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汕头一中2012-2013学年度第二学期综合测试(一)文科数学

时间:2013-04-12


汕头一中 2012-2013 学年度第二学期综合测试(一) 数 学(文科)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。请将答案填在答题卷上。 1. 已知全集合 I ? ?0,1,2,3?, 集合 M ? ?0,1,2? , N ? ?0,2,3?,则 M ? ?C I N

? ? ( ) A. ? ? 1 B. ?2,3? C. ?0,1,2? D. ?

本试卷共 21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。

2. 已知复数 z=1-2i,则 (A) 1+i

z+1 =( ) z-1
(B) 1-i (C) -1+i (D) -1-i

??? ??? ???? ? ? 3. 已知正方形 ABCD 的边长为 1, 则 AB ? BC ? AC =( )
A. 0 B. 2
3

C.

2

D. 2 2

4. 曲线 y ? 4 x ? x 在点 ? ?1, ?3 ? 处的切线方程是( ) (A) y ? 7 x ? 4 5. (B) y ? 7 x ? 2 (C) y ? x ? 4 (D) y ? x ? 2 的 0 两 根 , 则

已 知 等 差 数 列 {an } 中 ,

a3 , a15 是 方 程 x 2 ? 6 x ? 1 ?

a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? a11
等于( ) A. 18
2

B. ?18

C. 15

D. 12

6. 若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 A. ?2


x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( ) 6 2
C. ?4 D. 4

B. 2

7. 已知: p 且 q 为真,则下列命题中的假命题是:( ) ┓ ①p;②p 或 q; ③p 且 q; ④ q A.①④ B.①②③ C.①③④

D.②③④
?

8. 两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km , 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20 , 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40 ,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( ) km A. a B.
?

2a

C. 2a

D.

3a

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9. 设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题正确的是 A.若 m ? n, m ? ? , n / / ? , 则 ? / / ? C.若 m ? ? , n / / ? , ? / / ? ,则 m ? n B.若 m / /? , n / / ? , ? / / ? ,则 m / / n D.若 m / / n, m / /? , n / / ? , 则 ? / / ?

10. 若函数 y ? f (x) 的图象如右下图所示, 则函数 y ? f (1 ? x) 的图象大致为( )

A.

B. A

C. A

D. A

第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 5 小题,考生做答 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) (一)必做题(11~13 题) 11.某市高三数学抽样考试中,对 90 分以上 (含 90 分)的成绩进行统计,其频率分布图 如图所示,若 130—140 分数段的人数为 90 人, 则 90—100 分数段的人数为_______

? x ? 0, ? ? x ? y, 12. 设实数 x 、 y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 3, ?
则 z ? 2 x ? y 的最大值是_______

2

0

0

开始
7 0

1

n=2
S ?0


3

1

13.如图所示,这是计算

1 1 1 1 的值的一个程 ? ? ?? ? 2 4 6 20
S?S?



序框图,其中判断框内应填入的条件是_______

1 n

输出S
结束

n ? n?2
(二)选做题(14~15 题考生只能从中选作一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)若直线 3x ? 4 y ? m ? 0 与

A

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B D N

O

M

C

图5

圆?

? x ? 1 ? cos? ( ? 为参数)相切,则实数 m 的值是_______ ? y ? ?2 ? sin ?

15.(几何证明选讲选做题)如图 5, AB 为⊙O 的直径,

AC 切⊙O 于点 A,且 AC ? 2 2cm ,过 C 的割线 CMN 交
AB 的延长线于点 D,CM=MN=ND.AD 的长等于_______ cm . 三.解答题(本大题共有 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 16.(本小题满分 12 分) 已知:A、B、C 是 ?ABC 的内角, a, b, c 分别是其对边长,向量 m ?

?

3 , co sA ? 1 ,

?

n ? ?sin A,?1? , m ? n .
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2, cos B ?

