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2013年高考江西卷理科第20题的进一步探究与应用


6 8  

数 学 通 讯 —— 2 O 1 4年 第 5 、 6期 ( 上半月)  

? 专论荟萃 ?  

+ 
2  

, 下 面 只 需 证明  

+ 

+ 

由 于   +  

+ 南 <

 

, 因  

< 2 ?  

此, 下 面只需 证 明 : a+ b+ c ≤ 2+ 2 a b c .  

注 意到 2 +2 a b c 一( 口 +b +c )一 ( 1 —6 ) ( 1 一  由柯 西不 等式 得  f ) +( 1 一a ) ( 1 一b c ) +a b c , 易 知上式 成立 .  
。 c  + 口 6  

丝   一 .  
口  + b c 。b 0十 ∞

J _  

副产 品  已知 a  ∈ E o , 1 ] , 志一 1 , 2 , …,  , 证 
明 :  

( b c )   . ( c a) 。   . ( a b)   口 。 6 c十 b   c   。b   觎 + c   口 。 。c   + n 。 b 。  

o< 

_l ?  

≥ 

( a b+ b c+ c a)  

r 

因 为 丁 竿 ?   + r 竿   + 雨 C 2  <  
b 0   I  


+  
c a  

证 明  酌  
1   a

≤ 
1  



下 面 

C  
— c z + — a b

q  

,  

b c  

I  

— 

一 

十 

^ =1 _ t I   l   1 .  1 +Ⅱ 。  

+ 

) ,  
( b c+ c a+ a b)  一 b   c  + c 。 口  + n   b 。 +2 a   b c + 

2 b 。 c a+ 2 c   a b,  



所以而 a 2  +  
( a b+ b c+ C a)  
2.  

+南

需  <3 ~   汪 由 
于  < 3—明  1= = :  

只 

1 +(   一1 ) Ⅱn   一∑“  
^一 1   一 1  

- 一

( 1 一n 一1 ) ( 1 一Ⅱ   ) + ( 1 一“   一 2 ) ( 1 一a n ( 1 . , r 1 )  

+ ( 1 一口 , r 3 ) ( 1一 a   a一1 a 一2 ) + …+ ( 1一 n 2 ) ( 1~ 
“ 3 Ⅱ 4 …a   )+ ( 1一 a 1 ) ( 1~ Ⅱ 2 口 3 …n   )+ (   一 

∑ 

2 ) a 1 口 2 …口  ≥ o .  

证 法 2  因 为 而 a 2   +   + r ≠   <  
一  

≤ 

命 题得 证.   ( 收 稿 日期 : 2 0 1 4 —0 1 —1 5 )  

l +b   + 

c 。1+ C a 。i+ a b…

+ 

, 下 面只需 证 明 : 已知 o <
一   + 南 < 2 .  

一 ”  ~  ’ 一 ” +    、  

,  

测   +  

∑㈦  

Ⅱ 

2 0   1   3年高 考江西卷理 科 第 2 0题的进一步 探究 与应 用 
钟长彬  
( 福 建 泉港 第 一 中学 ,3 6 2 8 0 1 )  

杨苍洲  
( 福 建 泉 州 第 五 中学 , 3 6 2 0 0 O )  

文[ 1 ] 《 探究 2 0 1 3年 高考 江西 卷理科 第 2 O题 》  
从2 0 1 3年高考江西 卷理 科 第 2 0题 出发 , 一 般化 了  

线3 2 一 “ _ 于点 M . 记直 线 P A L , P B, P M 的斜 率 分 
C  

椭圆的一 个 性 质 , 并 在 双 曲线 、 抛 物线 中进行 类 比  推理 , 推广 了这一 性质 , 得 到了如下三个结论 :  
/ . 2   —2   2  

另 0 为愚   , 走   , 是 。 , 贝 0 志  + 点  一 2 k 。 .   结论 2   已 知 点 P( c , 鱼 二 ) 过 双 曲线 C:   一 


“ 
. .

a 

结论 1   已知 点 P( c ,   ) , 过椭 圆 c:   + 
“ 


2  

口 

。 

告 一1 ( Ⅱ >0 , b >o ) 的右焦点 F任作一条不垂直 
于  轴 的直线 z , 交 双 曲线 C于 A, B两 点 , 交 双 曲 

1 ( 日> b >O )的右焦点 F任作一 条不 垂直 于 . 7 2   轴 的直线 , 交椭 圆 C于 A , B两 点 , 交椭 圆的右 准 

?

专论荟 萃 ?  

