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人教版高二数学选修2-1椭圆的几何性质(第一节课用)


复习练习

x P为椭圆

2

+ 16 =1上一点,F1、F2是其左、右焦点 25

y

2

(1)若|PF1|=3,则|PF2|=_________________ (2)过左焦点F1任作一条弦AB, 则⊿ABF2的周长为___ 20
B

A F1

7

y
P

0

F2

x

二、椭圆
1、范围:x ? 1, 2
a
2

简单的几何性质
y2 ? 1得 : 2 b

-a≤x≤a,

-b≤y≤b

椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2

A1

b F1

a F2

A2

o c
B1

2、椭圆的顶点 2 2

令 x=0,得 y=?,说明椭圆与 y轴的交点(
令 y=0,得 x=?, 说明椭圆与 x轴的交点( *顶点:椭圆与它的对称 轴的四个交点,叫做椭圆的 顶点。 *长轴、短轴: 线段 A1A2、B1B2分别叫做椭圆 的长轴和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半

x y 在 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)中, a b

0, ±b ), )。 ±a, 0

y B1(0,b)
A1 o

A2(a,0) x
B2(0,-b)

轴长和短半轴长。

焦点总在长轴上!

3.椭圆的对称性

Y P1(-x,y)

P(x,y)

O P2(-x,-y)

X

3、椭圆的对称性 2 2 x y 在 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)之中, a b
把(X)换成(-X),方程不变,说明椭圆关于( Y )轴对称; 把(Y)换成(-Y),方程不变,说明椭圆关于( X )轴对称; 把(X)换成(-X), (Y)换成(-Y),方程还是不变,说明椭圆 y 关于( 原点 )对称;

所以,坐标轴是 椭圆的对称轴,原点 是椭圆的对称中心。

o

x

中心:椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

根据前面所学有关知识画出下列图形
x y ? ?1 (1) 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2

x2 y2 ? ?1 (2) 25 4
y
4 3 B 2 2 1

A1

A2 x

A1

A2 x

-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4

123 4 5

B1

-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4

离心率:椭圆的焦距与长轴长的比:

4、椭圆的离心率

y

c e? 叫做椭圆的离心率。 a

[1]离心率的取值范围: 因为 a > c > 0,所以0<e <1 [2]离心率对椭圆形状的影响:

O

x

1)e 越接近 1,c 就越接近 a,从而 b就越小,椭圆就 越扁 2)e 越接近 0,c 就越接近 0,从而 b就越大,椭圆就 越圆 3)特例:e =0,则 a = b,则 c=0,两个焦点重合, 椭圆方程变为(?)

标准方程 范围

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a

|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称

|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前 同前

对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系

(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b

c e ? a

a2=b2+c2

同前

4

内容升华

一个范围,三对称 四个顶点,离心率

例1、已知椭圆方程为16x2+25y2=400,则 它的长轴长是: 10 ;短轴长是: 8 ;
焦距是:

6

;离心率等于:

焦点坐标是:

(?3, 0) ;顶点坐标是:?5, 0) (0, ?4) ; (
80


3 5



外切矩形的面积等于:

解题步骤: 1、将椭圆方程转化为标准方程求a、b:
x2 y2 ? ?1 25 16

2、确定焦点的位置和长轴的位置.

<例题2>求适合下列条件的椭圆的标准方程
x2 y2 1 ? ?1 (1) a=6, e= , 焦点在x轴上 36 32 3 x2 y 2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1 (2) 离心率 e=0.8, 焦距为8 25 9 25 9 x2 y2 y2 x2 (3) 长轴是短轴的2倍, 且过点P(2,-6) ? ? 1或 ? ? 1
(4)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直, 且焦距为6 x2 y2

148 37

52 13

18 9 求椭圆的标准方程时, 应: 先定位(焦点), 再定量(a、b)

?

?1

当焦点位置不确定时,要讨论,此时有两个解!

练习2:过适合下列条件的椭圆的标准方程: Q (1)经过点P(?3, 0) 、 (0, ?2) ; 3 (2)长轴长等于 20 ,离心率等于 5 . 解:(1)由题意, a ? 3 b ? 2 ,又∵长轴在 x
x2 y 2 轴上,所以,椭圆的标准方程为 ? ? 1 c 3 9 4 . e 2 (2)由已知, a ? 20 , ? a ? 5

c ∴ a ? 10 , ? 6 ,∴ b2 ? 102 ? 62 ? 64
2 2



y2 x2 x y ? ?1 ? ?1 或 所以椭圆的标准方程为 100 64 100 64



例3.已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标 轴上,长轴是短轴的三倍,且椭圆经过点P (3,0),求椭圆的方程。

x y x 2 ? y ? 1或 ? ?1 9 81 9

2

2

2

〈例题3〉离心率 e
(1).若椭圆 k ? 8 + 9 =1的离心率为

x

2

y

2

5 ? 或4 4 0.5,则:k=_____

(2).若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列,
3 5 则其离心率e=__________

例5

点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到定直线

25 4 x? l: 的距离的比为 ,求点M的轨迹. 4 5

点M(x,y)与定点F(c,0)的距离 和它到定直线 例5、 2
a c l : x ? 的距离比是常数 ( a ? c ? 0). 求M点的轨迹。 c a

解:如图,设d是点M到直线L的距离,根据题意,所求轨
迹的集合是: MF c? P ? {M | ? ? d a? 由此得 :

? x ? c? ? y2
2

令a2 ? c2 ? b2 , 可化得 : (a ? c ) x ? a y ? a (a ? c ).
2 2 2 2 2 2 2 2

a2 ?x c

c ? , 平方,化简得 : a

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 a b

这是一个椭圆的标准方程,所以点M的 轨迹是长轴、短轴分别是2a、2b的椭圆。

椭圆的准线与离心率

c 离心率:e ? a

离心率的范围:
2

0 ? e ?1
L’

a 椭圆的准线 : x ? ? c

y
F’

a 相对应焦点F(c,0),准线是: x ? c

2

M F

L

o

x

a2 相对应焦点F(- c,0),准线是: x ? ? c

y x 思考: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)又如何呢? a b

2

2

<例题6>
F为椭圆 x a
2 2

y ?1 ? 的右焦点, P为椭圆上一 b
2

2

动点, 求|PF|的最大值和最小值

椭圆中的基本元素
1.基本量: a、b、c、e 几何意义:a-半长轴、b-半短轴、c-半焦距,e-离心率; 相互关系: 2

c ? a ?b
2

2

c e? a

焦点总在长轴上!

2.基本点:顶点、焦点、中心 3.基本线: 对称轴(共两条线)


高中数学选修2-1之椭圆的性质应用

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