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高一数学必修三课件2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征


新课导入
在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10 次,命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7,8,6,8,6,5,8,10,7,4; 乙运动员﹕9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥的 更稳定些吗? 为了从整体上更好地把握总体的规律,我们要 通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。 用样本的数字特征估计总体的数字特征
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br /> 1.众数、中位数、平均数的概念 2.标准差

教学目标
知识与技能
1.正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计 算数据的标准差。 2.能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本 数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差) ,并做出合理的解释。 3.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特 征,形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

过程与方法
在解决统计问题的过程中,进一步体会用 样本估计总体的思想,理解数形结合的数学思 想和逻辑推理的数学方法。

情感态度与价值观
会用随机抽样的方法和样本估计总体的 思想解决一些简单的实际问题,认识统计的 作用,能够辨证地理解数学知识与现实世界 的联系。

教学重难点
重点
用样本平均数和标准差估计总体的平均数 与标准差。

难点
能应用相关知识解决简单的实际问题。

众数、中位数、平均数的概念 众数:在一组数据中,出现次数最多的数据 叫做这组数据的众数。 中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在最中 间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫 做这组数据的中位数。 平均数: 一组数据的算术平均数,即 1 ( x1 + x 2 + + xn ) x= n



众数、中位数、平均数与频率分布直方 图的关系? 1. 众数在样本数据的频率分布直方图中,就是最 高矩形的中点的横坐标。 例如,在上一节调查的100位居民的月均用水量的 问题中,从这些样本数据的频率分布直方图可以看 出,月均用水量的众数是2.25t.如图所示:

频率
组距

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 月平均用水量(t)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

2. 在样本中,有50%的个体小于或等于中位 数,也有50%的个体大于或等于中位数,因此, 在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直 方图的面积应该相等,由此可以估计中位数的 值。此数据值为2.02t,下图中虚线代表居民月 均用水量的中位数的估计值。

频率
组距

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)

2.02这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.0 不一样,你能解释其中的原因吗? 2.02这个中位数的估计值,与样本的中位数 值2.0不一样,这是因为样本数据的频率分布直 方图,只是直观地表明分布的形状,但是从直方 图本身得不出原始的数据内容,所以由频率分 布直方图得到的中位数估计值往往与样本的实 际中位数值不一致。

3. 平均数是频率分布直方图的“重心”,是直方图的 平衡点. n 个样本数据的平均数由公式:

1 ( x1 + x 2 + … + x n ) X= n
下图显示了居民月均用水量的平均数: x=1.973

频率 组距

0.5 0.4 0.3

0.2
0.1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)

归纳
比较:三种数字特征的优缺点 1. 众数体现了样本数据的最大集中点,但它对其 它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征.如 上例中众数是2.25t,它告诉我们,月均用水量为2.25t的 居民数比月均用水量为其它数值的居民数多,但它并 没有告诉我们多多少。

2. 中位数是样本数据所占频率的等分线,它 不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是 优点,但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。 如上例中假设有某一用户月均用水量为10t,那 么它所占频率为0.01,几乎不影响中位数,但显然这 一极端值是不能忽视的。

3.由于平均数与每一个样本的数据有关,所 以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改 变,这是众数、中位数都不具有的性质。也正因 如此 ,与众数、中位数比较起来,平均数可以反 映出更多的关于样本数据全体的信息,但平均数 受数据中的极端值的影响较大,使平均数在估计 时可靠性降低。

某校为了了解学生的课外阅读情况,随机抽查了50 名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数 据,结果用如图所示的条形图表示,根据条形图可得这50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( B ) A. 0.6h B. 0.9h C. 1.0h D. 1.5h
人数

20
10

5
0 0.5 1.0 1.5 2.0
时间(h)

在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10 次,命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7,8,6,8,6,5,8,10,7,4; 乙运动员﹕9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 如果你是教练,你应如何判断哪个运动员发挥的 更稳定些吗? 如果看两人本次射击的平均成绩,由于 x甲 ? 7, 乙 x 两人射击的平均成绩是一样的.那么两个人的水 平就没有什么差异吗?
? ?

?7

分别作甲乙成绩的统计图表,如下

甲的成绩比较分散,乙的 成绩相对集中

标准差
考察样本数据的分散程度的大小,最常 用的统计量是标准差。标准差是样本数据到 平均数的一种平均距离,一般用s表示。

样本数据 x1, x2, ?, xn 的标准差的算法: (1)算出样本数据的平均数 x (2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差:

xi ? x(i ? 1, 2,?n)
(3)算出(2)中的

xi ? x(i ? 1,2,?n) 平方。

(4)算出(3)中n个平方数的平均数,即为样本方 差。 (5)算出(4)中平均数的算术平方根,,即为样 本标准差。

为了方便求的标准差,我们给出计算公式:如下

1 s= [(x1 - x)2 + (x2 - x)2 + L + (xn - x)2 ] n
为了计算方便,在做题的时候 习惯要求求方差,即S2.