3 , 求 b 的长. 3

17.(本小题满分 12 分) 设 AB=6,在线段 AB 上任取两点(端点 A,B 除外),将线段 AB 分成三条线段, (Ⅰ)若分成三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构成三角形的概率; (Ⅱ)若分成三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构成三角形的概率;

18.(本小题满分 14 分) 如图,在直角梯形 ABCD 中, ?ADC ? 90? , CD / / AB , AB ? 4, AD ? CD ? 2 .将 ?ADE 沿

AC 折起,使平面 ADE ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如图 2 所示. (Ⅰ) 求证: BC ? 平面 ACD ; D (Ⅱ) 求几何体 D ? ABC 的体积.
D C C

A 图1

B

A 图2

B

19.(本小题满分 14 分) 某商店预备在一个月内分批购入每张价值为 20 元的书桌共 36 台,每批都购入 x 台(x 是正

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整数),且每批均需付运费 4 元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总 价值(不含运费)成正比,若每批购入 4 台,则该月需用去运费和保管费共 52 元,现在全 月只有 48 元资金可以用于支付运费和保管费. (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f ? x ? ; (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由. 20.(本小题满分 14 分) 已知长方形 ABCD, AB=2 2 ,BC=1.以 AB 的中点 O 为原点建立如图 8 所示的平面直角坐标系

xoy .
(Ⅰ)求以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 l ,使得以弦 MN 为直径的 圆恰好过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

y
D C

A

O
图8

B

x

21.(本小题满分 14 分) 已知数列{ a n }中, a1 ?

1 在直线 y=x 上,其中 n=1,2,3…. 、点(n、an ?1 ? an) 2 2

(Ⅰ)令 bn ? a n ?1 ? a n ? 3, 求证数列?bn ?是等比数列;

的通项; (Ⅱ)求数列 ?a n ?

、 (Ⅲ)设 S n、Tn 分别为数列 ?a n ? ?bn ? 的前 n 项和,是否存在实数 ? , 使得数列 ?
为等差数列?若存在,试求出 ? .若不存在,则说明理由。

? S n ? ?Tn ? ? n ? ?

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汕头一中 2008-2009 学年度第二学期综合测试(一) 数学(文科)试题答题卷
班级: 室 一、选择题: 姓名: 考生号: 试室号:____试

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9 0

1

二、填空题:请将答案填在相应题号的空格上。

11.__________

12.________________

13.____________ ______

____

14.________

________

15._______

三.解答题:解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。 16.(本小题满分 12 分)

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17.(本小题满分 12 分)

18.(本小题满分 14 分) D D C C

A 图1

B

A 图2

B

19.(本小题满分 14 分)

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20.(本小题满分 14 分)

y
D C

A

O
图8

B

x

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21.(本小题满分 14 分)

汕头一中 2008-2009 学年度第二学期月考 数 学(文科)
第Ⅰ卷
一、选择题:AADDC 本试卷共 21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。

DCDCA

二、填空题: 11. ____810 ____ 12. 1 . 13 n ? 20 14. 11 .

14.

2 7

.

15. 10 或 0

三.解答题:

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16.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)? m ? n

?m ? n ?

?

3, cos A ? 1 ? ?sin A,?1? ? 3 sin A ? ?cos A ? 1? ? ?? 1? ? 0

?

? 3 sin A ? cos A ? 1 ……4 分 ?? 1 ? ? sin? A ? ? ? ……6 分 6? 2 ? ? ? 5? ? ? ∵ 0 ? A ? ? ,? ? ? A ? ? ,? A ? ? , ……7 分 6 6 6 6 6
?A?

?

3

.……8 分

(Ⅱ)在 ?ABC 中, A ?

?
3

, a ? 2 , cos B ?

3 3

? sin B ? 1 ? cos2 B ? 1 ?
由正弦定理知:

1 6 ? ……9 分 3 3

a b ? , ……10 分 sin A sin B 6 2? a sin B 3 ? 4 2 .? b ? 4 2 ……12 分 =? ?b ? 3 3 sin A 3

2
17.(本小题满分 12 分) 解:(1)若分成三条线段的长度均为正整数,则三条线段的长度的所有可能为:1,1,4; 1,2,3; 2,2,2 共三种情况, 其中只有三条线段为 2, 2 时能够构成三角形, 2, 故构成三角形的概率 P ? 1