数 学 通讯 — — 2 O 1 4年 第 5 、 6期 ( 上半月)  

6 9  

线 的 右准 线 z一  于 点 M . 记 直线 P A, P B, P M 
C 

b ̄ / a   2 _g 2 (  
一   一


7 C 1一 g 

z2 一 g 

口  

z1一 g 

的斜 率分 别 为 k 。 , 足 2 , k 。 , 则 是   +k 2= = : 2 k 。 .   结论 3   已知 点 P(   , p ) , 过 抛 物线 3 ,  = 
厶 

+ 

)  

z2 一 g 

2 p x(  > 0 ) 的焦 点 F任作 一 一 条 不垂 直 于  轴 的直  线z , 交 抛物 线 C于 A, B 两点 , 交抛 物 线 的 准线 . 7 C  
一 一  



2 忌一  
n 

?
x x2 1     一   Iz1十   X2   十  

③  把 ② 代人 ③ 得 

于点 M. 记 直线  , 』 】 B, P M 的斜 率 分别 为 

忌 1 , 是 2 , k 3 , 贝 Ⅱ k l +五 2— 2 k 3 .  

忌   +志 : :2 忌 一   匠
口  忌  + b
 

 
b 一 2 g  0  

在 上述 结论 中 , 直线 Z 为特殊 的直 线 , 即直 线  过 圆锥 曲线 的焦 点. 那么, 对 于任意 的 直线 z , 该性  质 是否 依 然成 立 呢 ? 笔 者 对 此 展 开 了 进 一 步 的 探  究, 得 到下 面 的性质 :  
性质 l   过 点 G( g,  


口  +   舞  口 0   + b   0 。  
一 2 k一 — 2 b g


71

 ̄  


g=
,  

— —

O ) 任作 一条 不垂直 于 X  
---

口L口…

g 

2 

轴 的 直线 z , 交椭 圆 C_ - x 。z  
+ 
0一  

C 
a   一  

,、  

一 1 ( n> b> 0 )于 

长  b  
图 1  

筹  ’ 所  l + 乜 一 2 k  
, , 。  , 1 。 

性质2   过点 G( g , 0 ) 任作 一条不 垂直 于 z轴 
的直 线 z , 交 双 曲线 c:   一   一1 ( n >0 , b >o ) 于 

A, B两 点 , 交直线 z一 

于点 M. 点 P在椭 圆上 , 且I " G上 z轴 . 记 直线 P A,   P B, P M 的斜 率分别 为 k 。 , 矗 : , k 。 , 则k   +k 2 —2 k s .  

A, B两 点 , 交直线 z一 竺 _于点 M . 点 P在 双 曲线 
g 

上, 且 P G上  轴. 记 直线 P A, P B, l P M 的斜 率分 别  为 k 1 , k 2 , k 3 , 则k l +是 2= 2 k 3 .  

证 明 

由题 意 可设 A B 的斜 率 为 k, 则 直线 


A B 的 方 程 为 

是 ( z —g )   ①  代 入 椭 圆方程 6   z   +口  。 一a 2 b   并整理, 得:  
( 口   忌 。+ b   )  。 一 2 a   矗   g x+ 口   k   g 。一 n   b  一 0,  

性质 3   过 点 G( g, 0 ) 任作一 条不垂 直于 z轴  的直 线 z , 交 抛物 线 Y   一2 p x( P> 0 ) 于A, B两 点 ,   交 直线 z:一g于点M . 点 P在 双曲线上 , 且P G上 
z轴. 记 直线 P A, P B, P M 的斜率 分别 为忌  , k 。 , 足   ,  
则 k l +忌 2— 2 k 3 .  

设 A( x 1 ,  2 ) , b ( y 1 , y z ) , 则有 
X l   一

舞  心   z : 一  
② 

性质 2 , 3的证 明可 以仿照 性质 1 的证 明 , 此处 
从 略.   基 于此 上 述 的 结 论 与性 质 , 笔 者 尝试 进 行 试 

  在 方 程 ①中 令 z 一 管 得 , M 的 坐 标 为 (   g ,   题 的编 制 : 二 
g 

) , 不 妨 设 P在  轴 上 方 , 则 P 的 坐 标 为  ) , 从 而 
一  

题1   已知 椭 圆 C:  
‘ 士 

Y     J

+  一 1 , 点 G ( m, 0 ) ( O< 
m< 2 ) , 点 P在 椭 圆上 , 且 

= = =  

( g ,  

≮ 
G。  

上 X轴 , A, P两点关于 
Yl一  


/  


M 


,  

Y轴对称. 连接 A G 交椭 圆 
— ’  
^  

l 一



,尼2





z l— g 

z 2~ g 

于另一点 B, 交直线 z一 兰 
,, f  

图2  

是 。  

一 

.  

于点 M  ( I) 若 S   一 S △  G , 求 m;  
( Ⅱ) 求证 : k p B一 2 志 P M .  

