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北京市昌平区2013届高三上学期期末考试文科数学试题


昌平区 2012-2013 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数 学 试 卷(文科)

(满分 150 分,考试时间 120 分钟)2013.1 考生须知: 1. 本试卷共 6 页,分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。 2. 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填 写。 3. 答题卡上第 I 卷(选择题)必须用 2B 铅笔作

答,第 II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的 签字笔作答,作图时可以使用 2B 铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答, 未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。 4. 修改时,选择题部分用塑料橡皮擦涂干净,不得使用涂改液。保持答题卡整洁,不 要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。 5. 考试结束后,考生务必将答题卡交监考老师收回,试卷自己妥善保存。 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 2i (1)复数 的虚部是 1? i A. ?1 B. 1 (2) “ a ? 2 ”是“直线 y ? ?ax ? 2与y ? A. 充分不必要条件 C. 充要条件

C. ?i

D. i

a x ? 1 垂直”的 4
B 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(3)在数列 {an } 中 , a1 ? 1, 点(an , an ?1 )在直线y ? 2x上, a4 的值为 则

??? ? ???? ???? (4)如图,在 ?ABC中, BD ? 2 DC.若 AB ? a , AC = b ,则 AD =

A.7

B.8

C.9

D.16
C

2 1 A. a? b 3 3 1 2 C. a? b 3 3
A.

2 1 B. a? b 3 3 1 2 D. a? b 3 3
C.

D

A

B

(5)已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积为

4

B. 8

12

D.

24

(6)函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 1) ? x 2 的零点个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? (7)设不等式组 ? x ≤ 4, 表示的平面区域为 D .在区域 D 内随机取一个点,则此点 ? y ? ?2 ?

到直线 y +2=0 的距离大于 2 的概率是
A.

4 13

B.

5 13

C.

8 25

D.

9 25

(8)设定义域为 R 的函数 f (x) 满足以下条件;①对任意 x ? R, f ( x) ? f (? x) ? 0 ; ②对任意 x1 , x2 ? [1, a], 当 x2 ? x1时, 有 f ( x2 ) ? f ( x1 ) .则以下不等式一定成立的是 .... ① f (a) ? f (0) ③ f(

1 ? 3a ) ? f (?3) 1? a
B. ②④

1? a ) ? f ( a) 2 1 ? 3a ④ f( ) ? f (?a) 1? a
② f( C. ①④ D. ②③

A. ①③

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1 (9)在 △ABC 中,若 b ? 3 , c ? 1 , cos A ? ,则 a = 3 (10)已知 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,其中

a2 ? -3, a8 ? 15, 则a5 =_______;S6 ? _______.
(11)已知某算法的流程图如图所示,则程序运行结束时 输出的结果为 . (12)以双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,并与其 9 16
_______.

渐近线相切的圆的标准方程是

? 1 x ?( ) ( x ? 0), (13) 已知函数 f ( x) ? ? 2 则 f ( f (?1)) ? ________; ?1 ? 3 x( x ? 0), ?
若 f (2a 2 ? 3) ? f (5a) ,则实数 a 的取值范围是_______________.

(14)过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 M 作直线 MA, MB 交椭圆于 A, B 两点,设 a 2 b2

1 MA, MB 的斜率分别为 k1 , k 2 ,若点 A, B 关于原点对称,且 k1 ? k2 ? ? , 则此椭圆的离心率 3
为___________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) (15)(本小题满分 13 分)已知函数 (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [ , ] 上的最值.
f ( x) ? (2 3 sin x ? 2cos x ) ? cos x ? 1 .

? ? 4 2

E F
(16) (本小题满分 14 分) 在四棱锥 E - ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,

AC与BD交于O, EC ^ 底面ABCD,F 为 BE 的中点.
(Ⅰ)求证: DE ∥平面 ACF ; (Ⅱ)求证: BD ^ AE ; (Ⅲ)若 AB =

C O D A

B

2CE, 在线段 EO 上是否存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE ?若存在,求出

EG 的值,若不存在,请说明理由. EO

(17) (本小题满分 13 分) 以下茎叶图记录了甲、 乙两组各四名同学在某次数学测验中的成绩, 甲组记录中有一个数据 模糊,无法确认,在图中以 X 表示. 甲组 乙组 6X 4 1 8 9 7 0 0 3

(Ⅰ)如果甲组同学与乙组同学的平均成绩一样,求 X 及甲组同学数学成绩的方差; (Ⅱ)如果 X=7,分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名,求这两名同学的数学成绩之和 大 于 180 的 概 率 . ( 注 : 方 差 s = [( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ... ? ( xn ? x) ], 其 中
2 2 2 2

1 n

x为x1 , x2 ,..., xn的平均数. )

(18)(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? a 2 x ? a (a ? R ) . 3 2

(Ⅰ)若 a ? 1, 求函数 f ( x)在[0, 2] 上的最大值; (Ⅱ)若对任意 x ? (0,+?) ,有 f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

19. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 M :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,其短轴的一个端点到右焦点的距离为 2 , 且点 a 2 b2
2 ,且与椭圆 M 交于 B 、 C 两点. 2

A ( 2 ,1)在椭圆 M 上. 直线 l 的斜率为
(Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)求 ?ABC 面积的最大值.