1 。 3

(2)若分成三条线段的长度均为正实数,设其中两条线段的长度分别为 x,y,则第三条

? ? ?0 ? x ? 6 ? ? ? 线段的长度为 6-x-y,则全部结果所构成的区域为 ??x, y ? | ?0 ? y ? 6 ? , ? ?0 ? 6 ? x ? y ? 6? ? ? ?
即如图所示的区域△OAB 。 若三条线段 x,y,6-x-y 能构成三角形,

?x ? y ? 6 ? x ? y ?x ? y ? 3 ? ? 则还要满足 ? x ? 6 ? x ? y ? y ? 0 ,即 ?0 ? y ? 3 , ?y ? 6 ? x ? y ? x ? 0 ?0 ? x ? 3 ? ?
所表示的平面区域为△DEF,由几何概型知,三条线段可以构成三角形的概率

P2 ?

S ?DEF 1 ? 。 S ?AOB 4

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18.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)在图 1 中,可得 AC ? BC ? 2 2 ,从而 AC 2 ? BC 2 ? AB2 ,故 AC ? BC 取 AC 中点 O 连结 DO ,则 DO ? AC ,又面 ADE ? 面 ABC , 面 ADE ? 面 ABC ? AC , DO ? 面 ACD ,从而 OD ? 平面 ABC , ……4 分 ∴ OD ? BC 又 AC ? BC , AC ? OD ? O , ∴ BC ? 平面 ACD
2 2 2

……7分

另解:在图 1 中,可得 AC ? BC ? 2 2 ,从而 AC ? BC ? AB ,故 AC ? BC ∵面 ADE ? 面 ABC ,面 ADE ? 面 ABC ? AC , BC ? 面 ABC ,从而 BC ? 平面 ACD (Ⅱ) 由(Ⅰ)可知 BC 为三棱锥 B ? ACD 的高. BC ? 2 2 , S? ACD ? 2 所以 VB ? ACD ? ……10 分 ……12 分

1 1 4 2 Sh ? ? 2 ? 2 2 ? 3 3 3

由等积性可知几何体 D ? ABC 的体积为

4 2 3

……14 分

19.(本小题满分 14 分) 解:(1)设题中比例系数为 k ,若每批购入 x 台,则共需分

36 批,每批价值为 20 x 元. x

36 ? 4 ? k ? 20 x x 16 1 由 x =4 时, y =52 得 k ? ? 80 5 144 ? f ?x ? ? ? 4 x 0 ? x ? 36, x ? N * x 144 (2)由(1)知 f ?x ? ? ? 4 x 0 ? x ? 36, x ? N * x

由题意 f ?x ? ?

??4 分
??6 分 ??7 分

?

?

?

?
??10 分

? f ?x ? ? 2
当且仅当

144 ? 4 x ? 48 (元) x

144 ? 4 x ,即 x ? 6 时,上式等号成立. x

??12 分
……14 分

故只需每批购入 6 张书桌,可以使资金够用.

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20.(本小题满分 14 分)

解:(Ⅰ)由题意可得点 A,B,C 的坐标分别为 ? 2 ,0 ,
2 2

?

??

2 ,0 ,

??

2 ,1 .……1 分

?

设椭圆的标准方程是 则

x y ? 2 ? 1?a ? b ? 0? .……2 分 2 a b

2a ? AC ? BC ?
……4 分

?

2? ? 2

?

??

2

? ?1 ? 0? ?
2

?

2 ? 2 ? ?1 ? 0? ? 4 ? 2 2 ,? a ? 2
2 2

?

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 2 ? 2 .……5 分 x2 y2 ? 1. ……6 分 ?椭圆的标准方程是 ? 4 2 (Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2?k ? 0? .……7 分
设 M,N 两点的坐标分别为 ?x1 , y1 ?, ?x2 , y 2 ?. 联立方程: ?

?y ? kx? 2 ?x ? 2 y ? 4
2 2

y
2

消去 y 整理得, 1 ? 2k 有 x1 ? x2 ? ?

?

2

?x

? 8kx ? 4 ? 0

D

C

8k 4 …9 分 , ???? 8分,x1 x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 A O 若以 MN 为直径的圆恰好过原点,则 OM ? ON , 所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,……10 分 所以, x1 x2 ? ?kx1 ? 2??kx2 ? 2? ? 0 , 图 8
即 1? k

B

x

?

