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苏教版必修5课时作业1.3 (一)


§ 1.3
课时目标 问题.

正弦定理、余弦定理的应用(一)

1.了解数学建模的思想;2.利用正、 余弦定理解决生产实践中的有关距离的

1.方位角:指从正北方向线按________方向旋转到目标方向线所成的水平角.如图中 的 A 点的方位角为 α.

2.计算不可直接测量的两点间的距离

是正弦定理和余弦定理的重要应用之一.

一、填空题 1.如图,A、B 两点间的距离为________.

2.如图,A、N 两点之间的距离为________.

3.已知两灯塔 A 和 B 与海洋观测站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观测站 C 的北偏 东 20° 方向上,灯塔 B 在观测站 C 的南偏东 40° 方向上,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 _____km. 4.海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60° 的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75° 的视角,则 B、C 间的距离是________海里. 5.如图所示,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在 A 所在的河岸边选 定一点 C,测出 AC 的距离为 50 米,∠ACB=45° ,∠CAB=105° 后,就可以计算 A、B 两点的距离为________米.

6. 如图, 一货轮航行到 M 处, 测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15° , 与灯塔 S 相距 20 海里, 随后货轮按北偏西 30° 的方向航行 30 分钟后到达 N 处, 又测得灯塔在货轮的东北方向, 则货轮的速度为________海里/小时.

7.如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点 A、B,望对岸标记物 C,测得∠ CAB=30° ,∠CBA=75° ,AB=120 m,则河的宽度为______.

8.甲船在岛 B 的正南 A 处,AB=10 千米,甲船以每小时 4 千米的速度向正北航行, 同时,乙船自 B 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60° 的方向驶去.当甲、乙两船相 距最近时,它们所航行的时间是________小时. 9.太湖中有一小岛,沿太湖有一条正南方向的公路,一辆汽车测得小岛在公路的南偏 西 15° 的方向上,汽车行驶 1 km 后,又测得小岛在南偏西 75° 的方向上,则小岛到公路 的距离是________ km. 10.如图所示,为了测量正在海面匀速行驶的某轮船的速度,在海岸上选取距离 1 千米 的

两个观察点 C、D,在某天 10∶00 观察到该轮船在 A 处,此时测得∠ADC=30° ,2 分 钟后该轮船行驶至 B 处,此时测得∠ACB=60° ,∠BCD=45° ,∠ADB=60° ,则该轮 船的速度为________千米/分钟.

二、解答题 11.如图,某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75° ,距离为 12 6 n mile,在 A 处 看灯塔 C 在货轮的北偏西 30° ,距离为 8 3 n mile,货轮由 A 处向正北航行到 D 处时, 再看灯塔 B 在北偏东 120° 方向上,求:

(1)A 处与 D 处的距离; (2)灯塔 C 与 D 处的距离.

12.如图,为测量河对岸 A、B 两点的距离,在河的这边测出 CD 的长为 =∠CDB=30° ,∠ACD=60° ,∠ACB=45° ,求 A、B 两点间的距离.

3 km,∠ADB 2

能力提升 13.台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动,离台风中心 30 千米内 的地区为危险区,城市 B 在 A 的正东 40 千米处,B 城市处于危险区内的持续时间为 ______小时.

14.如图所示,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速 直线航行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105° 方向的 B1 处,此时两船相 距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120° 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2海里.问乙船每小时航行多少海里?

1.解三角形应用问题的基本思路是: 实际问题― ― →数学问题 ― ― → 数学问题的解― ― →实际问题的解. 2. 测量距离问题: 这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”. 在
画图 解三角形 检验

测量过程中,要根据实际需要选取合适的基线长度,测量工具要有较高的精确度.