20. (本小题满分 14 分) 已知每项均是正整数的数列 a1 , a2 , a3 ,?, a100 ,其中等于 i 的项有 k i 个 (i ? 1,2,3?) ,设

b j ? k1 ? k 2 ? ? ? k j ( j ? 1, 2, 3 ) g (m) ? b1 ? b2 ? ? ? bm ? 100m (m ? 1,2,3?). ? ,
(Ⅰ)设数列 k1 ? 40, k2 ? 30, k3 ? 20, k4 ? 10, k5 ? ... ? k100 ? 0 , ①求 g (1), g (2), g (3), g (4) ;②求 a1 ? a2 ? a3 ? L ? a100 的值; (Ⅱ)若 a1 , a2 , a3 ,?, a100 中最大的项为 50, 比较 g (m), g (m ? 1) 的大小.

昌平区 2012-2013 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数 学 试卷 参考答案(文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项.)
题 号 答案 (1) B (2) A (3) B (4) C (5) A (6) C (7) D (8) B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.) (9)

2 2

(10)6;9 (12) ( x ? 5) ? y ? 16
2 2

(11) 3
1 (13) -5; (? ,3) 2

(14)

6 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.)
(15)(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? (2 3 sin x ? 2cos x ) ? cos x ? 1
? 3 sin 2 x ? cos 2 x

π ? 2sin(2 x ? ) .………………………………5 分 6

所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? (II)由 x 挝 , ], 2 x [ 当 2x ? 当 2x ?

2π ? π .…………………7 分 2

? ? 4 2

? ? ? 5? [ , ?], 2 x [ , ], …………..9 分 2 6 3 6

? 5? ? ? ,即x ? 时, f ( x)取得最小值1 ,…………….11 分 6 6 2 ? ? ? ? ,即x ? 时, f ( x)取得最大值2 .……………….13 分 6 2 3

(16)(本小题满分 14 分) 解:(I)连接 OF . 由 ABCD 是正方形可知,点 O 为 BD 中点. 又 F 为 BE 的中点, 所以 OF ∥ DE ………………….2 分 又 OF 趟平面ACF , DE
G C O A B E F

平面ACF ,
D

所以 DE ∥平面 ACF ………….4 分 (II) 证明:由 EC ^ 底面ABCD,BD 所以 EC ^ BD, 由 ABCD 是正方形可知, AC ^ BD, 又 AC 翘 =C, AC,EC EC

底面ABCD,

平面ACE,

所以 BD ^ 平面ACE , ………………………………..8 分 又 AE ? 平面ACE, 所以 BD ^ AE …………………………………………..9 分 (III) 在线段 EO 上存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE . 如图,取 EO 中点 G ,连接 CG . 在四棱锥 E - ABCD 中, AB = 理由如下:

2CE , CO =

2 AB = CE , 2

所以 CG ^ EO .…………………………………………………………………..11 分 由(II)可知, BD ^ 平面ACE , 而 BD ? 平面BDE , 所以, 平面ACE ^ 平面BDE, 且平面ACE ? 平面BDE 因为 CG ^ EO, CG

EO,

平面ACE,

所以 CG ^ 平面BDE …………………………………………………………. 13 分 故在线段 EO 上存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE . 由 G 为 EO 中点,得 (17)(本小题满分 13 分) 解:(I)乙组同学的平均成绩为 90, 所以 甲

EG 1 = . …………………………………………… 14 分 EO 2
87 ? 90 ? 90 ? 93 ? 90 ,甲组同学的平均成绩为 4

80 ? X ? 86 ? 91 ? 94 ? 90, X ? 9. …………………………………2 分 4
组 同 学 数 学 成 绩 的 方 差 为

(86 ? 90) 2 ? (89 ? 90) 2 ? (91 ? 90) 2 ? (94 ? 90) 2 17 s甲2 = ? …………… 6 分 4 2
(II)设甲组成绩为 86,87,91,94 的同学分别为 a1 , a2 , a3 , a4 , 乙组成绩为 87,90,90,93 的 同学分别为 b1 , b2 , b3 , b4 , 则所有的事件构成的基本事件空间为:

{(a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a1 , b3 ), (a1, b4 ), ( a2 , b1 ), ( a2 , b2 ), ( a2 , b3 ), ( a2 , b4 ), ( a3 , b1), ( a3, b2 ),

(a3 , b3 ) , a3 b4 ) ,a4 b1, ( , (

)a,4 ( b2 , a4, ( 3 , a4)共(16 个基本事件. ) b ,b4 , ) } .

设事件 A ? “这两名同学的数学成绩之和大于 180”,则事件 A 包含的基本事件的空 间为{ (a3 , b2 ), (a3 , b3 )(a3 , b4 ), (a4 , b1 ), (a4 , b2 ), (a4 , b3 ), (a4 , b4 )}. 共 7 个基本事件,

P ( A) ?

