 2 x ?
2

? m( x) ? m(

1 2 1 2 ) ? ? ln ? 0 从而 g ?( x) ? 0,? g ( x)在[ ,?? ) 上递增 2 2 2 2

因此 g ( x ) min ? g ( ) ?

1 2

5 5 ? 2 ln 2 ? b,故 b ? ? 2 ln 2. 2 2
14

(Ⅲ )假设 OA ⊥OB ,即 OA ? OB = (s, f (s)) ? (t , f (t )) ? st ? f (s) f (t ) ? 0 故 ( s ? a)(s ? b)(t ? a)(t ? b) ? ?1,

[st ? (s ? t )a ? a 2 ][st ? (s ? t )b ? b 2 ] ? ?1
由 s , t 为 f ? (x)=0 的两根可得, s ? t ? 从而有 ab(a ? b) 2 ? 9

2 ab (a ? b),st ? , (0 ? a ? b) 3 3

(a ? b) 2 ? (a ? b) 2 ? 4ab ?

9 ? 4ab ? 2 36 ? 12 ab

即 a ? b ≥2 3 ,这与 a ? b <2 3 矛盾. 故直线 OA 与直线 OB 不可能垂直.

15


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