§1.3
知识梳理 1.顺时针 作业设计

正弦定理、余弦定理的应用(一) 答案

1.3 2- 2 2.40 3 3. 3a 解析 ∠ACB=120° ,AC=BC=a, ∴由余弦定理得 AB= 3a. 4.5 6 解析 在△ABC 中,∠C=180° -60° -75° =45° . BC AB BC 10 由正弦定理得: = ,∴ = , sin A sin B sin 60° sin 45° 解得 BC=5 6. 5.50 2 解析 由题意知∠ABC=30° , AC AB 由正弦定理 = , sin∠ABC sin∠ACB 2 50× 2 AC· sin∠ACB ∴AB= = =50 2 (m). 1 sin∠ABC 2 6.20( 6- 2) 解析 由题意,∠SMN=45° ,∠SNM=105° ,∠NSM=30° . MN MS 由正弦定理得 = . sin 30° sin 105° MSsin 30° 10 ∴MN= = =10( 6- 2). sin 105° 6+ 2 4 则 v 货=20( 6- 2) 海里/小时. 7.60 m 解析 在△ABC 中,∠CAB=30° ,∠CBA=75° , ∴∠ACB=75° .∠ACB=∠ABC. ∴AC=AB=120 m. 作 CD⊥AB,垂足为 D,则 CD 即为河的宽度. AC CD 由正弦定理得 = , sin∠ADC sin∠CAD 120 CD ∴ = , sin 90° sin 30° ∴CD=60(m) ∴河的宽度为 60 m. 5 8. 14 解析 设行驶 x 小时后甲到点 C,乙到点 D,两船相距 y km, 则∠DBC=180° -60° =120° .

∴y2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)· 6xcos 120° 2 =28x -20x+100 5 =28(x2- x)+100 7 5 ?2 25 =28? ?x-14? - 7 +100, 5 ∴当 x= (小时), 14 y2 有最小值.∴y 最小. 3 9. 6 解析

如图,∠CAB=15° , ∠CBA=180° -75° =105° , ∠ACB=180° -105° -15° =60° ,AB=1 km. 由正弦定理得 BC AB = sin∠CAB sin∠ACB 6- 2 1 ∴BC= · sin 15° = (km). sin 60° 2 3 设 C 到直线 AB 的距离为 d, 6- 2 6+ 2 3 则 d=BC· sin 75° = · = (km). 4 6 2 3 6 4 解析 在△BCD 中,∠BCD=45° ,∠ADC=30° ,∠ADB=60° . ∴∠BDC=90° . ∴△CDB 为等腰直角三角形, AD 1 ∴BD=CD=1,在△ACD 中,由正弦定理得: = . sin 45° sin?60° +45° ? 3+1 ∴AD= . 2 在△ABD 中,由余弦定理得, 3 ? 3+1?2-2× 3+1×cos 60° AB2=12+? = , ? 2 2 ? 2 ? 6 6 ∴AB= ,则船速为 千米/分钟. 2 4 10. ABsin B (1)在△ABD 中,∠ADB=60° ,∠B=45° ,由正弦定理得 AD= = sin ∠ADB 2 12 6× 2 =24(n mile). 3 2 11.解

(2)在△ADC 中,由余弦定理得 CD2=AD2+AC2-2AD· AC· cos 30° , 解得 CD=8 3≈14(n mile). 即 A 处与 D 处的距离为 24 n mile, 灯塔 C 与 D 处的距离约为 14 n mile. 12.解 在△BDC 中,∠CBD=180° -30° -105° =45° , BC CD 由正弦定理得 = , sin 30° sin 45° CDsin 30° 6 则 BC= = (km). sin 45° 4 在△ACD 中,∠CAD=180° -60° -60° =60° , 3 ∴△ACD 为正三角形.∴AC=CD= (km). 2 在△ABC 中,由余弦定理得 3 6 3 6 2 3 AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cos 45° = + -2× × × = , 4 16 2 4 2 8 6 ∴AB= (km). 4 6 答 河对岸 A、B 两点间距离为 km. 4 13.1 解析 设 t 小时时,B 市恰好处于危险区,则由余弦定理得: (20t)2+402-2×20t×40· cos 45° =302. 7 化简得:4t2-8 2t+7=0,∴t1+t2=2 2,t1· t2= . 4 从而|t1-t2|= ?t1+t2?2-4t1t2=1. 14.解 如图所示,连结 A1B2,

由已知 A2B2=10 2, 20 A1A2=30 2× =10 2,∴A1A2=A2B2, 60 又∠A1A2B2=180° -120° =60° , ∴△A1A2B2 是等边三角形, ∴A1B2=A1A2=10 2. 由已知,A1B1=20,∠B1A1B2=105° -60° =45° , 在△A1B2B1 中,由余弦定理,
2 2 B1B2 A1B2· cos 45° =202+(10 2)2-2×20×10 2× 2=A1B1+A1B2-2A1B1·

2 2

=200. ∴B1B2=10 2. 10 2 因此,乙船速度的大小为 ×60=30 2(海里/小时). 20 答 乙船每小时航行 30 2海里.