7 ………………………………………………………………………….13 分 16 1 3 1 x ? x ? , f '( x) ? x 2 ? 1 .............1 分 3 2

(18)(本小题满分 13 分) 解:(I)当 a ? 1 时, f ( x) ?

令 f '( x) ? 0,得x1 ? ?1, x2 ? 1. ..................................2 分 列表:

x
f ?? x?

0

(0,1)


1
0
? 1 6

(1, 2)
+ ↗

2
3
7 6

?1
1 2

f ? x?

∴当 x ? [0, 2] 时, f ? x ? 最大值为 f ? 2 ? ?
2 2

7 . ………………………7 分 6

(Ⅱ) f '( x) ? x ? a ? ( x ? a)( x ? a), 令 f '( x) ? 0, 得x1 ? ?a, x2 ? a. ① 若 a ? 0, 在(0,-a)上,f ?( x) ? 0,? f ( x) 单调递减.

在(-a,+?)上,f ?( x) ? 0,? f ( x) 单调递增.

1 3 2 2 1 2 2 1 因为 a ? 0, a ? ? 0, 所以f ? ?a ? ? a( a ? ) ? 0 . 3 2 3 2

3 3 所以, f ? x ? 在 x ? ?a 时取得最小值 f ? ?a ? ? ? a ? a ?

a 2 1 ? a( a 2 ? ) , 2 3 2

所以当a ? 0时, 对任意x ? 0, +?),f ( x) ? 0不成立. …………………..9 分 (
2 + ② 若 a ? 0, f ?( x) ? x ? 0, 所以f ( x)在(0,?)上是增函数 ,

所以当 a =0时,有f ( x) ? f (0) ? 0. ……………………………………..10 分 ③若 a ? 0, 在(0,a)上,f ?( x) ? 0, 所以f ( x) 单调递减.

在(a,+?)上,f ?( x) ? 0, 所以f ( x) 单调递增.
所以, f ? x ? 在 x ? a 取得最小值 f ? a ? ?

1 3 a 2 1 a ? a 3 ? ? ?a ( a 2 ? ) , 3 2 3 2

令 f ? a ? ? ?a( a ? ) ? 0,由a ? 0, 得
2

2 3

1 2

2 2 1 3 a ? ? 0, 0 ? a ? . 3 2 2

所以当0 ? a ?

3 时, 对任意x ? 0, f ( x) ? 0都成立. 2

综上, a 的取值范围是 [0, (19)(本小题满分 13 分)

3 ) .………………………………13 分 2

?2 1 ? ? ?1 解: (Ⅰ)由题意知 ? a 2 b 2 ,所以 b ? 2 . ?a ? 2 ?

故所求椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ………………………………….5 分 4 2
2 x ? m ,则 m ? 0 .设 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ), 2

(Ⅱ) 设直线 l 的的方程为 y ?

代入椭圆方程并化简得 x 2 ? 2mx ? m2 ? 2 ? 0 ,

…………6 分

由 ? ? 2m2 ? 4(m2 ? 2) ? 2(4 ? m2 ) ? 0 ,可得 0 ? m2 ? 4 . ( ? ) 由( ? ),得 x1,2 ? 故 BC ? 1 ? (
? 2m ? 2(4 ? m 2 ) , 2

2 2 3 ) x1 ? x2 ? ? 2(4 ? m 2 ) ? 3(4 ? m 2 ) …..9 分 2 2
2m 6

又点 A 到 BC 的距离为 d ?

,

…………………10 分

故 S?ABC ?

2m 1 1 BC ? d ? 3(4 ? m 2 ) ? 2 2 6

1 1 m 2 ? (4 ? m 2 ) 2 2 ? ? (4 ? m )m ? ? ? 2, 2 2 2

当且仅当 m2 ? 4 ? m2 ,即 m ? ? 2 时取等号满足( ? )式. 所以 ?ABC 面积的最大值为 2 . ……………………13 分

(20)(本小题满分 13 分) 解: (I)① 因为数列 k1 ? 40, k2 ? 30, k3 ? 20, k4 ? 10 , 所以 b1 ? 40, b2 ? 70, b3 ? 90, b4 ? 100 ,

100 . 所以 g (1) ? ?60, g(2) ? ?90, g(3) ? ?100, g(4) ? ?

………8 分

② a1 ? a2 ? a3 ? L ? a100 ? 40 ?1 ? 30 ? 2 ? 20 ? 3 ? 10 ? 4 ? 200 ……….10 分 (II) 一方面, g (m ? 1) ? g (m) ? bm?1 ? 100 , 根据 b j 的含义知 bm?1 ? 100 , 故 g (m ? 1) ? g (m) ? 0 ,即 g (m) ? g (m ? 1) , 当且仅当 bm?1 ? 100 时取等号. 因为 a1 , a2 , a3 ,?, a100 中最大的项为 50,所以当 m ? 50 时必有 bm ? 100 , 所以 g (1) ? g (2) ? ? ? g (49) ? g (50) ? g (51) ? ?? 即当 1 ? m ? 49 时,有 g (m) ? g (m ? 1) ; 当 m ? 49 时,有 g (m) ? g (m ? 1) . 14 分


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