2

?x x

1 2

? 2k ?x1 ? x2 ? ? 4 ? 0

所以,

4 1? k 2 16 k 2 ? ?4?0 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

?

?

8 ? 4k 2 ? 0, ……11 分 得 k 2 ? 2, k ? ? 2. ……12 分 2 1 ? 2k 所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2 ,或 y ? ? 2 x ? 2 .……13 分
即 所以存在过 P(0,2)的直线 l : y ? ? 2 x ? 2 使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点. ……14 分

21.(本小题满分 14 分) 解:(I)由已知得

1 3 3 1 3 a1 ? , 2an?1 ? an ? n, ? a2 ? , a2 ? a1 ?1 ? ? 1 ? ?, ? 2 4 4 2 4

又 bn ? an?1 ? an ? 1, bn?1 ? an? 2 ? an?1 ? 1,

b a ? a ?1 ? n ?1 ? n ?1 n ? bn an ? 2 ? an ?1 ? 1

an ?1 ? (n ? 1) an ? n an ?1 ? an ? 1 ? 1 2 2 ? 2 ? . an ?1 ? an ? 1 an ?1 ? an ? 1 2

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3 1 ?{bn } 是以 ? 为首项,以 为公比的等比数列. 4 2 3 1 n?1 3 1 (II)由(I)知, bn ? ? ? ( ) ? ? ? n , 4 2 2 2 3 1 ? an?1 ? an ? 1 ? ? ? n , 2 2 3 1 ? a2 ? a1 ? 1 ? ? ? , 2 2 3 1 a3 ? a2 ? 1 ? ? ? 2 , 2 2 ?????? 3 1 ? an ? an ?1 ? 1 ? ? ? n ?1 , 2 2
将以上各式相加得:

3 1 1 1 ? an ? a1 ? (n ? 1) ? ? ( ? 2 ? ??? ? n?1 ), 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 3 1 3 1 3 2 ? an ? a1 ? n ? 1 ? ? 2 ? ? (n ? 1) ? (1 ? n ?1 ) ? n ? n ? 2. 1 2 2 2 2 2 1? 2 3 ? an ? n ? n ? 2. 2
(III)解法一:

S n ? ?Tn } 是等差数列. n 1 1 1 ? Sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an ? 3( 1 ? 2 ? ??? ? n ) ? (1 ? 2 ? ??? ? n) ? 2n 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 2 ? n(n ? 1) ? 2n ? 3? 2 1 2 1? 2
存在 ? ? 2 ,使数列 {

? 3(1 ?

1 n2 ? 3n 3 n 2 ? 3n )? ?? n ? ? 3. 2n 2 2 2

3 1 ? (1 ? n ) 2 ? ? 3 (1 ? 1 ) ? ? 3 ? 3 . Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 4 1 2 2n 2 2n ?1 1? 2 S ? ?Tn S ? ?Tn 数列 { n } 是等差数列的充要条件是 n ? An ? B, ( A 、 B 是常数 ) n n
即 Sn ? ?Tn ? An ? Bn,
2

又 Sn ? ?Tn ? ?

3 n2 ? 3n 3 3 n 2 ? 3n ? 1 ? ? 3 ? ? (? ? n ?1 ) ? ? 3(1 ? )(1 ? n ) n 2 2 2 2 2 2 2
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?当且仅当 1 ?
解法二:

?
2

? 0 ,即 ? ? 2 时,数列 {

S n ? ?Tn } 为等差数列. n

存在 ? ? 2 ,使数列 {

S n ? ?Tn } 是等差数列. n

由(I)、(II)知, an ? 2bn ? n ? 2 , ? Sn ? 2T ?

n(n ? 1) ? 2n 2

n(n ? 1) ? 2n ? 2Tn ? ?Tn n?3 ? ?2 2 ? ? Tn 2 n n 3 1 ? (1 ? n ) 2 ? ? 3 (1 ? 1 ) ? ? 3 ? 3 又 Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 4 1 2 2n 2 2n?1 1? 2 Sn ? ?Tn n ? 3 ? ? 2 3 3 ? ? (? ? n ?1 ) n 2 n 2 2 S ? ?Tn } 是等差数列. ?当且仅当 ? ? 2 时,数列 { n n Sn ? ?Tn ? n

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