显然,标准差较大,数据的离散程度较大; 标准差较小,数据的离散程度较小。

标准差的取值范围是什么?标准差为0的样 本数据有什么特点? 从标准差的定义和计算公式都可以得出:s ? 0 当 s ? 0 时,意味着所有的样本数据都等于样本 平均数。

画出下列四组样本数据的直方图,说明他 们的异同点。 (1)5,5,5,5,5,5,5,5,5 (2)4,4,4,5,5,5,6,6,6 (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7 (4)2,2,2,2,5,8,8,8,8

解:四组样本数据的直方图是:



四组数据的平均数都是5.0,标准差分别为:0,

0.82,1.49,2.83。
他们有相同的平均数,但他们有不同的标准差,

说明数据的分散程度是不一样的。

课堂小结
1.众数、中位数、平均数的概念
众数:在一组数据中,出现次数最多的数据叫做 这组数据的众数。 中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在最中 间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫 做这组数据的中位数。

平均数: 一组数据的算术平均数,即 1 (x1 + x2 + … + xn ) x= n

2. 标准差的概念 考察样本数据的分散程度的大小,最常 用的统计量是标准差。标准差是样本数据到 平均数的一种平均距离,一般用s表示。 3. 标准差的计算公式

1 s? [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ( xn ? x )2 ] n

高考链接
1(2009上海)在发生某公共卫生事件期间,有专业机 构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感 染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过 7天”,根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑 似病例数据,一定符合该标志的是( D ) A.甲地:总体均值为3,中位数为4 B.乙地:总体均值为1,总体方差大于0 C.丙地:中位数为2,众数为3 D.丁地:总体均值为2,总体方差为3

解析:

甲地取0,0,0,0,4,4,4,4,4, 10,该组数据均值为3,中位数为4显然不 符合该标志; 乙地取0,0,0,0,0,0,0,0,0, 10,该组数据中位数为2,众数为3,显然 也不符合该标志;
丙地取0,0,1,1,2,2,3,3,3, 10,该组数据中位数为2,众数为3,显然 也不符合该标致;

丁地的均值为2,则样本总和为20,由于 总体方差为3,可知改组每一个数据与2的差的 平方和为30,若该组数据中有一个超过7,则 其方差必大于3,于是可得丁地一定符合该标 志,故选D。

2(2009江苏)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1, 2,3,4,5的学生进行投篮练习,每人投10次, 投中的次数如下表: 学生 1号 2号 3号 4号 5号

甲班 乙班

6 6

7 7

7 6

8 7

7 9

2 则以上两组数据的方差中较小的一个为s2=____ 5

解析:

本题考查了统计初步中样本数据的求解问 题,属简单的公式应用问题,由图表可得。
1 x甲 ? (6+ 7+ 7+ 8+ 7)= 7 5 1 x乙 ? (6+ 7+ 6+ 7+ 9)= 7 5 1 2 2 s 甲 ? (1+ 0+ 0+ 1+ 0)= 5 5
s
2 乙

1 6 ? (1+ 0+ 1+ 0+ 4)= 5 5

s2甲<s2乙 两组数据的方差中较小的一个为s2=
2 5。

3(2009湖南)一个总体分为A,B两层,用分层抽 样方法从总体中抽取一个容量为10的样本,已知 1 B层中每个个体被抽到的概率都为 ,则总体 12 中的个体数为__________。 120

解析: 本题中主要考查分层抽样、等可能事件的 概率等知识,易知抽样本中的单个个体的概率 1 1 是 ,所以总体个数是10 ? ? 120。
12

12

随堂练习
1在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的 分数如下:9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7, 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的 平均值和方差分别为____________; 9.5,0.016 2若给定一组数据

S

2

,则

x1 , ,…, xn , 方差为 2 2 ax 2 ,…, axn 方差是_______. ax1 a S

3. 在数据统计中,能反映一组数据变化范围大 小的指标是( A) A.极差 B.方差 C.标准差 D.以上都不对

4. 已知一个样本:1,3,2,5,x,若它的平 均数是3,则这个样本的标准差是____ 2

5. 若样本x1,x2…xn的方差是0,则表示( B ) A.X=0 B.x1=x2…=xn

C. x1=x2…=xn=0

D.总体方差一定等于0

习题答案
1.甲乙两种水稻6年平均产量的平均数都是900,但 甲的标准差约等于23.8,乙的标准差约等于41.6, 所以甲的产量比较稳定。
2.(1)平均重量 x ≈ 496.86 ,标准差 s ≈ 6.55

(2)重量位于 (x - s, x +s) 之间有14袋白糖,所 占百分比约为66.67%。

3.(1)略 (2)平均数 x ≈ 19.25 ,中位数为15.2,标 准差 s ? 12.50。这些数据表明这些国家男性患 该病的平均死亡概率约为19.25,有一半国家的 死亡概率不超过15.2, ? 15.2 说明存在大的异 x 常数据,值得关注。这些异常数据是标准差增 大。


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