因为 直线 A B 的方程 为 Y一 是 (  — g ) , 所 以 


k ( x 1 一g ) , Y z: k ( z 2 一g ) , 所 以 
) . ,  一

解 析  ( I)因 为 S △ A P G— S △  G , 所 以 

. 6  

¨

 

二+  

一  

二 

2 m   f   P C ,f : (   一m)f   P C ,f ,  
m  

z 1一 g 

z2一 g 

7 0  

数 学 通 讯 —— 2 O 1 4年 第 5 、 6期 ( 上半月)  

?专论 荟 萃 ?  

所以2 m一   一 m, 即 m 一 

;  

k 。 十k :的范 围.  
解 析  不 妨 设 P 在 


y  J   l  

M 

( Ⅱ) 证明: 不 妨设 P在 z轴 上方 , P的坐标 为 
(  , . % / - 4- -  m2 ) 则 A 的坐 标 为 ( 一 m, . , V / ' 4 - -   m2 )
, ,  

2 7 轴上方 , 因为 椭 圆 C方  程 为x   2  
y2


T  

1, 令  = 
/ l  

由题 意 可得 A B 的方 程为 
y   一一  一  —  一   (  — —m m)     ① 

2 测   一 譬, 所 以 点 P  
坐标为 ( 2 ,   ) , 根 据 题 

图 

代 入 椭 圆方程 z   +4 y   一4 并整理 , 得( 3 m 。 + 
4 ) x  一 2 m( 4一  )  一 ( 1 2 m。+  )= 0,  

意可得 P 为 线 段 O M 中 点 ,所 以 M 坐 标 为 
( 4 ,   ) .  



设 A( x l , y 1 ) , B ( x 2 , Y 2 ) ,贝 0 有 z 1+ z 2 一 


一 m

所 以 

( I) 若 G为椭 圆焦点 , 则b   一8 —4 —4 , 所 以 

I   O M  J 一   z :一  z一 —  丁 一z ,一   —  广 十 + m  m ② 



一  丽

一2   ;  

( I I )因为直 线 AB过 点 M 、 点 G,  

把 ② 代人 ① , 得 
  -  ̄ /4
一 一 —




所 以 A B 的 斜 率 为   一 譬, 则 直 线 A B  
的 方 程 为  Y一  (   — J 一2 )  


7 7 / 2



( z 2一 m )  



( 4— 7 7 / 2 )、  

① 
5  2 — 

一 — —— 

F  一

’  
+ 

代入 椭 圆方 没  程  X 2十  y 2— 1并 整 理 得
A 

所 以  B   的 坐 标 为 (  




1 6   + 8 — 0.  

、 ! !   ,  

Z  

( 4一 m 。 )  
— —   一  

、  

一  



现  

在 方程 ① 中令 z一  得 , M 的 坐标 为 (   ,  
所 以 

一  

② 

  —

x , / 4  ̄


mZ (   4- - mZ ) )


4m


从 而 

矗  

坝  ? 一T
z 一  
— —  

、 

h  

h  

( 4 -m 2 )  ̄ / 旦 4 -m 2 一   三 
6 m  + 8   2  
一  

有  一   +  Z ' ——  Z1
. .

 z . —T  

8— 5 

k e B= = 


4+ 

m 2上    4  

q -m - m

2 m — — , / — 4 二 = — = = = 7 7 — / 二 。   ’  
、  


Z 1 一  Z 2 一   、   Z   L   一   2 + ’   老 2 一   2 )   因 为 直 线 A B 的 方 程 为 y 一 譬(   一 2 ) , 所 以  
2+  2一  2 (  


( 4一 mz )  
—   ~ 一 —  



 





志P M = 

■一 

(   _ 2 )  一 譬(   :   , 所 以  
= 三 ! ±兰   二兰  
1 z 2 —2 ( z1 +  2 )+ 4  

4 m √4一 — — = — — — m  . . _ _ = 二 ’  
所以 k P 8— 2 k P M.  

③  因为0 <b   < 8, 所以0 <b <2   , 所以 0 < 
k 1+ k 2< 2 .  

题 2  已 知 焦 点 在 z 轴 的 椭 圆 c : 詈 +   y Z =  
1 ( 6> O ) , 点 G( 2 , 0 ) , 点 P 在椭 圆上 , 且 P G上z  

轴. 连接 O P交 直线  = 4 于点 M , 连 接 MG交椭 圆 
于 A、 B.  

参 考文献 :   [ 1 ]   王蕾 . 探究 2 0 1 3年 高考 江西卷 理科 第 2 0题 

[ J ] . 数学通 讯 (i - 半月) , 2 0 1 3 ( 1 1 、 1 2 ) .  
( 收 稿 日期 : 2 0 1 4 一O l 一2 1 )  

( I) 若 G为 椭 圆焦点 , 求 I   O M  I ;   ( 1 I ) 记 直线 P A, P B 的斜 率分 别为 k   , k   , 求 


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